高中数学必修一基本初等函数知识点+练习题含答案解析(非常详细)

第一部分基本初等函数知识点整理第二章基本初等函数一、指数函数（一）指数1、指数与指数幂的运算：复习初中整数指数幂的运算性质：am*an=am+n(am)n=amn(a*b)n=anbn2、根式的概念：一般地，若axn，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且n∈N*．当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数。此时，a的n次方根用符号表示。当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数。此时正数a的正的n次方根用符号表示，负的n的次方根用符号表示。正的n次方根与负的n次方根可以合并成（a0）。注意：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00n。当n是奇数时，aann，当n是偶数时，)0()0(||aaaaaann式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数。3、分数指数幂正数的分数指数幂的)1,,,0(*nNnmaaanmnm，)1,,,0(11*nNnmaaaanmnmnm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义4、有理数指数米的运算性质（1）ra·srraa),,0(Rsra；（2）rssraa)(),,0(Rsra；（3）srraaab)(),,0(Rsra．5、无理数指数幂一般的，无理数指数幂aa（a0,a是无理数）是一个确定的实数。有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。（二）、指数函数的性质及其特点1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(aaayx且叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．为什么？2、指数函数的图象和性质a10a1定义域R定义域R值域y＞0值域y＞0在R上单调递增在R上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点（0，1）函数图象都过定点（0，1）注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a，b]上，值域是)]b(f),a(f[或)]a(f),b(f[；（2）若0x，则1)x(f；)x(f取遍所有正数当且仅当Rx；（3）对于指数函数)1a0a(a)x(fx且，总有a)1(f；（4）当a1时，若X1X2,则有f(X1)f(X2)。二、对数函数（一）对数1．对数的概念：一般地，如果Nax)1,0(aa，那么数x叫做以．a为底．．N的对数，记作：Nxalog（a—底数，N—真数，Nalog—对数式）654321-1-4-224601654321-1-4-224601说明：○1注意底数的限制0a，且1a；○2xNNaaxlog；○3注意对数的书写格式：两个重要对数：○1常用对数：以10为底的对数Nlg；○2自然对数：以无理数71828.2e为底的对数的对数Nln．（二）对数的运算性质如果0a，且1a，0M，0N，那么：○1Ma(log·)NMalog＋Nalog；○2NMalogMalog－Nalog；○3naMlognMalog)(Rn．注意：换底公式abbccalogloglog（0a，且1a；0c，且1c；0b）．利用换底公式推导下面的结论（1）bmnbanamloglog；（2）abbalog1log．（二）对数函数1、对数函数的概念：函数0(logaxya，且)1a叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：xy2log2，5log5xy都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．○2对数函数对底数的限制：0(a，且)1a．2、对数函数的性质：a10a1Nalog32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-112345678011定义域x＞0定义域x＞0值域为R值域为R在R上递增在R上递减函数图象都过定点（1，0）函数图象都过定点（1，0）三、幂函数1、幂函数定义：一般地，形如xy)(Ra的函数称为幂函数，其中为常数．2、幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2）0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[上是增函数．特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当10时，幂函数的图象上凸；（3）0时，幂函数的图象在区间),0(上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．第二部分练习题含答案解析第二章基本处等函数一、选择题(每小题5分，共60分)1．计算log225·log322·log59的结果为()A．3B．4C．5D．6解析：原式＝lg25lg2·lg22lg3·lg9lg5＝2lg5lg2·32lg2lg3·2lg3lg5＝6.答案：D2．设f(x)＝2ex－1，x2，log3x2－1，x≥2，则f(f(2))的值为()A．0B．1C．2D．3解析：f(2)＝log3(22－1)＝1，f(f(2))＝2e1－1＝2e0＝2.答案：C3．如果log12x0成立，则x应满足的条件是()A．x12B.12x1C．x1D．0x1解析：由对数函数的图象可得．答案：D4．函数f(x)＝log3(2－x)在定义域区间上是()A．增函数B．减函数C．有时是增函数有时是减函数D．无法确定其单调解析：由复合函数的单调性可以判断，内外两层单调性相同则为增函数，内外两层的单调性相反则为减函数．答案：B5．某种放射性元素，100年后只剩原来的一半，现有这种元素1克，3年后剩下()A．0.015克B．(1－0.5%)3克C．0.925克D.1000.125克解析：设该放射性元素满足y＝ax(a0且a≠1)，则有12＝a100得a＝(12)1100.可得放射性元素满足y＝[(12)1100]x＝(12)x100.当x＝3时，y＝(12)3100＝100123＝1000.125.答案：D6．函数y＝log2x与y＝log12x的图象()A．关于原点对称B．关于x轴对称C．关于y轴对称D．关于y＝x对称解析：据图象和代入式判定都可以做出判断，故选B.答案：B7．函数y＝lg(21－x－1)的图象关于()A．x轴对称B．y轴对称C．原点对称D．y＝x对称解析：f(x)＝lg(21－x－1)＝lg1＋x1－x，f(－x)＝lg1－x1＋x＝－f(x)，所以y＝lg(21－x－1)关于原点对称，故选C.答案：C8．设abc1，则下列不等式中不正确的是()A．acbcB．logablogacC．cacbD．logbclogac解析：y＝xc在(0，＋∞)上递增，因为ab，则acbc；y＝logax在(0，＋∞)上递增，因为bc，则logablogac；y＝cx在(－∞，＋∞)上递增，因为ab，则cacb.故选D.答案：D9．已知f(x)＝loga(x＋1)(a0且a≠1)，若当x∈(－1,0)时，f(x)0，则f(x)是()A．增函数B．减函数C．常数函数D．不单调的函数解析：由于x∈(－1,0)，则x＋1∈(0,1)，所以a1.因而f(x)在(－1，＋∞)上是增函数．答案：A10．设a＝424，b＝312，c＝6，则a，b，c的大小关系是()A．abcB．bcaC．bcaD．abc解析：a＝424＝12243，b＝12124，c＝6＝1266.∵24312466，∴12243121241266，即abc.答案：D11．若方程ax＝x＋a有两解，则a的取值范围为()A．(1，＋∞)B．(0,1)C．(0，＋∞)D．Ø解析：分别作出当a1与0a1时的图象．(1)当a1时，图象如下图1，满足题意．图1图2(2)当0a1时，图象如上图2，不满足题意．答案：A12．已知f(x)是偶函数，它在(0，＋∞)上是减函数，若f(lgx)f(1)，则x的取值范围是()A．(110，1)B．(0，110)∪(1，＋∞)C．(110，10)D．(0,1)∪(0，＋∞)解析：由于f(x)是偶函数且在(0，＋∞)上是减函数，所以f(－1)＝f(1)，且f(x)在(－∞，0)上是增函数，应有x0，－1lgx1，解得110x10.答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．若函数f(x)＝ax(a0，且a≠1)的反函数的图象过点(2，－1)，则a＝________.解析：由互为反函数关系知，f(x)过点(－1,2)，代入得a－1＝2⇒a＝12.答案：1214．方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为________．解析：log2(x－1)＝2－log2(x＋1)⇔log2(x－1)＝log24x＋1，即x－1＝4x＋1，解得x＝±5(负值舍去)，∴x＝5.答案：515．设函数f1(x)＝x12，f2(x)＝x－1，f3(x)＝x2，则f1(f2(f3(2007)))＝________.解析：f1(f2(f3(2007)))＝f1(f2(20072))＝f1((20072)－1)＝[(20072)－1]12＝2007－1.答案：1200716．设0≤x≤2，则函数y＝4x－12－3·2x＋5的最大值是________，最小值是________．解析：设2x＝t(1≤t≤4)，则y＝12·4x－3·2x＋5＝12t2－3t＋5＝12(t－3)2＋12.当t＝3时，ymin＝12；当t＝1时，ymax＝12×4＋12＝52.答案：5212三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知a＝(2＋3)－1，b＝(2－3)－1，求(a＋1)－2＋(b＋1)－2的值．解：(a＋1)－2＋(b＋1)－2＝(12＋3＋1)－2＋(12－3＋1)－2＝(3＋32＋3)－2＋(3－32－3)－2＝16(7＋432＋3＋7－432－3)＝16[(7＋43)(2－3)＋(7－43)(2＋3)]＝16×4＝23.18．(12分)已知关于x的方程4x·a－(8＋2)·2x＋42＝0有一个根为2，求a的值和方程其余的根．解：将x＝2代入方程中，得42·a－(8＋2)·22＋42＝0，解得a＝2.当a＝2时，原方程为4x·2－(8＋2)2x＋42＝0，将此方程变形化为2·(2x)2－(8＋2)·2x＋42＝0.令2x＝y，得2y2－(8＋2)y＋42＝0.解得y＝4或y＝22.当y＝4时，即2x＝4，解得x＝2；当y＝22时，2x＝22，解得x＝－12.综上，a＝2，方程其余的根为－12.19．(12分)已知f(x)＝2x－12x＋1，证明：f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数．证明：设任意x1，x2∈(－∞，＋∞)且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝2x1－12x1＋1－2x2－12x2＋1＝2x1－12x2＋1－2x2－12x1＋12x1＋12x2＋1＝2x1－2x2－2x2－2x12x1＋12x2＋1＝22x1－2x22x1＋12x2＋1.∵x1x2，∴2x12x2，即2x1－2x20.∴f(x1)f(x2)．∴f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数．20．(12分)已知偶函数f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，且f(12)＝0，求不等式f(logax)0(a0，且a≠1)的解集．解：f(x)是偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上递增，f(12)＝0，∴f(x)在(－∞，0)上递减，f(－12)＝0，则有logax12，或logax－12.(1)当a1时，logax12，或logax－12，可得xa，或0xaa；(2)当0a1时，logax12，或l