教师资格证考试：2021下初中数学真题

教师资格证考试：2021下初中数学真题2021年下半年中小学教师资格考试真题试卷数学学科知识与教学能力（初级中学）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.与向量a=(2,3,1)垂直的平面是（）+z=+y+3z=3+3y+z=+z=32.0tan3limcosxxxx→的值是（）∞函数f(x)在[a,b]上黎曼可积的必要条件是f(x)在[a,b]上（）~A.可.连续C.不连续点个数有限D.有界4.定积分()0,0aaab-⎰的值是（）abπ.2abπ3abπ.4abπ5.与向量()()1,0,1,1,1,0αβ==线性相关的向量是（）A.(3，2，1)B.(1，2，1)C.(1，2，0)D.(3，2，2)）6.设f(x)=acosx+bsinx是R到R的函数，V={f(x)|f(x)=acosx+bsinx,a,b∈R}是线性空间，则V的维数是（）∞在下列描述课程目标的行为动词中，要求最高的是（）A.理解B.了解C.掌握D.知道8.命题P的逆命题和命题P的否命题的关系是（）A.同真同假B.同真不同假C.同假不同真D.不确定二、简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）（9.求过点(a,0)的直线方程，使该直线与抛物线y=x2+1相切。10.设2513D⎛⎫=⎪⎝⎭，''xy⎛⎫⎪⎝⎭表示xy⎛⎫⎪⎝⎭在D作用下的象，若xy⎛⎫⎪⎝⎭满足方程x2-y2=1，求''xy⎛⎫⎪⎝⎭满足的方程。11.设f(x)是[0,1]上的可导函数，且()'fx有界。证明：存在M0，使得对任意x1,x2∈[0,1]，有()()1212fxfxMxx-≤-。12.简述日常数学教学中对学生进行学习评价的目的。13.给出完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2的一种几何解释，并说明几何解释对学生数学学习的作用。三、解答题（本大题1小题，10分）14.设随机变量ξ服从[0,1]上的均匀分布，即(){}0,0,,,01,1,1xPxxxxξ。求ξ的数学期望Eξ和方差Dξ。四、论述题（本大题1小题，15分）,15.论述数学教学中使用信息技术的作用，并阐述使用信息技术与其他教学手段的关系。五、案例分析题（本大题1小题，20分）16.案例：如下是某教师教学“代入消元法解二元一次方程组”的主要环节。首先，教师引导学生复习二元一次方程组的有关知识。然后，呈现如下教学例题，让学生独立思考并解决。例题：篮球联赛中，每场都要分出胜负，每队胜1场得2分，负一场得1分。某队10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少针对学生的解答，教师给出了如下板书：#解1：胜x场，则负(10-x)场，解2：胜x场，负y场，则2x+(10-x)=1610,216xyxy+=⎧⎨+=⎩10-x=y最后，教师强调了两种解法的内在联系，并给出了代入消元法的基本步骤及数学思想。问题：…（1）该教师教学设计的优点有哪些（6分）（2）该教师教学设计的不足有哪些（6分）（3）代入消元法的基本步骤及数学思想是什么（8分）六、教学设计题（本大题1小题，30分）17.教学课题为平行四边形的判定定理：“对角线互相平分的四边形是平行四边形”。请你完成下列任务。（1）设计一个问题引入该定理，并说明设计意图；（10分）（2）设计定理证明的教学片段，并说明设计意图；（10分）（3）在教学中，为了巩固对该定理的理解，教师设计了如下例题。\如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O，点E,F是AC上的两点，并且AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形。请设计此题的变式题，以进一步理解和巩固定理。（10分）2021年下半年中小学教师资格考试数学学科知识写教学能力试题(初级中学)参考答案及解析【解析】在直角坐标系中，平面Ax+By+Cz+D=0（A,B,C,不同时为零）的一个法向量是n=(A,B,C)，故可知向量a=(2,3,1)为平面2x+3y+z=3的法向量，故垂直于平面2x+3y+z=3。故选C。【解析】利用等价无穷小因子替换，当x→0时，tan3x~3x，所以000tan3tan313limlimlimlim3coscosxxxxxxxxxxxx→→→→=⋅==。)【解析】若函数(x)在[a,b]上(黎曼)可积，则f(x)在[a,b]上必有界(可积的必要条件)，故本题选D。可积的充分条件有以下3个：①函数在闭区间上连续；②函数在闭区间上有界，且只有有限个间断点；③函数在闭区间上单调。由此可排除B项和C项。在一元函数中，可微一定连续，连续一定可积，但反之不成立，故排除A项。【解析】定积分()0,0aaab-⎰表示被积函数y=x轴所围成的图形的面积，即椭圆22221xyab+=在x轴上方部分的面积，而椭圆22221xyab+=的面积为abπ，所以aa-⎰=2abπ。另一种解法：利用第二换元积分法。令x=asint，由-a≤x≤a，得22tππ-≤≤，dx=acostdt，所以22222coscoscosaabtatdtabtdtππππ---=⋅==⎰⎰⎰2222222222cos21cos21sin2222422tababababababdttdtdtttπππππππππππ-----+=+=+=⎰⎰⎰。【解析】方法一：一个向量组中，若一个向量可由其余向量组线性表出，则这几个向量必线性相关，若任意向量都不能被其余向量线性表出，则这几个向量必线性无关，结合选项可知，只有A项可以由向量,αβ线性表出，(3,2,1)=2αβ+。故选A。方法二：向量组,,αβγ线性相关⇔矩阵A=(),,TTTαβγ的秩小于向量的个数0A⇔=；向量组,,αβγ线性无关⇔矩阵A=(),,TTTαβγ满秩0A⇔≠。A项，1130120211=，B项，11101220211=≠，C项，11101210100=≠，D项，11301210102=≠，故A项中的向量和向量,α向量β线性相关，其余三项中的向量与向量,α向量β线性无关。故选A。【解析】由题意知，线性空间V中的每一个元素都是cosx与sinx的线性组合，而cosx与sinx是线性无关的（这是因为如果存在实数m,n，使得mcosx+nsinx=0对任意x∈R都成立，则m=n=0），因此cosx与sinx是线性空间V的一组基，所以V的维数是2。故选B。【解析】《义务教育数学课程标准》（2021年版）提出，数学课程目标包括结果目标和过程目标。结果目标使用“了解、理解、掌握、运用”等术语表述，过程目标使用“经历、体验、探索”等术语表述。每一组术语中按照从前到后的顺序要求递增，即行为动词按要求的高低排序为了解【解析】互为逆否命题的两个命题同真同假。命题P的逆命题和命题P的否命题同真同假。#二、简答题9.【解析】设切点为()200,1xx+，由于抛物线方程为y=x2+1，则'2yx=，过切点()200,1xx+的切线斜率k=2x0，切线方程为()22021002121yxxxxxxx=-++=-+，因为切线经过点(a,0)，则将点(a,0)代入切线方程得200210xax-+=，解得0xa=±，所以所求切线方程为((221yaxa=±-+，即(()(()22yaxayaxa=-=-或。10.【解析】由已知得，2525'133'xxxyxDyyxyy+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎪⎪⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即25',3',xyxxyy+=⎧⎨+=⎩可得3'5','2',xxyyxy=-⎧⎨=-+⎩因为x2-y2=1，所以()()223'5''2'1xyxy---+=，整理得228'26''21'1xxyy-+=。11.【解析】当x1=x2时结论显然成立。当x1≠x2时，不妨设x1!因为()'fx有界，故存在M0，对任意x∈[0,1]，有()'fxM≤，所以()'fMξ≤，故()()1212fxfxMxx-≤-。12.【参考答案】《义务教育数学课程标准》（2021年版）提出，学习评价的主要目的是全面了解学生数学学习的过程和结果，激励学生学习和改进教师教学。①通过对学生学习的评价，教师可以更好地关注学生的学习过程。教师不仅能够关注到学生对知识技能掌握的程度，还可以关注到学生思考方法和思维习惯的形成过程，了解学生发现问题与提出问题的能力、数学表达与交流的能力、主动收集信息与解决问题的能力，了解学生对数学价值的认识。②通过对学生学习过程中的表现、所取得的成绩以及所反映出的情感、态度、策略等方面做出评价，其目的是激励学生学习，帮助学生有效调控自己的学习过程，使学生获得成就感，增强自信心，培养合作精神。③通过对学生学习的评价，教师可以了解教学过程中存在的问题和改进的方向，及时修正和调整教学目标、内容和计划。13.【参考答案】（1）完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2的一种几何解释：如图，大正方形的边长为a+b，所以面积为（a+b）2；大正方形的面积也可以表示成一个边长为a的正方形，两个长为a、宽为b的长方形和一个边长为b的正方形的面积之和，即a2+2ab+b2。所以(a+b)2=a2+2ab+b2。)（2）几何解释对学生数学学习的作用：①有助于学生直观地理解数学，把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何解释可以帮助学生发现、描述、理解数学问题，了解数学问题的几何背景或几何意义，把复杂、抽象的数学问题变得简单。同时教师运用启发式教学，利用几何帮助学生探索问题的思路，引导学生多方向思考解决问题的途径，预测数学问题的结果。②有助于加深学生对定理、公式等数学知识的理解。在定理、公式的学习上，几何解释可以很好地帮助学生理解其本质含义，通过追本溯源，加深学生对定理、公式的记忆和把握。③有助于激发学生的数学学习兴趣。运用几何解释来解决数学问题，可以将直观上枯燥、复杂的数学问题化为形象、有趣的图形问题。这样可以激发学生学习数学的兴趣，从而不再惧怕数学，增强其学好数学的信心。④有助于培养学生形成数形结合的数学思想。教师在教学过程中通过几何解释渗透数形结合思想，帮助学习的过程中逐步形成数形结合思想。三、解答题14.【解析】由题意知，随机变量ξ的概率分布函数(){}{}(){}0,0,,,01,1,1xFxPxPxPxxxxξξξ。所以其密度函数()()1,01,'0,xfxFx≤≤⎧==⎨⎩其他。则()1012Exfxdxxdxξ+∞-∞===⎰⎰，()()1231202111123212DxEfxdxxdxxξξ+∞-∞⎛⎫⎛⎫=-=-=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰。！四、论述题15.【参考答案】（1）信息技术在数学教学中的作用：①信息技术可以丰富信息资源，促进数学知识的建构。教师一方面可以将生活中的常见的素材通过制作加工成图片资料、视频资料、音像资料、动画形象等转化为信息化的学习资源，自己开发教学软件。利用信息资源跨越时空界限的特点，将信息技术融合到学科教学中，充分利用各种信息资源，引入时代活水，与学科教学内容相结合，使学生的学习内容更加丰富多彩，更具有时代气息，更贴近生活和现代科技；同时也可使教师拓展知识视野，改变传统的学科教学内容，使教材“活”起来。学生通过信息技术进行辅助学习，把数学学习由课内延伸到课外，在开阔知识视野、丰富课余知识的同时，也培养了自主探究知识的能力。②利用信息技术，展示知识形成的过程，提高课堂学习效率。利用信息技术图、文、声、像、影并茂的特点，能创设逼真的教学环境、能把教学中说不清道不明，只靠挂图或黑板作图又难讲解清楚的知识，通过形象生动的画面、声像同步的情境、言简意赅的解说、悦耳动听的音乐、及时有效的反馈，充分展示知识的形成过程，充分调动学生的学习积极性，使学生的学习变得轻松愉快，为学生的创新意识和探索精神的培养提供良好的环境。现代信息技术在具体形象思维向抽象思维转化中的确起着桥梁作用，特别在空间与图形的教学中，借助多媒体课件，可以通过直观观察和表述，在观察中形成几何概念的表象，在比较和分析、概括和综合掌握它们的本质特征，形成了正确的清晰概念，从而培养学生的观察能力和思维能力。利用现代信息技术，可以有效地