数列复习基本知识点及经典结论总结

数列复习基本知识点及经典结论总结数列复习基本知识点及经典结论总结1、数列的概念：数列是按一定次序排成的一列数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，如果数列{}an的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的通项公式。数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如（1）已知*2()156nnanNn=∈+，则在数列{}na的最大项为__（答：125）；（2）数列}{na的通项为1+=bnanan，其中ba,均为正数，则na与1+na的大小关系为___（答：na（3）已知数列{}na中，2nannλ=+，且{}na是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ-）；（4）一给定函数)(xfy=的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a，由关系式)(1nnafa=+得到的数列}{na满足)(*1Nnaann∈+，则该函数的图象是（）（答：A）ABCD递推关系式：已知数列{}an的第一项（或前几项），且任何一项an与它的前一项an1-（前n项）间的关系可以用一个式子来表示，则这个式子就叫数列的递推关系式。数列的分类：①按项数多少，分为有穷数列、无穷数列；②按项的增减，分为递增数列、递减数列、摆动数列、常数列。③按项有无界限，分为有界数列、无界数列。数列的前n项和：aaaasnn++++=(3)21.已知sn求an的方法（只有一种）：即利用公式an=?????≥=--)2(,)1(,11nnsssnn注意：一定不要忘记对n取值的讨论！最后，还应检验当n=1的情况是否符合当n≥2的关系式，从而决定能否将其合并。2.等差数列的有关概念：1、等差数列的定义：如果数列{}an从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。即)2,*(1≥∈=--nNndaann且.(或)*(1Nndaann∈=-+).（1）等差数列的判断方法：①定义法：)(1常数daann=-+?{}an为等差数列。②中项法：aaannn212+++=?{}an为等差数列。③通项公式法：banan+=（a,b为常数）?{}an为等差数列。④前n项和公式法：BnnAsn+=2（A,B为常数）?{}an为等差数列。如设{}na是等差数列，求证：以bn=naaan+++21*nN∈为通项公式的数列{}nb为等差数列。（2）等差数列的通项：1(1)naand=+-或()nmaanmd=+-。公式变形为:banan+=.其中a=d,b=a1－d.如(1)等差数列{}na中，1030a=，2050a=，则通项na=（答：210n+）；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：833dnnnSnad-=+。公式变形为：BnnAsn+=2，其中A=2d，B=21da-.注意：已知n,d,a1,an,sn中的三者可以求另两者，即所谓的“知三求二”。如（1）数列{}na中，*11(2,)2nnaannN-=+≥∈，32na=，前n项和152nS=-，则1a＝＿，n＝＿（答：13a=-，10n=）；（2）已知数列{}na的前n项和212nSnn=-，求数列{||}na的前n项和nT（答：2*2*12(6,)1272(6,)nnnnnNTnnnnN?-≤∈?=?-+∈??）.（4）等差中项：若,,aAb成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且2abA+=。提醒：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：1a、d、n、na及nS，其中1a、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2adadaadad--++…（公差为d）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3adadadad--++,…（公差为2d）3.等差数列的性质：（1）当公差0d≠时，等差数列的通项公式11(1)naanddnad=+-=+-是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n和211(1)()222nnnddSnadnan-=+=+-是关于n的二次函数且常数项为0.（2）若公差0d，则为递增等差数列，若公差0d（3）对称性：若{}an是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和.当mnpq+=+时,则有qpnmaaaa+=+，特别地，当2mnp+=时，则有2mnpaaa+=.如（1）等差数列{}na中，12318,3,1nnnnSaaaS--=++==，则n＝____（答：27）；（2）在等差数列{}na中，10110,0aa0C、125,SSS都小于0，67,SS都大于0D、1220,SSS都小于0，2122,SS都大于0（答：B）(4)项数成等差,则相应的项也成等差数列.即),,...(,,*2Nmkaaamkmkk∈++成等差.若{}na、{}nb是等差数列，则{}nka、{}nnkapb+(k、p是非零常数)、*{}(,)pnqapqN+∈、232,,nnnnnSSSSS--，…也成等差数列，而{}naa成等比数列；若{}na是等比数列，且0na，则{lg}na是等差数列.如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为。（答：225）（5）在等差数列{}na中，当项数为偶数2n时，)(1aannnns++=；ndss=-奇偶；aannss1+=奇偶.项数为奇数21n-时，annns)12(12-=-；ass1-=-奇偶；nss1-=奇偶。如（1）在等差数列中，S11＝22，则6a＝______（答：2）；（2）项数为奇数的等差数列{}na中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.（6）单调性：设d为等差数列{}an的公差，则d0?{}an是递增数列；d()nnAfnB=，则2121(21)(21)(21)nnnnnnanaAfnbnbB---===--.如设{na}与{nb}是两个等差数列，它们的前n项和分别为nS和nT，若3413-+=nnTSnn，那么=nnba___________（答：6287nn--）(8)8、已知{}an成等差数列，求sn的最值问题：①若01a,d?≤≥+0,01aann,则sn最大；②若010且满足?????≥≤+0,01aann,则sn最小.“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组?????????≥≤???≤≥++000011nnnnaaaa或确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*nN∈。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如（1）等差数列{}na中，125a=，917SS=，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；（2）若{}na是等差数列，首项10,a202120210aa+，202120210aa?(9)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究nmab=.4.等比数列的有关概念：如果数列{}an从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫等比数列的公比。即)2,(*1≥∈=-nnqNaann（或)(*1Naanqnn∈=+（1）等比数列的判断方法：定义法1(nnaqqa+=为常数），其中0,0nqa≠≠或11nnnnaaaa+-=(2)n≥。如（1）一个等比数列{na}共有21n+项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则1na+为____（答：56）；（2）数列{}na中，nS=41na-+1(2n≥)且1a=1，若nnnaab21-=+，求证：数列｛nb｝是等比数列。（2）等比数列的通项：11nnaaq-=或nmnmaaq-=。如设等比数列{}na中，166naa+=，21128naa-=，前n项和nS＝126，求n和公比q.（答：6n=，12q=或2）（3）等比数列的前n和：当1q=时，1nSna=；当1q≠时，1(1)1nnaqSq-=-11naaqq-=-。如（1）等比数列中，q＝2，S99=77，求9963aaa+++（答：44）特别提醒：等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分1q=和1q≠两种情形讨论求解。（4）等比中项：如果a、G、b三个数成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G=ab±.提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个,()abab≠的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为______（答：A＞B）提醒：（1）等比数列的通项公式及前n项和公式中，涉及到5个元素：1a、q、n、na及nS，其中1a、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…，22,,,,aaaaqaqqq...（公比为q）；但偶数个数成等比时，不能设为(33),,,aqaqqaqa，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为2q。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）5.等比数列的性质：（1）对称性：若{}an是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之积都等于首末两项之积.即当mnpq+=+时，则有qpnmaaaa..=，特别地，当2mnp+=时，则有2.pnmaaa=.如（1）在等比数列{}na中，3847124,512aaaa+==-，公比q是整数，则10a=___（答：512）；（2）各项均为正数的等比数列{}na中，若569aa?=，则3132310logloglogaaa+++=（答：10）。(2)若{}na是等比数列，则{||}na、*{}(,)pnqapqN+∈、{}nka成等比数列；若{}{}nnab、成等比数列，则{}nnab、{}nnab成等比数列；若{}na是等比数列，且公比1q≠-，则数列232,,nnnnnSSSSS--，…也是等比数列。当1q=-，且n为偶数时，数列232,,nnnnnSSSSS--，…是常数数列0，它不是等比数列.若{}an是等比数列，且各项均为正数，则{}analog成等差数列。如（1）已知0a且1a≠，设数列{}nx满足1log1logananxx+=+(*)nN∈，且12100100xxx+++=，则101102200xxx+++=.（答：100100a）；（2）在等比数列}{na中，nS为其前n项和，若140,1330101030=+=SSSS，则20S的值为______（答：40）(3)单调性：若10,1aq，或10,01aq(4)当1q≠时，baqqaqqaSnnn+=-+--=1111，这里0ab+=，但0,0ab≠≠，这是等比数列前n项和公式的一个特征，据此很容易根据nS，判断数列{}na是否为等比数列。如若{}na是等比数列，且3nnSr=+，则r＝（答：－1）(5)mnmnmnnmSSqSSqS+=+=+.如设等比数列}{na的公比为q，前n项和为nS，若12,,nnnSSS++成等差数列，则q的值为_____（答：－2）(6)在等比数列{}na中，当项数为偶数2n时，SqS=偶奇；项数为奇数21n-时，1SaqS=+奇偶.(7)如果数列{}na既成等差数列又成等比数列，