新版线性代数习题及答案(复旦版 主编：周勇 朱砾)

新版线性代数习题及答案(复旦版主编：周勇朱砾)1线性代数习题及答案allin习题一1.求下列各排列的逆序数.(1)341782659；(2)987654321；(3)n(n-1)…321；(4)13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2.【解】(1)τ(341782659)=11;(2)τ(987654321)=36;(3)τ(n(n-1)…3²2²1)=0+1+2+…+(n-1)=(1)2nn-;(4)τ(13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2)=0+1+…+(n-1)+(n-1)+(n-2)+…+1+0=n(n-1).2.略.见教材习题参考答案.3.略.见教材习题参考答案.4.本行列式4512312123122xxxDxxx=的展开式中包含3x和4x的项.解：设123412341234()41234(1)iiiiiiiiiiiiDaaaaτ=-∑，其中1234,,,iiii分别为不同列中对应元素的行下标，则4D展开式中含3x项有(2134)(4231)333(1)12(1)32(3)5xxxxxxxxxττ-⋅⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅⋅=-+-=-4D展开式中含4x项有(1234)4(1)2210xxxxxτ-⋅⋅⋅⋅=.5.用定义计算下列各行列式.(1)0200001030000004；(2)1230002030450001.【解】(1)D=(-1)τ(2314)4!=24;(2)D=12.6.计算下列各行列式.2(1)2141312112325062-----；(2)abacaebdcddebfcfef-------；(3)100110011001abcd---；(4)1234234134124123.【解】(1)1250623121012325062rrD+---=--;(2)1114111111Dabcdefabcdef--==------;210110111(3)(1)111011001011;bcDaabcdccddddabcdabadcd--⎡--⎤=+-=+++--⎢⎥⎣⎦=++++321221133142144121023410234102341034101130113(4)160.10412022202141012301110004rrccrrccrrrrccrrD-+-+-++---====-------7.证明下列各式.(1)22222()111aabbaabbab+=-；(2)2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)aaaabbbbccccdddd++++++=++++++；(3)232232232111()111aaaabbabbccabbcccc=++3(4)20210()0000nnababDadbccdcd==-；(5)121111111111111nniiiinaaaaa==++⎛⎫=+⎪⎝⎭+∑∏.【证明】(1)1323223()()()2()2021()()()()()2()21ccccababbabbababbababbababbabababab--+--=--+--+==-=-=--左端右端.(2)32213142412222-2-2232221446921262144692126021446921262144692126ccccccccccaaaaaabbbbbbccccccdddddd---++++++++====++++++++左端右端.(3)首先考虑4阶范德蒙行列式:2323232311()()()()()()()(*)11xxxaaafxxaxbxcabacbcbbbccc==------从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f(x)的x的系数为2221()()()()(),11aaabbcacabacbcabbcacbbcc++---=++但对（*）式右端行列式按第一行展开知x的系数为两者应相等，故231123231(1),11aabbcc+-(4)对D2n按第一行展开，得422(1)2(1)2(1)00000000(),nnnnababababDabcdcdcdcddcadDbcDadbcD---=-=⋅-⋅=-据此递推下去，可得222(1)2(2)112()()()()()()nnnnnnDadbcDadbcDadbcDadbcadbcadbc----=-=-==-=--=-2().nnDadbc∴=-(5)对行列式的阶数n用数学归纳法.当n=2时，可直接验算结论成立，假定对这样的n-1阶行列式结论成立，进而证明阶数为n时结论也成立.按Dn的最后一列，把Dn拆成两个n阶行列式相加：112211211111011111110111111101111111.nnnnnnaaaaDaaaaaaD---++++=++=+但由归纳假设11121111,nnniiDaaaa---=⎛⎫+=⎪⎝⎭∑从而有11211211121111111111.nnnnniinnnnniiiiiiDaaaaaaaaaaaaaaa---=-===⎛⎫+=+⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫++==⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∏8.计算下列n阶行列式.5(1)111111nxxDx=(2)122222222232222nDn=；(3)000000000000nxyxyDxyyx=.(4)nijDa=其中(,1,2,,)ijaijijn=-=；(5)210001210012000002100012nD=.【解】(1)各行都加到第一行，再从第一行提出x+(n-1),得11111[(1)],11nxDxnx=+-将第一行乘（-1）后分别加到其余各行，得1111110[(1)](1)(1).001nnxDxnxnxx--=+-=+---(2)213111222210000101001002021002nrrnrrrrDn---=-按第二行展开222202102(2)!.00202102nn-=---(3)行列式按第一列展开后，得61(1)(1)(1)10000000000000(1)0000000000(1)(1).nnnnnnnnxyyxyxyDxyxyxyyxxyxxyyxy+-+-+=+-=⋅+⋅-⋅=+-(4)由题意，知1112121222120211101221031230nnnnnnnnaaanaaaDnaaannn--==----0122111111111111111111111nn------------后一行减去前一行自第三行起后一行减去前一行012211221111112021020210202100000022nnnn--------=-按第一列展开1122021201(1)(1)(1)(1)2021nnnnnn-----=---按第列展开.(5)210002021001000121001210012100012021120211202100210002100021000120211200012nD==+122nnDD--=-.7即有112211nnnnDDDDDD----=-==-=由()()()112211nnnnDDDDDDn----+-++-=-得11,121nnDDnDnn-=-=-+=+.9.计算n阶行列式.121212111nnnnaaaaaaDaaa++=+【解】各列都加到第一列，再从第一列提出11niia=+∑，得232323123111111,11nnnnininaaaaaaDaaaaaaa=+⎛⎫=++⎪⎝⎭+∑将第一行乘（-1）后加到其余各行，得23111010011.00100001nnnniiiiaaaDaa==⎛⎫=+=+⎪⎝⎭∑∑10.计算n阶行列式（其中0,1,2,,iain≠=）.1111123222211223322221122331111123nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaababababDababababbbbb----------------=.【解】行列式的各列提取因子1(1,2,,)njajn-=,然后应用范德蒙行列式.83121232222312112123111131212311211111()().nnnnnnnnnnnnnjinnjinijbbbbaaaabbbbDaaaaaaabbbbaaaabbaaaaa------≤⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫-=⎪⎝⎭∏11.已知4阶行列式41234334415671122D=;试求4142AA+与4344AA+，其中4jA为行列式4D的第4行第j个元素的代数余子式.【解】41424142234134(1)(1)3912.344344567167AA+++=-+-=+=同理43441569.AA+=-+=-12.用克莱姆法则解方程组.(1)123123412342345,21,22,233.xxxxxxxxxxxxxx++=⎧⎪+-+=⎪⎨+-+=⎪⎪++=⎩(2)1212323434545561,560,560,560,51.xxxxxxxxxxxxx+=⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪+=⎪⎩【解】方程组的系数行列式为1110111013113121110131180;1210521211012112301401230123D-------=====≠-----91234511015101111211118;36;2211121131230323115011152111211136;18.1221121202130123DDDD--====---====--故原方程组有惟一解，为312412341,2,2,1.DDDDxxxxDDDD========-12345123452)665,1507,1145,703,395,212.15072293779212,,,,.66513335133665DDDDDDxxxxx===-==-=∴==-==-=13.λ和μ为何值时，齐次方程组1231231230,0,20xxxxxxxxxλμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解?【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式110,11121λμμ=即(1)0.μλ-=故0μ=或1λ=时，方程组有非零解.14.问：齐次线性方程组12341234123412340,20,30,xxxaxxxxxxxxxxxaxbx+++=⎧⎪+++=⎪⎨+-+=⎪⎪+++=⎩有非零解时，a,b必须满足什么条件？【解】该齐次线性方程组有非零解，a,b需满足1011112110,113111aab=-即(a+1)2=4b.15.求三次多项式230123()fxaaxaxax=+++，使得(1)0,(1)4,(2)3,(3)16.ffff-====【解】根据题意，得0123012301230123(1)0;(1)4;(2)2483;(3)392716.faaaafaaaafaaaafaaaa-=-+-==+++==+++==+++=这是关于四个未知数0123,,,aaaa的一个线性方程组，由于012348,336,0,240,96.DDDDD====-=故得01237,0,5,2aaaa===-=于是所求的多项式为23()752fxxx=-+16.求出使一平面上三个点112233(,),(,),(,)xyxyxy位于同一直线上的充分必要条件.【解】设平面上的直线方程为ax+by+c=0(a,b不同时为0)按题设有1122330,0,0,axbycaxbycaxbyc++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩则以a,b,c为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为1122331101xyxyxy=上式即为三点112233(,),(,),(,)xyxyxy位于同一直线上的充分必要条件.11习题二1.计算下列矩阵的乘积.（1）[]11321023⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=；（2）500103120213⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（3）[]32123410⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（4）()