空间解析几何与向量代数综合复习

空间解析几何与向量代数一、向量代数（ⅰ）有关空间直角坐标系下点坐标的问题。1．（4）在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？(A)），，（432(B)），，（432(C)），，（432(D)），，（432解：（A）Ⅳ（B）Ⅴ（C）Ⅷ（D）Ⅲ2．（6）若)0,3,1(),3,1,1(BA，则AB中点坐标为3(1,1,)2，||AB5.3.（7）求),,(cba点关于（1）各坐标面（2）各坐标轴（3）坐标原点的对称点坐标。解：（1）(,,),(,,),(,,)xoyabcyozabcxozabc（2）(,,),(,,),(,,)xabcyabczabc（3）(0,0,0)(,,)oabc4．（4）若点M的坐标为),,(zyx，则向径OM用坐标可表示为(,,)xyz或,,xyz.5．（8）一边长为a的立方体放置在xoy面上，其下底面的中心在坐标原点，底面的顶点在x轴和y轴上，求它各顶点的坐标。解：),22,0(),,0,22(),0,22,0(),0,0,22(aaaaaa6．（7）已知)4,2,1(A，),2,6(tB，且9||AB，求（1）t；（2）线段AB的中点坐标。解：108020655（）或，（2）（，，）或（，，）22（ⅱ）有关向量概念及向量线性运算的坐标表示。7．（8）设已知两点)1,2,4(1M和)2,0,3(2M，计算21MM的模、方向余弦、方向角及单位向量。解：（1）模2，（2）12123222343（，，），，，（3）121121222222（，，）或（，，）8．（6）若,,为向量a的方向角，则222coscoscos1；222sinsinsin2.9.（6）设）（8,5,3m，）（7,4,2n和）（4,1,5p，求向量pnma34在x轴上的投影及在y轴上的分向量。解：（1）13，（2）7j()4,1,5()7,4,2(3)8,5,3(434pnma(13,7,15))10．（6）已知点P的向径OP为单位向量，且与z轴的夹角为6，另外两个方向角相等，求点P的坐标。解：113(,,)2222211.（6）已知向量a与各坐标轴成相等的锐角，若32||a，求a的坐标。解：因为33cos1cos32，所以23332cosaax同理2zyaa，故)2,2,2(a（ⅲ）向量的数量积与向量积及其坐标运算。12．（4）下列关系式错误的是------------------------------------------------------------------（D）(A)abba(B)abba(C)22||aa(D)0aa13．（7）设）（2,1,3a，）（1,2,1b，求ba与.ba解：1ba，7,5,3ba14.（7）设)3,0,1(),2,1,1(),2,3,2(cba，求.)(cba解：11301211232)(cba（ⅳ）用向量的坐标来判断向量间的特殊位置关系，会求一向量在另一向量上的投影。15．确定下列各组向量间的位置关系：（1）（4）)2,1,1(av与)4,2,2(ba‖b（2）（4）)1,3,2(a与)2,2,4(bba16．（7）求向量)4,3,4(a在向量)1,2,2(b上的投影。解：236),cos(bbabbaaabaaaprjb（ⅴ）用向量积来计算有关平行四边形和三角形的面积问题。17．（7）已知：kiOA3，kjOB3，求OAB的面积。解：21921OBOAS18．（7）ABC三顶点在平面直角坐标系中的坐标分别为),(),,(),,(332211yxCyxByxA，则如何用向量积的方法来求出ABC的面积？解：11121332211yxyxyxSABC19．（7）试找出一个与)1,1,0(),1,2,1(ba同时垂直的向量。解：)(ba=)1,1,1(110121kjiⅢ、综合应用题型：（ⅰ）涉及到代数向量（即用坐标表达式表示的具体向量）的综合计算问题。20．（10）已知三点)2,1,2(),1,1,1(),1,2,2(321MMM，（1）求321MMM；（2）求与3221,MMMM同时垂直的单位向量。解：（1）2123(1,1,0)(1,0,1)MMMM，21),cos(3212MMMM故3321MMM（2）)31,31,31()(32213221MMMMMMMM21．（8）已知)1,2,0(),0,0,1(BA，试在z轴上求一点C，使ABC的面积最小。解：设),0,0(zC，)525(4122zzA51z二、平面方程（ⅰ）三点式平面方程的求法，根据一般式方程指出平面的特殊位置。26．（7）求过三点)3,2,0(),2,3,1(),4,1,2(321MMM的平面方程。若),,(),,,(),,,(333222111zyxCzyxBzyxA不共线，你能给出过此三点的平面方程吗？解：因为平面的法向量为)1,9,14(1326433121kjiMMMMn故.0)3()2(9)0(14zzyx015914zyx0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx27．指出下列平面方程的位置特点，并作示意图：（1）（5）03y；（2）（5）023zy；（3）（5）.0832zyx解：（1）过点)0,3,0(且平行于坐标面xoz的平面。)2(过x轴且垂直于坐标面yoz的平面。（3）截距分别为38,4,8的平面。（ⅱ）二平面垂直与平行的判定。28．判定下列两平面之间的位置关系：（1）（4）042zyx与.1842zyx（2）（4）132zyx与.423zx解（1）平行；（2）垂直（ⅲ）二平面夹角的计算（夹角规定为[0,2]）。29．（4）求两平面062zyx和052zyx的夹角。解：216366121)1(21cos，故3（ⅳ）点到平面距离的计算。30．（4）点)3,2,1(到平面0121243zyx的距离1131312431236832222d31．（7）求01DCzByAx与02DCzByAx之间的距离。解：在01DCzByAx上取一点),0,0(1CD，由点到平面的距离公式得222122222100CBADDCBADCDCd（ⅴ）用点法式方程建立与已知平面有关的未知平面方程．32．求满足下列条件的平面方程：（1）（7）平行y轴，且过点)1,5,1(P和).1,2,3(Q解：设所求平面为0DCzAx，将QP,代入得2,2DCDA故所求平面为02zx（2）（7）过点)3,2,1(且平行于平面.0522zyx解：0)3(2)2()1(2zyx，即01022zyx（3）（7）过点)1,1,1(1M和)1,1,0(2M且垂直于平面.0zyx解：所求平面为0DCzByAx，于是有0CBA0DCBA，0DCB解得BACBD20，02BzByBx即02zyx三、直线方程（ⅰ）两点式直线方程的计算。33．（4）过点),,(,,,(2222)1111zyxMzyxM的直线方程为121121121zzzzyyyyxxxx（ⅱ）一般式方程转化为对称式方程。34．（7）用对称式方程及参数式方程表示直线.0432,01zyxzyx解：)3,1,4(312111kjis，取1,0yx得45z故直线的对称式方程为345114zyx直线参数式方程为45314tztytx（ⅲ）两直平行或垂直的判定。35.判别下列各直线之间的位置关系：（1）（4）31211:1zyxL与.3,2,21:2ztytxL解：)3,2,1(1s，)0,1,2(2s，021ss所以21LL（2）（4）32:1zyxL与.023,012:2zxyxL解：)3,2,1(1s，)3,2,1()3,2,1(1030122kjis所以1L‖2L*（ⅳ）点到直线距离的计算．36．（7）求原点到23221zyx的距离。解：方法（1）化23221zyx为参数方程32212tztytx点（0，0，0）到直线上任意点的距离为（参数为t的点）222)32()2()12()(ttttd142092tt)910(326910014910014)910(92tt方法（2）过点（0，0，0）与且直线垂直的平面方程为0)0(2)0()0(2zyx将直线L化为参数式方程为32212tztytx代入直线L的垂面方程，得910t所以（0，0，0）在直线L上的垂足为)97,98,911(所求距离为910014)97()98()911(222d326四、平面与直线综合题（ⅰ）直线与平面的交点计算。38．（5）求直线2432zyx与平面062zyx的交点。解：（1）令tzyx2432代入平面得06)42()3()2(2ttt，1t所求交点为)2,2,1(（ⅱ）已知点在已知平面的投影计算。39．（7）求点)3,0,5(M在平面012:zyx上的投影。解：过)3,0,5(M且与012:zyx垂直的直线方程为tzyx23115代入得201)32(25tttt1,2,3zyx，故在平面012:zyx上的投影为)1,2,3(（ⅲ）直线与平面特殊位置关系的判定。40．（4）设111121:zyxL与2222:zyx，则--------------（C）（A）L（B）LL,//（C）LL（D）L与夹角为4（ⅰ）涉及线面关系的综合计算。41．（7）求过点），，（302且与直线.01253,07422zyxzyx垂直的平面方程。解：)1,1,1(16253422kjis所求平面方程为0)3()0()2(zyx即05zyx42．（7）求过点），，（420且与两平面12zx和23zy平行的直线方程。解：直线的方向向量为)1,3,2(310201kjis故所直线方程为14322zyx43．（7）求过点)2,1,3(M且通过12354zyx的平面方程。解：在直线12354zyx上取一点)0,3,4(P)2,4,1(MP，)22,9,8(125241)1,2,5()2,41(kjin所求平面方程为0)2(22)1(9)3(8zyx即0592298zyx44．（7）已知直线13021:1zyxL，直线11122:2zyxL，求过1L且平行2L的平面方程。解：1,3,1112101kji