双曲线课件(绝对经典)

第6节双曲线最新考纲了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a0，c0：(1)若时，则集合P为双曲线；(2)若a＝c时，则集合P为；(3)若时，则集合P为空集.知识梳理定点ac两条射线ac2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R对称性对称轴：；对称中心：顶点A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±bax离心率e＝，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝x∈R，y≤－a或y≥a坐标轴原点A1(－a，0),A2(a，0)a2＋b2y＝±abxca[常用结论与微点提醒]1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a，也叫通径.2.离心率e＝ca＝a2＋b2a＝1＋b2a2.3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()(2)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.()(3)方程x2m－y2n＝1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.()(4)双曲线x2m2－y2n2＝λ(m0，n0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0.()诊断自测解析(1)因为||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|，表示的轨迹为两条射线.(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.(3)当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在y轴上的双曲线.答案(1)×(2)×(3)×(4)√答案A2.(2016·全国Ⅰ卷)已知方程x2m2＋n－y23m2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A.(－1，3)B.(－1，3)C.(0，3)D.(0，3)解析∵方程x2m2＋n－y23m2－n＝1表示双曲线，∴(m2＋n)·(3m2－n)0，解得－m2n3m2，由双曲线性质，知c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2(其中c是半焦距)，∴焦距2c＝2×2|m|＝4，解得|m|＝1，∴－1n3.答案D解析由c2＝a2＋b2＝4得c＝2，所以F(2，0)，将x＝2代入x2－y23＝1，得y＝±3，所以|PF|＝3.又A的坐标是(1，3)，故△APF的面积为12×3×(2－1)＝32.3.(2017·全国Ⅰ卷)已知F是双曲线C：x2－y23＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为()A.13B.12C.23D.32答案2解析由题意知1＋m1＝e2＝3，则m＝2.4.(2017·北京卷)若双曲线x2－y2m＝1的离心率为3，则实数m＝________.5.(选修1－1P54A6改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________.答案x28－y28＝1解析设双曲线的方程为：x2－y2＝λ(λ≠0)，把点A(3，－1)代入，得λ＝8，故所求方程为x28－y28＝1.考点一双曲线的定义及其应用【例1】(1)(2018·长春质检)双曲线C的渐近线方程为y＝±233x，一个焦点为F(0，－7)，点A(2，0)，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，△PAF周长的最小值为()A.8B.10C.4＋37D.3＋317(2)(2018·西安调研)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________.(2)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，解析(1)由已知得双曲线方程为y24－x23＝1，设双曲线的另一个焦点为F′，则|PF|＝|PF′|＋4，△PAF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF′|＋4＋|PA|＋3，当F′，P，A三点共线时，|PF′|＋|PA|有最小值，为|AF′|＝3，故△PAF的周长的最小值为10.所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1).答案(1)B(2)x2－y28＝1(x≤－1)规律方法1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|，|PF2|的联系.【训练1】(1)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝()A.14B.35C.34D.45(2)设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于________.(2)由题意知|PF1|＝9a＋c＝10，所以P点在双曲线的左支，则有|PF2|－|PF1|＝2a＝8，故|PF2|＝|PF1|＋8＝17.答案(1)C(2)17由|PF1|－|PF2|＝22，|PF1|＝2|PF2|，得|PF1|＝42，|PF2|＝22，在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝34.解析(1)由x2－y2＝2，知a＝b＝2，c＝2.考点二双曲线的标准方程的求法【例2】(1)(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线方程为y＝52x，且与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，则C的方程为()A.x28－y210＝1B.x24－y25＝1C.x25－y24＝1D.x24－y23＝1(2)(一题多解)设双曲线与椭圆x227＋y236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是________.易知a2＋b2＝c2＝9，②又由椭圆x212＋y23＝1与双曲线有公共焦点，由①②解得a＝2，b＝5，则双曲线C的方程为x24－y25＝1.(2)法一椭圆x227＋y236＝1的焦点坐标是(0，±3)，根据定义知2a＝|（15－0）2＋（4－3）2－（15－0）2＋（4＋3）2|＝4，解析(1)由题设知ba＝52，①故a＝2.又b2＝32－a2＝5，故所求双曲线的方程为y24－x25＝1.设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，解得λ1＝32，λ2＝0(舍去).故所求双曲线方程为y24－x25＝1.由于双曲线过点(15，4)，故1527－λ＋1636－λ＝1，法三设双曲线的方程为x227－λ＋y236－λ＝1(27λ36)，法二椭圆x227＋y236＝1的焦点坐标是(0，±3).设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，则a2＋b2＝9，又点(15，4)在双曲线上，所以16a2－15b2＝1，解得a2＝4，b2＝5.故所求双曲线的方程为y24－x25＝1.答案(1)B(2)y24－x25＝1规律方法求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值.与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0).(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.【训练2】(1)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为()A.x29－y213＝1B.x213－y29＝1C.x23－y2＝1D.x2－y23＝1(2)(2018·郑州质量预测)已知双曲线的一个焦点与抛物线x2＝24y的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的标准方程为()A.x29－y227＝1B.y29－x227＝1C.y212－x224＝1D.y224－x212＝1解析(1)由题意知，双曲线的渐近线方程为y＝±bax，即bx±ay＝0，因为双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，所以|2b|a2＋b2＝3，由双曲线的一个焦点为F(2，0)可得a2＋b2＝4，所以|b|＝3，即b2＝3，所以a2＝1，故双曲线的方程为x2－y23＝1.(2)∵x2＝24y，∴焦点为(0，6)，∴可设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0).∵渐近线方程为y＝±abx，其中一条渐近线的倾斜角为30°，∴ab＝33，c＝6，∴a2＝9，b2＝27.其方程为y29－x227＝1.答案(1)D(2)B考点三双曲线的性质【例3】(1)(2017·全国Ⅰ卷)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点.若∠MAN＝60°，则C的离心率为________.(2)(2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________.解析(1)如图，点M，N所在的渐近线为ay－bx＝0，圆A的圆心A(a，0)到渐近线的距离d＝|0－ab|a2＋b2，又M，N均为圆A上的点，∴|AM|＝|AN|＝b，又∠MAN＝60°，∴△MAN为等边三角形，在△MAN内，A到边MN的距离为d＝|AM|·cos30°＝32b，即|0－ab|a2＋b2＝32b，解得a2＝3b2，∴e＝ca＝a2＋b2a2＝233.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，∴y1＋p2＋y2＋p2＝4×p2，由根与系数的关系得y1＋y2＝2b2a2p，即y1＋y2＝p，∴2b2a2p＝p，即b2a2＝12⇒ba＝22.答案(1)233(2)y＝±22x联立方程：x2a2－y2b2＝1，x2＝2py，消去x得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，∴双曲线渐近线方程为y＝±22x.规律方法1.双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±ba满足关系式e2＝1＋k2.2.求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2＝c2－a2和e＝ca转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.【训练3】(1)(2017·全国Ⅱ卷)若a1，则双曲线x2a2－y2＝1的离心率的取值范围是()A.(2，＋∞)B.(2，2)C.(1，2)D.(1，2)(2)(2015·全国Ⅰ卷)已知M(x0，y0)是双