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椅子能在不平的地面上放稳吗?把椅子往不平的地面上一放,通常只有三只脚着地,放不稳,然而只要稍挪动几次,就可以四脚着地,放稳了。下面用数学语言证明。一、模型假设对椅子和地面都要作一些必要的假设:1、椅子四条腿一样长,椅脚与地面接触可视为一个点,四脚的连线呈正方形。2、地面高度是连续变化的,沿任何方向都不会出现间断(没有像台阶那样的情况),即地面可视为数学上的连续曲面。3、对于椅脚的间距和椅脚的长度而言,地面是相对平坦的,使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。二、模型建立中心问题是数学语言表示四只脚同时着地的条件、结论。首先用变量表示椅子的位置,由于椅脚的连线呈正方形,以中心为对称点,正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变,于是可以用旋转角度这一变量来表示椅子的位置。其次要把椅脚着地用数学符号表示出来,如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离,当这个距离为0时,表示椅脚着地了。椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数。由于正方形的中心对称性,只要设两个距离函数就行了,记A、C两脚与地面距离之和为f,B、D两脚与地面距离之和为g,显然f、0g,由假设2知f、g都是连续函数,再由假设3知f、g至少有一个为0。当BBACAxCD图1正方形椅脚D0时,不妨设0,0fg,这样改变椅子的位置使四只脚同时着地,就归结为如下命题:命题已知f、g是的连续函数,对任意,f*g=0,且00,00fg,则存在0,使000fg。三、模型求解将椅子旋转090,对角线AC和BD互换,由00,00fg可知02,02fg。令hfg,则02,00hh,由f、g的连续性知h也是连续函数,由零点定理,必存在2000使00h,00fg,由0*00fg,所以000fg。四、模型的进一步讨论Ⅰ.考虑椅子四脚呈长方形的情形设A、B两脚与地面之和为f,C、D两脚与地面距离之和为g,为AC连线与x轴正向的夹角(如图2所示)。显然f、0g,由假设2知f、g都是连续函数,再由假设3知f、g至少有一个为0。当0时,不妨设0,0fg,这样改变椅子的位置使四只脚同时着地,就归结为如下命题:命题已知f、g是的连续函数,对任意,f*g=0,且00,00fg,则存在0,使000fg。图2长方形椅脚将椅子绕对称中心旋转度,长方形ABCD变成了C’D’A’B’(如图2),即AB与CD互换,由00,00fg可知0,0gf。令hfg,则00,0hh,由f、g的连续性知h也是连续函数,由零点定理,必存在000使00h,即00fg,由0*00fg,所以000fg。Ⅱ.考虑椅子四脚呈不规则四边形(即任意四边形)的情形在椅子四脚连线所构成的四边形ABCD的内部任取一点O,作为坐标原点,建立直角坐标系,记AO与x轴正向夹角为,记A、B两脚与地面距离之和为f,C、D两脚与地面距离之和为g,根据假设3不妨设当1时,110,0gf,将椅子逆时针旋转一定角度,使A、B两脚与地面之和为0,此时,AO与x轴正向的夹角变为2,由假设3(任意时刻椅子至少有3只脚着地)易知当2,220,0fg,令hfg,则120,0hh,由f、g的连续性知h也是连续函数,由零点定理,必存在0102,121[0,2),(,2],使00h,即00fg,由0*00fg,所以000fg。图3不规则四边形五、评注模型巧妙在于用已元变量表示椅子的位置,用的两个函数表示椅子四脚与地面的距离。利用正方形的中心对称性及旋转90°并不是本质的。我们在模型的进一步讨论中更证实了更一般的结论:四脚连线为不规则四边形的椅子能在不平的地面上放稳。
本文标题:椅子能在不平的地面上放稳吗(1)
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