第1课时　角的平分线的性质

12.3角的平分线的性质第1课时角的平分线的性质01基础题知识点1角的平分线的作法1．如果要作已知∠AOB的平分线OC，合理的顺序是(C)①作射线OC；②在OA、OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE；③分别以D、E为圆心，大于12DE长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C.A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①2．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是(A)A．SSSB．ASAC．AASD．角平分线上的点到角两边距离相等3．已知△ABC，用尺规作图作出∠ABC的角平分线，保留作图痕迹，不写作法．解：作图略．知识点2角的平分线的性质4．(茂名中考)如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝6，则点P到边OB的距离为(A)A．6B．5C．4D．35．(怀化中考)如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是(B)A．PC＝PDB．∠CPD＝∠DOPC．∠CPO＝∠DPOD．OC＝OD6．已知：如图所示，点O在∠BAC的平分线上，BO⊥AC，CO⊥AB，垂足分别为D，E，求证：OB＝OC.证明：∵点O在∠BAC的平分线上，BO⊥AC，CO⊥AB，∴OE＝OD，∠BEO＝∠CDO＝90°.在△BEO和△CDO中，∠BEO＝∠CDO，OE＝OD，∠EOB＝∠DOC，∴△BEO≌△CDO(ASA)．∴OB＝OC.知识点3文字命题的证明7．命题“全等三角形对应边上的高相等”的已知是两个三角形全等，结论是这两个三角形对应边上的高相等．8．(咸宁中考)证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．已知：如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．求证：PD＝PE．请你补全已知和求证，并写出证明过程.证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO＝∠PEO，∠AOC＝∠BOC，OP＝OP，∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD＝PE.02中档题9．(淮安中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于12MN长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积为(B)A．15B．30C．45D．6010．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是(A)A．M点B．N点C．P点D．Q点11．(湖州中考)如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是(C)A．8B．6C．4D．212．已知，如图，△ABC的角平分线AD交BC于D，BD∶DC＝2∶1，若AC＝3cm，则AB＝6_cm．13．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，垂足为E，且AB＝10cm，求△DEB的周长．解：∵AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE.又∵AD＝AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED.∴AE＝AC.∴△DEB的周长为DE＋DB＋EB＝CD＋DB＋BE＝BC＋BE＝AC＋BE＝AE＋BE＝AB＝10cm.14．求证：有两个角及其中一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等．已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′，∠BAC＝∠B′A′C′，AD，A′D′分别是∠BAC，∠B′A′C′的平分线，且AD＝A′D′.求证：△ABC≌△A′B′C′.证明：∵∠BAC＝∠B′A′C′，AD，A′D′分别是∠BAC，∠B′A′C′的角平分线，∴∠BAD＝∠B′A′D′.∵∠B＝∠B′，AD＝A′D′，∴△ABD≌△A′B′D′(AAS)．∴AB＝A′B′.在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′，AB＝A′B′，∠BAC＝∠B′A′C′，∴△ABC≌△A′B′C′(ASA)．03综合题15．(长春中考)感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°.易知：DB＝DC.探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°.求证：DB＝DC.证明：过点D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.∵∠B＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠FCD＝180°，∴∠B＝∠FCD.在△DFC和△DEB中，∠F＝∠DEB，∠FCD＝∠B，DF＝DE，∴△DFC≌△DEB.∴DC＝DB.