28.1_锐角三角函数_达标训练(含答案)

28.1锐角三角函数达标训练一、基础·巩固达标1.在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A的正弦值和余弦值()A.都没有变化B.都扩大2倍C.都缩小2倍D.不能确定2.已知α是锐角，且cosα=54，则sinα=()A.259B.54C.53D.25163.Rt△ABC中，∠C=90°，AC∶BC=1∶3，则cosA=_______，tanA=_________.4.设α、β为锐角，若sinα=23，则α=________；若tanβ=33，则β=_________.5.用计算器计算：sin51°30′+cos49°50′－tan46°10′的值是_________.6.△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BD=9，tanB=34，求AD、AC、BC.二、综合•应用达标7.已知α是锐角，且sinα=54，则cos(90°－α)=()A.54B.43C.53D.518.若α为锐角，tana=3，求sincossincos的值.9.已知方程x2－5x·sinα+1=0的一个根为32，且α为锐角，求tanα.10.同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图28.1－13是某公园(六·一)前新增设的一台滑梯，该滑梯高度AC=2m，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC=4m.(1)求滑梯AB的长(精确到0.1m)；(2)若规定滑梯的倾斜角(∠ABC)不超过45°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否要求？图28.1－1311.四边形是不稳定的.如图28.1－14，一矩形的木架变形为平行四边形，当其面积变为原矩形的一半时，你能求出∠α的值吗？图28.1－14三、回顾•展望达标12.三角形在正方形网格纸中的位置如图28.3－15所示，则sinα的值是()A.43B.34C.53D.54图28.1－15图28.1－17图28.1－1613.如图28.1－17，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径23r，AC=2，则cosB的值是()A.23B.35C.25D.3214.在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=31，则BC=()A.45B.5C.51D.45115.如图28.3－16，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos∠BCD=()A.53B.43C.34D.5416.课本中，是这样引入“锐角三角函数”的：如图28.1－18，在锐角α的终边OB上，任意取两点P和P1，分别过点P和P1做始边OA的垂线PM和P1M1，M和M1为垂足.我们规定，比值________叫做角α的正弦，比值________叫做角α的余弦.这是因为，由相似三角形的性质，可推得关于这些比值得两个等式：________，________.说明这些比值都是由________唯一确定的，而与P点在角的终边上的位置无关，所以，这些比值都是自变量α的函数.图28.1－18图28.1－1917.计算：2－1－tan60°+(5－1)0+|3|；18.已知：如图28.1－19，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=21，∠CAD=30°.(1)求证：AD是⊙O的切线；(2)若OD⊥AB，BC=5，求AD的长.参考答案一、基础·巩固达标1.在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A的正弦值和余弦值()A.都没有变化B.都扩大2倍C.都缩小2倍D.不能确定思路解析：当Rt△ABC的各边长度都扩大二倍，所得新三角形与原三角形相似，故锐角A大小不变.答案：A2.已知α是锐角，且cosα=54，则sinα=()A.259B.54C.53D.2516思路解析：由cosα=54，可以设α的邻边为4k，斜边为5k，根据勾股定理，α的对边为3k，则sinα=53.答案：C3.Rt△ABC中，∠C=90°，AC∶BC=1∶3，则cosA=_______，tanA=_________.思路解析：画出图形，设AC=x，则BC=x3，由勾股定理求出AB=2x，再根据三角函数的定义计算.答案：21，34.设α、β为锐角，若sinα=23，则α=________；若tanβ=33，则β=_________.思路解析：要熟记特殊角的三角函数值.答案：60°,30°5.用计算器计算：sin51°30′+cos49°50′－tan46°10′的值是_________.思路解析：用计算器算三角函数的方法和操作步骤.答案：0.38606.△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BD=9，tanB=34，求AD、AC、BC.思路解析：由条件可知△ABC、△ABD、△ADC是相似的直角三角形，∠B=∠CAD，于是有tan∠CAD=tanB=34，所以可以在△ABD、△ADC中反复地运用三角函数的定义和勾股定理来求解.解：根据题意，设AD=4k，BD=3k，则AB=5k.在Rt△ABC中，∵tanB=34，∴AC=34AB=320k.∵BD=9,∴k=3.所以AD=4×3=12，AC=320×3=20.根据勾股定理25152022BC.二、综合•应用达标7.已知α是锐角，且sinα=54，则cos(90°－α)=()A.54B.43C.53D.51思路解析：方法1.运用三角函数的定义，把α作为直角三角形的一个锐角看待，从而对边、邻边、斜边之比为4∶3∶5，(90°－α)是三角形中的另一个锐角，邻边与斜边之比为4∶5，cos(90°－α)=54.方法2.利用三角函数中互余角关系“sinα=cos(90°－α)”.答案：A8.若α为锐角，tana=3，求sincossincos的值.思路解析：方法1.运用正切函数的定义，把α作为直角三角形的一个锐角看待，从而直角三角形三边之比为3∶1∶10，sinα=103，cosα=101，分别代入所求式子中.方法2.利用tanα=cossin计算，因为cosα≠0，分子、分母同除以cosα，化简计算.答案：原式=213131tan1tan1cossincoscoscossincoscos.9.已知方程x2－5x·sinα+1=0的一个根为32，且α为锐角，求tanα.思路解析：由根与系数的关系可先求出方程的另一个根是32，进而可求出sinα=54，然后利用前面介绍过的方法求tanα.解：设方程的另一个根为x2，则(32)x2=1∴x2=32∴5sinα=(32)+(32)，解得sinα=54.设锐角α所在的直角三角形的对边为4k，则斜边为5k，邻边为3k，∴tanα=3434kk.10.同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图28.1－13是某公园(六·一)前新增设的一台滑梯，该滑梯高度AC=2m，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC=4m.图28.1－13(1)求滑梯AB的长(精确到0.1m)；(2)若规定滑梯的倾斜角(∠ABC)不超过45°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否要求？思路解析：用勾股定理可以计算出AB的长，其倾斜角∠ABC可以用三角函数定义求出，看是否在45°范围内.解：(1)在Rt△ABC中，2242AB≈4.5.答：滑梯的长约为4.5m.(2)∵tanB=5.0BCAC,∴∠ABC≈27°,∠ABC≈27°＜45°.所以这架滑梯的倾斜角符合要求.11.四边形是不稳定的.如图28.1－14，一矩形的木架变形为平行四边形，当其面积变为原矩形的一半时，你能求出∠α的值吗？图28.1－14思路解析：面积的改变实际上是平行四边形的高在改变，结合图形，可以知道h=b21，再在高所在的直角三角形中由三角函数求出α的度数.解：设原矩形边长分别为a，b，则面积为ab，由题意得，平行四边形的面积S=21ab.又因为S=ah=a(bsinα)，所以21ab=absinα，即sinα=21.所以α=30°.三、回顾•展望达标12.三角形在正方形网格纸中的位置如图28.3－15所示，则sinα的值是()图28.1－15A.43B.34C.53D.54思路解析：观察格点中的直角三角形，用三角函数的定义.答案：C13.如图28.1－17，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径23r，AC=2，则cosB的值是()图28.1－17A.23B.35C.25D.32思路解析：利用∠BCD=∠A计算.答案：D14.在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=31，则BC=()A.45B.5C.51D.451思路解析：根据定义sinA=ABBC，BC=AB·sinA.答案：B15.如图28.3－16，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos∠BCD=()图28.1－16A.53B.43C.34D.54思路解析：直径所对的圆周角是直角，设法把∠B转移到Rt△ADC中，由“同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”，得到∠ADC=∠B.答案：B16.课本中，是这样引入“锐角三角函数”的：如图28.1－18，在锐角α的终边OB上，任意取两点P和P1，分别过点P和P1做始边OA的垂线PM和P1M1，M和M1为垂足.我们规定，比值________叫做角α的正弦，比值________叫做角α的余弦.这是因为，由相似三角形的性质，可推得关于这些比值得两个等式：________，________.说明这些比值都是由________唯一确定的，而与P点在角的终边上的位置无关，所以，这些比值都是自变量α的函数.图28.1－18思路解析：正弦、余弦函数的定义.答案：11111,,,OPOMOPOMOPMPOPPMOPOMOPPM，锐角α17.计算：2－1－tan60°+(5－1)0+|3|；思路解析：特殊角的三角函数，零指数次幂的意义，负指数次幂的意义.解：2－1－tan60°+(5－1)0+|3|=21－3+1+3=23.18.已知：如图28.1－19，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=21，∠CAD=30°.图28.1－19(1)求证：AD是⊙O的切线；(2)若OD⊥AB，BC=5，求AD的长.思路解析：圆的切线问题跟过切点的半径有关，连接OA，证∠OAD=90°.由sinB=21可以得到∠B=30°，由此得到圆心角∠AOD=60°，从而得到△ACO是等边三角形，由此∠OAD=90°.AD是Rt△OAD的边，有三角函数可以求出其长度.(1)证明：如图，连接OA.∵sinB=21，∴∠B=30°.∴∠AOD=60°.∵OA=OC，∴△ACO是等边三角形.∴∠OAD=60°.∴∠OAD=90°.∴AD是⊙O的切线.(2)解：∵OD⊥AB∴OC垂直平分AB.∴AC=BC=5.∴OA=5.在Rt△OAD中，由正切定义，有tan∠AOD=OAAD.∴AD=35.