现代控制理论的数学基础

1现代控制理论的数学基础一．矩阵的定义1．矩阵矩阵定义为矩阵阵列，它的元素可以是实数、复数、函数或算子。一个n行m列的矩阵表示为nmnnmmaaaaaaaaaA212222111211称为矩阵。mn22．方阵方阵是行数和列数相等的矩阵。一个矩阵称为n阶方阵。nn3．向量1）只有一列的矩阵称为列向量。具有n个元素的列向量称为n维列向量。nxxxx212）只有一行的矩阵称为行向量。具有n个元素的行向量称为n维行向量。nxxxx2134．对角线矩阵如果除方阵A的主对角线元素外，其余的元素均为零，则称矩阵A为对角线矩阵，写成],,,[22112211nnnnaaadiagaaaA5．单位矩阵主对角线上元素全为1的对角线矩阵称为单位矩阵，即]1,,1,1[111diagI46．零矩阵：所有元素都为零的矩阵。7．转置矩阵如果矩阵A的行和列互相交换，则由此得到的矩阵称为矩阵A的转置矩阵，用AT表示。mnnmnmnnmmaaaaaaaaaA212222111211nmmmnnTaaaaaaaaaA212221212111矩阵转置的规律：1）(AT)T=A2）(A+B)T=AT+BT3）(AB)T=BTAT4）(kA)T=kAT5设方阵A的行列式为|A|，如果|A|=0，则称A为奇异矩阵；如果|A|≠0，则称A为非奇异矩阵。9．对称矩阵和斜对称矩阵（反号对称矩阵）8．奇异矩阵与非奇异矩阵1）对称矩阵：如果方阵A的元素相对于主对角线对称，则称A为对称矩阵（也可以这样说：如果方阵A等于它的转置矩阵，即A=AT，则A为对称矩阵）。2）斜对称矩阵：如果方阵A等于它的转置矩阵的负值，即A=-AT，则方阵A称为斜对称矩阵（反号对称矩阵）.6二．矩阵的代数运算1．矩阵的加减法如果两个矩阵A和B具有相等数量的行和列，则这两个矩阵可以相加和相减。若及，则有)(ijaA)(ijbB)()(ijijijijbaBAbaBA即矩阵的加减法就是把两个矩阵同行同列的元素相加、相减。72．矩阵与数的乘积（标量积）一个数量k与矩阵A相乘，就是把矩阵A的每个元素都乘上k，即nmnnmmnmnnmmkakakakakakakakakaaaaaaaaaakkA21222211121121222211121183．矩阵与矩阵的乘法设A为n×m矩阵，B为m×p矩阵，则A和B的乘积矩阵C为：1()()(1,2,,;1,2,,)mnpnmmpijikkjkCABcabinjp矩阵与矩阵乘法的性质：1）(AB)C=A(BC)2）(A+B)C=AC+BC3）C(A+B)=CA+CB4）一般情况下，矩阵乘法不满足交换律，即AB≠BA。5）一个n阶方阵A与一个n阶单位矩阵I相乘时，可互换位置顺序，其乘积相同，即IA=AI=A。6）如果两个方阵A和B的乘积等于零,不能推论A=0或B=09三．逆矩阵（※）1．子式Mij：从n阶方阵A中去掉第i行和第j列后所得到的是一个(n-1)阶方阵，该(n-1)阶方阵的行列式便称为n阶方阵A的子式Mij。2．余因子Aij：矩阵A的一个元素aij的余因子Aij是用方程Aij=(-1)i+jMij来定义的，即元素aij的余因子Aij是以(-1)i+j乘矩阵A中去掉第i行和第j列后构成的矩阵的行列式——子式Mij。103．伴随矩阵：矩阵A的伴随矩阵是以A的余因子为元素所构成的矩阵的转置矩阵，即nnnnnnAAAAAAAAAadjA2122212121114．矩阵的逆矩阵：若方阵A的行列式|A|不等于零，即A为非奇异，则矩阵A有逆矩阵存在，其计算式为AadjAA1115．逆矩阵的特性：1）AA-1=A-1A=I（I为单位矩阵）2）若|A|≠0，|B|≠0，则(BA)-1=A-1B-13）如果|A|≠0，则(AT)-1=(A-1)T4）(A-1)-1=A四．矩阵的秩（※）如果矩阵A的m阶子矩阵存在，且至少有一个m阶子矩阵的行列式不为零，而A的r阶子矩阵（r≥m+1）构成的行列式均为零，则称矩阵A的秩等于m，记为rankA=m。12五．矩阵的初等变换（※）如果对矩阵的元素实行了下列三种变换之一，就说这个矩阵经过了一次初等变换，即1）将任意两行（或两列）的元素互换位置；2）将任意一行（或一列）的元素乘上不等于0的数;3）将任意一行（或一列）元素的c倍加到另一行（或另一列）的元素上去。矩阵的初等变换有下述两个重要定理：1）一个矩阵经过任何一种初等变换后，其秩不变。2）任意一个矩阵经过一系列的初等变换后，总能变成阶梯形矩阵。13阶梯形矩阵：矩阵任一行第一个非零元素的下方全为零。例如因为阶梯形矩阵很容易确定它的秩，因此利用上述两个定理，先把矩阵变成阶梯形矩阵，再确定阶梯形矩阵的秩，即为原矩阵的秩。000010001210,30012010114考虑方阵A特征矩阵：A-λI特征方程：|A-λI|=0特征值：特征方程的根λ特征向量：将某一特征值λi代入方程Ax=λx中，解得的向量x称为与特征值λi相应的一个特征向量。六．矩阵的特征值和特征向量（※）15七．向量的线性相关和线性独立(或称线性无关)(※)设有m个n维向量mnmmmnn21222212112111,,,如果存在一组不全为零的数，使得mccc,,,2102211mmccc则称向量组是线性相关的。如果只有当时，才能使m,,,21021mccc02211mmccc则称这m个向量是线性独立的。