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TheshortestwaytodomanythingsistoonlyonethingatatimeandAllthingsintheirbeingaregoodforsomethingandSufferingisthemostpowerfulteacheroflife第1页共7页解三角形题型分类解析类型一:正弦定理1、计算问题:例1、(2013•北京)在△ABC中,a=3,b=5,sinA=,则sinB=_________ 例2、已知ABC中,A,,则=.603asinsinsinabcABC例3、在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinB=b.求角A的大小;2、三角形形状问题例3、在中,已知分别为角A,B,C的对边,ABC,,abc1)试确定形状。BAbcoscosaABC2)若,试确定形状。coscosaBbAABC4)在中,已知,试判断三角形的形状。ABCAbBatantan225)已知在中,,且,试判断三角形的形状。ABCCcBbsinsinCBA222sinsinsin例4、(2016年上海)已知的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于ABC______类型二:余弦定理1、判断三角形形状:锐角、直角、钝角在△ABC中,若,则角是直角;222abcC若,则角是钝角;222abcC若,则角是锐角.222abcC例1、在△ABC中,若a9,b10,c12,则△ABC的形状是_________。2、求角或者边例2、(2016年天津高考)在△ABC中,若,BC=3,,则AC=.=13AB120C例3、在△ABC中,已知三边长,,,求三角形的最大内角.3a4b37cTheshortestwaytodomanythingsistoonlyonethingatatimeandAllthingsintheirbeingaregoodforsomethingandSufferingisthemostpowerfulteacheroflife第2页共7页例4、在△ABC中,已知a=7,b=3,c=5,求最大的角和sinC?3、余弦公式直接应用例5、:在ABC中,若,求角A.222abcbc例6、:(2013重庆理20)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a2+b2+ab=c2.2(1)求C;例7、设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若()()abcabcab,则角C例8、(2016年北京高考)在ABC中,2222acbac.(1)求B的大小;(2)求2coscosAC的最大值.类型三:正弦、余弦定理基本应用例1.【2015高考广东,理11】设的内角,,的对边分别为,,,若ABCABCabc,,,则.3a1sin2B6Cπb例2.,则B等于。1)(22acbca例3.【2015高考天津,理13】在中,内角所对的边分别为,已知ABC,,ABC,,abc的面积为,则的值为.ABC31512,cos,4bcAa例4.在△ABC中,sin(C-A)=1,sinB=,求sinA=。31例5.【2015高考北京,理12】在中,,,,则.ABC△4a5b6csin2sinAC例6.若△ABC的三个内角满足sin:sin:sin5:11:13ABC,则△ABCTheshortestwaytodomanythingsistoonlyonethingatatimeandAllthingsintheirbeingaregoodforsomethingandSufferingisthemostpowerfulteacheroflife第3页共7页(A)一定是锐角三角形.(B)一定是直角三角形.(C)一定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形.变:在中,若,则角的度数为ABC7:5:3sin:sin:sinCBAC例7.△ABC的三个内角满则A:B:C=1:2:3则a:b:c=.例8.设的内角的对边分别为,且,,则ABC,,ABC,,abc53cosA135cosB3bc类型四:与正弦有关的解的个数思路二:利用大边对大角进行筛选例1:在△ABC中,bsinA<a<b,则此三角形有A.一解B.两解C.无解D.不确定例2:在中,分别根据下列条件解三角形,其中有两解的是【】ABCA、,,;B、,,;7a14b30A25b30c150CC、,,;D、,,。4b5c30B6a3b60B例3:在中,ABC有几个?则满足此条件的三角形,45),0(3,aoAb类型五:与有关的问题CBA例1:在△ABC中,sinA=2cosBsinC,则三角形为_____________.变:在△ABC中,已知,那么△ABC一定是。BCBCcos)sin(2sin例2:在中,角,,对应的边分别是,,.已知.ABCABCabccos23cos1ABC(I)求角的大小;A(II)若的面积,,求的值.ABC53S5bsinsinBC例3:△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3acosC=2ccosA,tanA=,求13B.例4:在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且TheshortestwaytodomanythingsistoonlyonethingatatimeandAllthingsintheirbeingaregoodforsomethingandSufferingisthemostpowerfulteacheroflife第4页共7页b)sinC(2cc)sinB(2b2asinA(Ⅰ)求A的大小;(Ⅱ)求的最大值.sinsinBC类型六:边化角,角化边注意点:①换完第一步观察是否可以约分,能约分先约分②怎么区分边化角还是角化边呢?若两边都是正弦首先考虑角化边,若sin,cos都存在时首先考虑边化角例1:在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足csinA=acosC.(Ⅰ)求角C的大小;例2在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若3a=2b,则的2sin2B-sin2Asin2A值为例3.△ABC中,sin2A=sin2B+sin2C,则△ABC为A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形例4:(2011·全国)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,asinA+csinC-asin2C=bsinB.(1)求B;(2)若A=75°,b=2,求a,c.例5:(2016年四川高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.coscossinABCabc(I)证明:;sinsinsinABC(II)若,求.22265bcabctanB例6:(2016年浙江高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acosB.(I)证明:A=2B;(II)若△ABC的面积,求角A的大小.2=4aS例7:的内角所对的边分别为.ABCCBA,,cba,,(I)若成等差数列,证明:;cba,,CACAsin2sinsin(II)若成等比数列,求的最小值.cba,,BcosTheshortestwaytodomanythingsistoonlyonethingatatimeandAllthingsintheirbeingaregoodforsomethingandSufferingisthemostpowerfulteacheroflife第5页共7页类型七:面积问题面积公式:例1:设ABCA的内角,,ABC所对边的长分别是,,abc,且b=3,c=1,△ABC的面积为求cosA与a的值;2例2:在ABC中,角,,ABC的对边分别为,,,3abcB,4cos,35Ab。(Ⅰ)求sinC的值;(Ⅱ)求ABC的面积.例3:的内角,,所对的边分别为,,.向量与CAACabc,3mab平行.cos,sinnA(I)求;A(II)若,求的面积7a2bCA例4.在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足ABC(1)求△ABC的面积;(2)若c=1,求a的值.例5:(2013•浙江)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinB=b.(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)若a=6,b+c=8,求△ABC的面积.例6:(2016年全国I高考)的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ABC△2cos(coscos).CaB+bAc(I)求C;(II)若的面积为,求的周长.7,cABC△332ABC△题型八:图形问题例1:如图所示,货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标TheshortestwaytodomanythingsistoonlyonethingatatimeandAllthingsintheirbeingaregoodforsomethingandSufferingisthemostpowerfulteacheroflife第6页共7页方向线的水平转角)为140°的方向航行,为了确定船位,船在B点观测灯塔A的方位角为110°,航行半小时后船到达C点,观测灯塔A的方位角是65°,则货轮到达C点时,与灯塔A的距离是多少?例2.【2015高考湖北,理13】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到处A时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上,行驶600m后到达处,测得此山顶在30B西偏北的方向上,仰角为,则此山的高度m.7530CD正弦定理、余弦定理水平测试题一、选择题1.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a2+c2-b2=ac,则角B的值为3A.B.C.或D.或π6π3π65π6π32π32.已知锐角△ABC的面积为3,BC=4,CA=3,则角C的大小为3A.75°B.60°C.45°D.30°3.(2010·上海高考)若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC=5∶11∶13,则△ABCA.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形4.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为A.B.C.D.5183432785.(2010·湖南高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若∠C=120°,c=a,则( )2A.a>bB.a<bC.a=bD.a与b大小不能确定二、填空题TheshortestwaytodomanythingsistoonlyonethingatatimeandAllthingsintheirbeingaregoodforsomethingandSufferingisthemostpowerfulteacheroflife第7页共7页6.△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C所对的边,已知a=,b=3,C=30°,则A=37.(2010·山东高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,sinB+cosB=,则角A的大小为________.228.已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,且AB=1,BC=4,则边BC上的中线AD的长为________.三、解答题9.△ABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.若a2-c2=2b,且sinB=4cosAsinC,求b.10.在△ABC中,已知a2+b2=c2+ab.(1)求角C的大小;(2)又若sinAsinB=,判断△ABC的形状.3411.(2010·浙江高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积,且S=(a2+b2-c2).34(1)求角
本文标题:解三角形题型总结
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