解三角形题型总结

TheshortestwaytodomanythingsistoonlyonethingatatimeandAllthingsintheirbeingaregoodforsomethingandSufferingisthemostpowerfulteacheroflife第1页共7页解三角形题型分类解析类型一：正弦定理1、计算问题：例1、（2013•北京）在△ABC中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=_________　例2、已知ABC中，A，，则=．603asinsinsinabcABC例3、在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．求角A的大小；2、三角形形状问题例3、在中，已知分别为角A，B，C的对边，ABC,,abc1)试确定形状。BAbcoscosaABC2）若，试确定形状。coscosaBbAABC4）在中，已知，试判断三角形的形状。ABCAbBatantan225）已知在中，，且，试判断三角形的形状。ABCCcBbsinsinCBA222sinsinsin例4、（2016年上海）已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于ABC______类型二：余弦定理1、判断三角形形状：锐角、直角、钝角在△ABC中，若，则角是直角；222abcC若，则角是钝角；222abcC若，则角是锐角．222abcC例1、在△ABC中，若a9,b10,c12,则△ABC的形状是_________。2、求角或者边例2、（2016年天津高考）在△ABC中，若,BC=3，,则AC=．=13AB120C例3、在△ABC中，已知三边长，，，求三角形的最大内角．3a4b37cTheshortestwaytodomanythingsistoonlyonethingatatimeandAllthingsintheirbeingaregoodforsomethingandSufferingisthemostpowerfulteacheroflife第2页共7页例4、在△ABC中，已知a=7,b=3,c=5，求最大的角和sinC?3、余弦公式直接应用例5、：在ABC中，若，求角A．222abcbc例6、：(2013重庆理20)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2.2(1)求C；例7、设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若()()abcabcab，则角C例8、（2016年北京高考）在ABC中，2222acbac.（1）求B的大小；（2）求2coscosAC的最大值.类型三：正弦、余弦定理基本应用例1.【2015高考广东，理11】设的内角，，的对边分别为，，，若ABCABCabc，，，则.3a1sin2B6Cπb例2.，则B等于。1)(22acbca例3.【2015高考天津，理13】在中，内角所对的边分别为，已知ABC,,ABC,,abc的面积为，则的值为.ABC31512,cos,4bcAa例4.在△ABC中，sin(C-A)=1,sinB=，求sinA=。31例5.【2015高考北京，理12】在中，，，，则．ABC△4a5b6csin2sinAC例6.若△ABC的三个内角满足sin:sin:sin5:11:13ABC，则△ABCTheshortestwaytodomanythingsistoonlyonethingatatimeandAllthingsintheirbeingaregoodforsomethingandSufferingisthemostpowerfulteacheroflife第3页共7页（A）一定是锐角三角形.（B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.变：在中，若，则角的度数为ABC7:5:3sin:sin:sinCBAC例7.△ABC的三个内角满则A:B:C=1:2:3则a:b:c=.例8.设的内角的对边分别为，且，,则ABC,,ABC,,abc53cosA135cosB3bc类型四：与正弦有关的解的个数思路二：利用大边对大角进行筛选例1：在△ABC中，bsinA＜a＜b，则此三角形有A.一解B.两解C.无解D.不确定例2：在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是【】ABCA、，，；B、，，；7a14b30A25b30c150CC、，，；D、，，。4b5c30B6a3b60B例3：在中，ABC有几个？则满足此条件的三角形,45),0(3,aoAb类型五：与有关的问题CBA例1：在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为_____________.变：在△ABC中，已知，那么△ABC一定是。BCBCcos)sin(2sin例2:在中,角,,对应的边分别是,,.已知.ABCABCabccos23cos1ABC(I)求角的大小;A(II)若的面积,,求的值.ABC53S5bsinsinBC例3:△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acosC＝2ccosA，tanA＝，求13B.例4:在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且TheshortestwaytodomanythingsistoonlyonethingatatimeandAllthingsintheirbeingaregoodforsomethingandSufferingisthemostpowerfulteacheroflife第4页共7页b)sinC(2cc)sinB(2b2asinA（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求的最大值.sinsinBC类型六：边化角，角化边注意点:①换完第一步观察是否可以约分，能约分先约分②怎么区分边化角还是角化边呢？若两边都是正弦首先考虑角化边，若sin,cos都存在时首先考虑边化角例1:在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC．（Ⅰ）求角C的大小；例2在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则的2sin2B－sin2Asin2A值为例3.△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形例4：(2011·全国)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，asinA＋csinC－asin2C＝bsinB.(1)求B；(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.例5：（2016年四川高考）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.coscossinABCabc（I）证明：；sinsinsinABC（II）若，求.22265bcabctanB例6：（2016年浙江高考）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b+c=2acosB.（I）证明：A=2B；（II）若△ABC的面积，求角A的大小.2=4aS例7：的内角所对的边分别为.ABCCBA，，cba，，（I）若成等差数列，证明：；cba，，CACAsin2sinsin（II）若成等比数列，求的最小值.cba，，BcosTheshortestwaytodomanythingsistoonlyonethingatatimeandAllthingsintheirbeingaregoodforsomethingandSufferingisthemostpowerfulteacheroflife第5页共7页类型七：面积问题面积公式：例1：设ABCA的内角,,ABC所对边的长分别是,,abc，且b=3，c=1，△ABC的面积为求cosA与a的值；2例2:在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,,3abcB，4cos,35Ab。（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）求ABC的面积.例3：的内角，，所对的边分别为，，．向量与CAACabc,3mab平行．cos,sinnA（I）求；A（II）若，求的面积7a2bCA例4．在中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足ABC(1)求△ABC的面积；(2)若c＝1，求a的值．例5：（2013•浙江）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．例6：（2016年全国I高考）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC△2cos(coscos).CaB+bAc（I）求C；（II）若的面积为，求的周长．7,cABC△332ABC△题型八：图形问题例1：如图所示，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标TheshortestwaytodomanythingsistoonlyonethingatatimeandAllthingsintheirbeingaregoodforsomethingandSufferingisthemostpowerfulteacheroflife第6页共7页方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？例2.【2015高考湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处A时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在30B西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度m.7530CD正弦定理、余弦定理水平测试题一、选择题1．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B的值为3A.B.C.或D.或π6π3π65π6π32π32．已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为3A．75°B．60°C．45°D．30°3．(2010·上海高考)若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，则△ABCA．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为A.B.C.D.5183432785．(2010·湖南高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C＝120°，c＝a，则(　　)2A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．a与b大小不能确定二、填空题TheshortestwaytodomanythingsistoonlyonethingatatimeandAllthingsintheirbeingaregoodforsomethingandSufferingisthemostpowerfulteacheroflife第7页共7页6．△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，已知a＝，b＝3，C＝30°，则A＝37．(2010·山东高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，sinB＋cosB＝，则角A的大小为________．228．已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．三、解答题9．△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.若a2－c2＝2b，且sinB＝4cosAsinC，求b.10．在△ABC中，已知a2＋b2＝c2＋ab.（1）求角C的大小；（2）又若sinAsinB＝，判断△ABC的形状．3411．(2010·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，且S＝(a2＋b2－c2)．34（1）求角