控制系统的状态空间表达式

控制系统状态空间表达式基本概念状态空间表达式的建立状态空间表达式求传递函数矩阵离散系统的数学模型线性变换组合系统的数学描述基本概念状态——动态系统的状态是一个可以确定该系统行为的信息集合。这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的。状态变量——确定系统状态的最小一组变量，如果知道这些变量在任意初始时刻的值以及的系统输入，便能够完整地确定系统在任意时刻的状态。（状态变量的选择可以不同）0tt≥0tt状态空间——以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交线性空间，称为状态空间。状态方程——描述系统状态变量和输入量之间关系的方程。输出方程——描述系统输出量和状态变量之间关系的方程。系统的状态方程和输出方程总合，称为系统状态空间表达式，或称为系统动态方程，或称系统方程。基本概念例：如下图所示电路，为输入量，为输出量。)(tu)(tuC)()()()(tututRidttdiLC建立方程：dttduCiC)(初始条件：)()(00tititt)()(00tutuCttC)(tuC和可以表征该电路系统的行为，就是该系统的一组状态变量)(ti前面电路的微分方程组可以改写如下，并且写成矩阵形式：LtuLtutiLRdttdiC)()()()()(1)(tiCdttduC)(01)()(011)()(tuLtutiCLLRdttdudttdiCC)()(10)(tutituCC基本概念基本概念21xxx设：)(1tix)(2tuxC01Lb10C011CL-LR-ACxbAxxyu则可以写成状态空间表达式：推广到一般形式：DuCxyBuAxxnxxx21xruuu21umyyy21yA：系统矩阵B：输入（控制）矩阵C：输出矩阵D：直接传递矩阵基本概念nnnnnnaaaa1111Arnnrnrabbb1111Bnmmnmncccc1111Crmmrmrdddd1111D基本概念如果矩阵A,B,C,D中的所有元素都是实常数时，则称这样的系统为线性定常（LTI，即：LinearTime-Invariant）系统。如果这些元素中有些是时间t的函数，则称系统为线性时变系统。基本概念状态变量的选取（1）状态变量的选取可以视问题的性质和输入特性而定（2）状态变量选取的非惟一性（3）系统状态变量的数目是惟一的在前面的例子中，如果重新选择状态变量则其状态方程为Cux1Cuxx12uLCxxLRLCxx101102121输出方程为：2101xxy状态空间表达式的建立三种途径：由系统方块图建立首先将系统方块图转换为相应模拟结构图，然后直接列写。由系统物理或电气特性出发进行推理由系统高阶微分方程或传递函数演化推理状态空间表达式的建立由系统物理或电气特性出发进行推理例建立右图所示机械系统的状态空间表达式（注：质量块m的重量已经和弹簧k的初始拉伸相抵消）根据牛顿第二定律22dtydmdtdyfkyFF即：Fkydtdyfdtydm22选择状态变量yx112xyx21xx则：FmxmfxmkFmdtdymfymkx11212状态空间表达式的建立机械系统的系统方程为Fmxxmfmkxx101021212101xxy该系统的状态图如下状态空间表达式的建立例建立电枢控制直流他励电动机的状态空间表达式电枢回路的电压方程为DeDDDDuKiRdtdiL系统运动方程式为dtdJfiKDDm（式中，为电动势常数；为转矩常数；为折合到电动机轴上的转动惯量；为折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。）eKmKDJf可选择电枢电流和角速度为状态变量，电动机的电枢电压为输入量，角速度为输出量。DiDuDiy10DDDDDmDeDDDuLiJfJKLKLRdtddtdi01状态空间表达式状态图如图：状态空间表达式的建立由系统高阶微分方程或传递函数演化推理微分方程中不含有输入信号导数项考察三阶系统，其微分方程为：ubyayayay0012选取状态变量yx1yx2yx3则有21xx32xxubxaxaxax03221103写成矩阵形式ubxxxaaaxxx032121032100100010321001xxxy状态空间表达式的建立状态图如下：状态空间表达式的建立一般情况下，n阶微分方程为：ubyayayaynnn001)1(1)(选择状态变量如下：┆yxxyxxyx32211ubxaxaxayxyxxnnnnnnn012110)()1(1状态空间表达式的建立写成矩阵形式：ubxxxaaaaaxxxnnn0211321021000100000010000010nxxy1001状态空间表达式的建立系统的状态图如下：状态空间表达式的建立微分方程中含有输入信号导数项首先考察三阶系统，其微分方程为ububububyayayay0123012（一）待定系数法选择状态变量：uxuuuyxuxuuyxuyx2221031110201其中，待定系数为：22110002120112022130aaabaababb状态空间表达式的建立于是uxaxaxaxuxxuxx33221103232121写成矩阵形式uuxxxaaaxxxbAxx321321210321100010duuxxxuxyCx032101001状态空间表达式的建立系统的状态图状态空间表达式的建立一般情况下，n阶微分方程为：ububububyayayaynnnnnnn01)1(1)(01)1(1)(选择n个状态变量为uxxuxxuxxuyxnnn1122311201状态空间表达式的建立uxxxaaaaaxxxnnnnn121211321021100000010000010系统方程为uxxyn01001状态空间表达式的建立系统状态图如下状态空间表达式的建立（二）辅助变量法设n阶微分方程为：ubububyayayaynnnnn01)1(101)1(1)(Laplace变换，求传递函数1212101110()()nnnnnnnbsbsbsbYsUssasasa引入辅助变量z状态空间表达式的建立uzazazaznnn01)1(1)(yzbzbzbnn01)1(1返回到微分方程形式：以及选择状态变量如下：zxxzxxzx32211┆ubxaxaxazxzxxnnnnnnn012110)()1(1nnnnxbxbxbzbzbzby1211001)1(1状态空间表达式的建立uxxxaaaaaxxxnnn1000100000010000010211321021nnxxbbby1110注：如果输入项的导数阶次和输出项导数阶次相同，则有d。0101110101)()(asasabsbsbdasasabsbsbsRsYnnnnnnnn状态空间表达式的建立例已知描述系统的微分方程为uuyyyy64016064019218试求系统的状态空间表达式。解（1）待定系数法选择状态变量如下uxxuxxuyx22311201其中224016018640160064001921600022110003100112022130aaabaababb状态空间表达式的建立于是系统的状态空间表达式为uxxxxxx2240160018192640100010321321321001xxxy状态空间表达式的建立（2）辅助变量法引入辅助变量zuzzzz64019218zzy640160选择状态变量zx112xzx23xzx于是系统的状态空间表达式为uxxxxxx100181926401000103213213210160640xxxy状态空间表达式求传递函数矩阵uyudCxbAxx在初始松弛时（即：初始条件为零），求Laplace变换，并且化简状态变量对输入量(输入到状态)的传递函数bAIAIbAIGssssxudetadj)(1输出量对输入量(输入到输出)的传递函数（即：传递函数）dbAIAICdbAICssssgyudetadj)(1单入-单出线性定常系统的状态空间表达式为状态空间表达式求传递函数矩阵例系统状态方程式为u105610xxx11y求系统传递函数。解：1056111)(11ssssgbAIC22151adj00656111111115656det65sssssssssss状态空间表达式求传递函数矩阵DuCxyBuAxx多输入-多输出系统状态空间表达式为进行拉普拉斯变换)()()0()(ssssBuAxxx)0()()(xBuxA-Isss1AIs如果存在，则)0()()(11xAIBuAIxssss如果，则0)0(x)()()()(1sssssuGBuAIxxuBAIAIBAIGxuss