北师大版九年级下册数学《锐角三角函数》课件

锐角三角函数猜一猜,这座古塔有多高?在直角三角形中,知道一边和一个锐角,你能求出其它的边和角吗?想一想,你能运用所学的数学知识测出这座古塔的高吗?新课导入：学习了本节课即可解决源于生活的数学从梯子的倾斜程度谈起梯子是我们日常生活中常见的物体你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？想一想：下面我们一起探究生活问题数学化小明的问题,如图:梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？2.5m2m5m5mABCDEF第一个梯子比较陡想一想：有比较才有鉴别小颖的问题,如图:梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？1.3m1.5m3.5m4mABCDEF第二个梯子比较陡想一想：永恒的真理小亮的问题,如图:梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？3m2m6m4mABCDEF两个梯子一样陡做一做：在实践中探索小丽的问题,如图:梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？?2m2m6m5mABCDEF第二个梯子比较陡想一想：知道就做别客气小明和小亮这样想,如图:如图,小明想通过测量B1C1及AC1,算出它们的比,来说明梯子AB1的倾斜程度;而小亮则认为,通过测量B2C2及AC2,算出它们的比,也能说明梯子AB1的倾斜程度.你同意小亮的看法吗?AB1C2C1B2同意做一做：由感性到理性直角三角形的边与角的关系(1).Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3)呢?由此你得出什么结论?AB1C2C1B2?).2(222111有什么关系和ACCBACCBC3B3相似相等结论一样在直角三角形中,一个锐角的对边与邻边的比值是一个定值议一议：由感性上升到理性直角三角形中边与角的关系:锐角的三角函数--正切函数在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的比值是一个定值,那么这个角的值也随之确定.ABC∠A的对边∠A的邻边┌的邻边的对边AAtanA=在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即想一想：八仙过海,尽显才能如图,梯子AB1的倾斜程度与tanA有关吗?与∠A有关吗?与tanA有关:tanA的值越大,梯子AB1越陡.与∠A有关:∠A越大,梯子AB1越陡.AB1C2C1B2议一议：行家看“门道”例1下图表示两个自动扶梯,那一个自动扶梯比较陡?解:甲梯中,β6m┐乙8mα5m┌甲13m乙梯中,.1255135tan22.4386tan∵tanβ＞tanα,∴乙梯更陡.老师提示:在生活中,常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度.例题解析：用数学去解释生活如图,正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度i(即tanα)就是:老师提示:坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的正切..5310060tani100m60m┌αi议一议：八仙过海,尽显才能1.如图,△ABC是等腰直角三角形,你能根据图中所给数据求出tanC吗？2.如图,某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离是55m,求山坡的坡度(结果精确到0.001m).1.5┌ABCDABC┌.15.15.1tanDCBDC.268.05520055tan22Ai随堂练习：八仙过海,尽显才能3.鉴宝专家—--是真是假：老师期望:你能从中悟出点东西.(1).如图(1)().ACBCAtanABC┍ABC7m10m(1)(2)(2).如图(2)().BCACAtan(3).如图(2)().ABBCAtan(4).如图(2)().710tanB(5).如图(2)().mA7.0tan(6).如图(2)().7.0tan7.0tan,7.0tanAAA或××××^^随堂练习：4.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,tanA的值（）A.扩大100倍B.缩小100倍C.不变D.不能确定5.已知∠A,∠B为锐角(1)若∠A=∠B,则tanAtanB;(2)若tanA=tanB,则∠A∠B.ABC┌C==八仙过海,尽显才能随堂练习：6.如图,∠C=90°CD⊥AB.7.在上图中,若BD=6,CD=12.求tanA的值.老师提示:模型“双垂直三角形”的有关性质你可曾记得┌ACBD.tanB()()()()()()CDDBACBCADCD.21126tantanDCBDBCDA八仙过海,尽显才能随堂练习：8.如图,分别根据图(1)和图(2)求tanA的值.老师提示:求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.┌ACB34┌ACB34(1)(2).43tan1ACBCA.77373343tan222ACBCA八仙过海,尽显才能随堂练习：老师提示:求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.┌BCA36(1).3333336tan122ACBCA.33333363tan22BCACB9.在Rt△ABC中,∠C=90°,(1)如图(1),AC=3,AB=6,求tanA和tanB;八仙过海,尽显才能随堂练习：9.在Rt△ABC中,∠C=90°,(2)如图(2),BC=3,tanA=,求AC和AB.老师提示:求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.┌ACB3(2)125,3,125tan2BCACBCA,1253AC.5365123AC.53935362222BCACAB八仙过海,尽显才能随堂练习：八仙过海,尽显才能10.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=15,tanA=,求AC和BC.434k┌ACB1543tan,:ACBCA如图解.1543222kk.225252k.3k.12344,9333kACkBC3k.43kk随堂练习：11.在等腰△ABC中,AB=AC=13,BC=10,求tanB.老师提示:过点A作AD垂直于BC于点D.求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.ACB┌D,,:DBCADA于点作过点如图解.12,5,ADBDABDRt易知中在.512tanBDADB八仙过海,尽显才能随堂练习：相信自己12.在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)如图(1),AC=25.AB=27.求tanA和tanB.(1)┌ACB2725.52262526225tanBCACB.25262tanACBCA,25,27,,1:ACABABCRt中在如图解.262252722BC随堂练习：12.在Rt△ABC中,∠C=90°.(2)如图(2),BC=3,tanA=0.6,求AC和AB.,3,536.0tan2BCACBCA,533ACA(2)┌CB3.3453,522ABAC相信自己随堂练习：12.在Rt△ABC中,∠C=90°.(3)如图(3),AC=4,tanA=0.8,求BC.,4,548.0tan3ACACBCA,516,544BCBCA(3)┌CB4.5414516422AB相信自己随堂练习：13.在梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC=13,AD=8,BC=18.求:tanB.老师提示:作梯形的高是梯形的常用辅助,借助它可以转化为直角三角形.ACBDF┌E┌.,,:BDCFBDAE分别作如图解.12,5,13,AEBEABABERt易知中则在.512tanBEAEB相信自己随堂练习：回味无穷定义中应该注意的几个问题:1.tanA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角（注意数形结合，构造直角三角形）.2.tanA是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯省去“∠”号；3.tanA是一个比值（直角边之比.注意比的顺序,且tanA﹥0,无单位.4.tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.5.角相等,则正切值相等；两锐角的正切值相等,则这两个锐角相等小结拓展：1.正切的定义:Rt△ABC中,锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切,记作cotA,即的对边的邻边AAcotA=ABC∠A的对边∠A的邻边┌Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即的邻边的对边AAtanA=2.余切的定义:正切的倒数叫做∠A的余切,即回味无穷小结拓展：锐角三角函数(2)正切直角三角形中边与角的关系:锐角三角函数在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即的邻边的对边AAtanA=ABC∠A的对边∠A的邻边┌斜边回顾与反思：本领大不大悟心来当家如图,我们知道:当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,它的对边与邻边的比便随之确定.此时,其它边之间的比值也确定吗?结论:在Rt△ABC中,如果锐角A确定时,那么∠A的对边与斜边的比,邻边与斜边的比也随之确定.ABC∠A的对边∠A的邻边┌斜边想一想：正弦与余弦在Rt△ABC中,锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即在Rt△ABC中,锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即锐角A的正弦,余弦,正切都是∠A的三角函数.ABC∠A的对边∠A的邻边┌斜边斜边∠A的对边sinA=斜边∠A的邻边cosA=想一想：生活问题数学化结论:梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关:sinA越大,梯子越陡;cosA越小,梯子越陡.如图,梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关吗?想一想：例2如图:在Rt△ABC中,∠B=900,AC=200,sinA=0.6.求:BC的长.老师期望:请你求出cosA,tanA,sinC,cosC和tanC的值.你敢应战吗?200ACB┌解:在Rt△ABC中,,200,6.0sinACACBCA.1206.0200BC.6.0200BC.16012020022AB行家看“门道”—已知正弦求边长例题解析：知识的内在联系求:AB,sinB.10┐ABC.1312cosA如图:在Rt△ABC中,∠C=900,AC=10,,10,1312cos:ACABACA解.665121310AB.131266510sinABACB老师期望:注意到这里cosA=sinB,其中有没有什么内有的关系?.131210AB做一做：真知在实践中诞生1.如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.求:sinB,cosB,tanB.咋办老师提示:过点A作AD⊥BC于D.556ABC┌D,,:中则在于作过解ABDRtDBCADA.4,3,5ADBDAB易知,54sinABADB,53cosABBDB.34tanBDADB随堂练习：真知在实践中诞生2.在Rt△ABC中,∠C=900,BC=20,求:△ABC的周长和面积.咋办解:在Rt△ABC中,老师提示:分别求出AB,AC..54sinA20┐ABC,20,54sinBCABBCA.5420AB,254205AB.15202522AC.60152025ABCC.15021520ABCS随堂练习：八仙过海,尽显才能3.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,sinA的值（）A.扩大100倍B.缩小100倍C.不变D.不能确定4.已知∠A,∠B为锐角(1)若∠A=∠B,则sinAsinB;(2)若sinA=sinB,则∠A∠B.ABC┌C==随堂练习：5.如图,∠C=90°CD⊥AB.6.在上图中,若BD=6,CD=12.求cosA