圆锥曲线知识点+例题+练习含答案解析(整理)

圆锥曲线一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,FF的距离的和等于常数（大于||21FF）的点的轨迹。其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：||221FFa表示椭圆；||221FFa表示线段21FF；||221FFa没有轨迹；（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在x轴上中心在原点，焦点在y轴上标准方程)0(12222babyax)0(12222babxay图形顶点),0(),,0()0,(),0,(2121bBbBaAaA),0(),,0()0,(),0,(2121aBaBbAbA对称轴x轴，y轴；短轴为b2，长轴为a2焦点)0,(),0,(21cFcF),0(),,0(21cFcF焦距)0(2||21ccFF222bac离心率)10(eace（离心率越大，椭圆越扁）通径22ba（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）3．常用结论：（1）椭圆)0(12222babyax的两个焦点为21,FF，过1F的直线交椭圆于BA,两点，则2ABF的周长=（2）设椭圆)0(12222babyax左、右两个焦点为21,FF，过1F且垂直于对称轴的直线交椭圆于QP,两点，则QP,的坐标分别是||PQxOF1F2PyA2B2B1xOF1F2PyA2A1B1B2A1二、双曲线：（1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,FF的距离的差的绝对值等于常数（小于||21FF）的点的轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：aPFPF2||||21与aPFPF2||||12（||221FFa）表示双曲线的一支。||221FFa表示两条射线；||221FFa没有轨迹；（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在x轴上中心在原点，焦点在y轴上标准方程)0,0(12222babyax)0,0(12222babxay图形顶点)0,(),0,(21aAaA),0(),,0(21aBaB对称轴x轴，y轴；虚轴为b2，实轴为a2焦点)0,(),0,(21cFcF),0(),,0(21cFcF焦距)0(2||21ccFF222bac离心率)1(eace（离心率越大，开口越大）渐近线xabyxbay通径22ba（3）双曲线的渐近线：①求双曲线12222byax的渐近线，可令其右边的1为0，即得02222byax，因式分解得到0xyab。xOF1PB2B1F2xOF1F2PyA2A1y②与双曲线12222byax共渐近线的双曲线系方程是2222byax；（4）等轴双曲线为222tyx，其离心率为2（4）常用结论：（1）双曲线)0,0(12222babyax的两个焦点为21,FF，过1F的直线交双曲线的同一支于BA,两点，则2ABF的周长=（2）设双曲线)0,0(12222babyax左、右两个焦点为21,FF，过1F且垂直于对称轴的直线交双曲线于QP,两点，则QP,的坐标分别是||PQ三、抛物线：（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。（2）抛物线的标准方程、图象及几何性质：0p焦点在x轴上，开口向右焦点在x轴上，开口向左焦点在y轴上，开口向上焦点在y轴上，开口向下标准方程pxy22pxy22pyx22pyx22图形顶点)0,0(O对称轴x轴y轴焦点)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF离心率1e准线2px2px2py2pyOFPylxOFPylxOFPylxxOFPyl通径p2焦半径2||||0pxPF2||||0pyPF焦点弦焦准距p四、弦长公式：||14)(1||1||2212212212AkxxxxkxxkAB其中,,A分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去y后所得关于x的一元二次方程的判别式和2x的系数求弦长步骤：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程,02CBxAx设),(11yxA，),(22yxB，由韦达定理求出ABxx21，ACxx21；（3）代入弦长公式计算。法（二）若是联立两方程，消去x,得关于y的一元二次方程,02CByAy则相应的弦长公式是：||)1(14)()1(1||)1(1||2212212212AkyyyykyykAB注意（1）上面用到了关系式||4)(||2122121Axxxxxx和||4)(2122121Ayyyyyy注意（2）求与弦长有关的三角形面积，往往先求弦长，再求这边上的高（点到直线的距离），但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形，且线段的长度为定值，求面积一般用分割法五、弦的中点坐标的求法法（一）：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程,02CBxAx设),(11yxA，),(22yxB，由韦达定理求出ABxx21；（3）设中点),(00yxM，由中点坐标公式得2210xxx；再把0xx代入直线方程求出0yy。法（二）：用点差法，设),(11yxA，),(22yxB，中点),(00yxM，由点在曲线上，线段的中点坐标公式，过A、B两点斜率公式，列出5个方程，通过相减，代入等变形，求出00,yx。六、求离心率的常用方法：法一，分别求出a,c，再代入公式法二、建立a,b,c满足的关系，消去b,再化为关于e的方程，最后解方程求e(求e时，要注意椭圆离心率取值范围是0﹤e﹤1，而双曲线离心率取值范围是e﹥1)例1：设点P是圆224xy上的任一点，定点D的坐标为（8，0），若点M满足2PMMD．当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程．解设点M的坐标为,xy，点P的坐标为00,xy，由2PMMD，得00,28,xxyyxy，即0316xx，03yy．因为点P00,xy在圆224xy上，所以22004xy．即2231634xy，即2216439xy，这就是动点M的轨迹方程．例2：已知椭圆的两个焦点为（-2，0），（2,0）且过点53(,)22，求椭圆的标准方程解法1因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为22221(0)xyabab，由椭圆的定义可知：222253532(20(202102222a）（））（）10a又2222,6cbac所以所求的标准方程为221106xy解法222222,4cbaca，所以可设所求的方程为222214xyaa，将点53(,)22代人解得：10a所以所求的标准方程为221106xy例3.例4.高二圆锥曲线练习题11、F1，F2是定点，且|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则M点的轨迹方程是()(A)椭圆(B)直线(C)圆(D)线段2、已知ABC的周长是16，)0,3(A，B)0,3(,则动点的轨迹方程是()(A)1162522yx(B))0(1162522yyx(C)1251622yx(D))0(1251622yyx3、已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）A．13B．33C．12D．324、设椭圆1C的离心率为513，焦点在x轴上且长轴长为26．若曲线2C上的点到椭圆1C的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线2C的标准方程为（）A．2222143xyB．22221135xyC．2222134xyD．222211312xy5、设双曲线222109xyaa的渐近线方程为320xy，则a的值为（）.（A）4（B）3（C）2（D）16、双曲线8222yx的实轴长是（）（A）2（B）22（C）4（D）427、双曲线24x212y=1的焦点到渐近线的距离为（）A．23B．2C．3D．18、以双曲线221916xy的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（）A．221090xyxB．2210160xyxC．2210160xyxD．221090xyx9、、过椭圆2222xyab=1（a＞b＞0）的左焦点1F作x轴的垂线交椭圆于点P，2F为右焦点，若1F2PF60°，则椭圆的离心率为（）A．22B．33C．12D．1310.“0mn”是“方程221mxny”表示焦点在y轴上的椭圆的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件(D)既不充分也不必要条件11、写出满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴与短轴的和为18，焦距为6;.(2)焦点坐标为)0,3(,)0,3(,并且经过点(2，1);.(3)椭圆的两个顶点坐标分别为)0,3(,)0,3(,且短轴是长轴的31;(4)离心率为23，经过点(2，0);12、与椭圆且短有相同的焦点，yx14922轴长为2的椭圆方程是：13、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点12,FF在x轴上，离心率为22．过1F的直线l交C于,AB两点，且2ABF的周长为16，那么C的方程为：14、已知12FF，为椭圆221259xy的两个焦点，过1F的直线交椭圆于AB，两点，若2212FAFB，则AB．15、已知1F、2F是椭圆C：22221xyab（0ab）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且12PFPF，若12PFF△的面积是9，则b．16、求心在原点，焦点在坐标轴上，且经过P（4，3），Q（3,22）两点的椭圆方程。圆锥曲线练习题21．抛物线xy102的焦点到准线的距离是（）A．25B．5C．215D．102．若抛物线28yx上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为（）。A．(7,14)B．(14,14)C．(7,214)D．(7,214)3．以椭圆221169xy的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程（）A．1481622yxB．127922yxC．1481622yx或221927yxD．以上都不对4．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆096222yxyx的圆心的抛物线的方程是（）A．23xy或23xyB．23xyC．xy92或23xyD．23xy或xy925．若抛物线xy2上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为（）A．12(,)44B．12(,)84C．12(,)44D．12(,)846．椭圆1244922yx上一点P与椭圆的两个焦点1F、2F的连线互相垂直，则△21FPF的面积为（）A．20B．22C．28D．247．若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线xy22的焦点，点M在抛物线上移动时，使MAMF取得最小值的M的坐标为（）A．0,0B．1,21C．2,1D．2,28．与椭圆1422yx共焦点且过点(2,1)Q的双曲线方程是（）A．1222yxB．1422yxC．13322yxD．1222yx9．若椭圆221xmy的离心率为32，则它的长半轴长为_______________.10．双曲线的渐近线方程为20xy，焦距为10，这双曲线的方程为______________。11．抛物线xy62的准线方程为＿＿＿.12．椭圆5522kyx的一个焦点是)2,0(，那么k。13．椭圆22189xyk的离心率为12，则k的值为____________。14．双曲线2288kxky的一个焦点为(0,3)，则k的值为__________。15．若直线2yx