导数难题(含答案)

1一、单选题1．已知可导函数fx的导函数为'fx，02018f，若对任意的xR，都有'fxfx，则不等式2018xfxe的解集为（）A.0,B.21,eC.21,eD.,02．定义在R上的偶函数fx的导函数为fx，且当0,20xxfxfx.则（）A.224fefeB.931ffC.239fefeD.224fefe3．已知fx为定义在0,上的可导函数，且'fxxfx恒成立，则不等式210xffxx的解集为（）A.1,B.,1C.2,D.,2二、解答题4．已知函数2lnfxaxxaR.（1）讨论fx的单调性；（2）若存在1,,xfxa，求a的取值范围.25．设函数222lnfxxaxxxx．（1）当2a时，讨论函数fx的单调性；（2）若0,x时，0fx恒成立，求整数a的最小值．6．已知函数1ln,afxxaxgxaRx.若1a，求函数fx的极值；设函数hxfxgx，求函数hx的单调区间；若在区间1,2.71828ee上不存在．．．0x，使得00fxgx成立，求实数a的取值范围.37．已知函数ln,fxxaxaR.（1）当0a时，求函数fx的极小值；（2）若函数fx在0,上为增函数，求a的取值范围.48．已知函数2xfxxaxae．（1）讨论fx的单调性；（2）若0,2a，对于任意12,4,0xx，都有2124afxfxeme恒成立，求m的取值范围参考答1．A5【解析】令0,02018xxfxfxfxgxgxgee因此2018xfxe201800xfxgxgxe，选A.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如fxfx构造xfxgxe，0fxfx构造xgxefx，xfxfx构造fxgxx，0xfxfx构造gxxfx等2．D【解析】根据题意，设g（x）=x2f（x），其导数g′（x）=（x2）′f（x）+x2•f（x）=2xf（x）+x2•f（x）=x[2f（x）+xf'（x）]，又由当x＞0时，有2f（x）+xf'（x）0成立，则数g′（x）=x[2f（x）+xf'（x）]0，则函数g（x）在（0，+∞）上为减函数，若g（x）=x2f（x），且f（x）为偶函数，则g（-x）=（-x）2f（-x）=x2f（x）=g（x），即g（x）为偶函数，所以2geg即224fefe因为fx为偶函数，所以2f2f,所以224fefe故选D点睛：本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数的奇偶性与单调性的应用，关键是构造函数g（x）并分析g（x）的单调性与奇偶性．3．A【解析】令fxgxx，则2xfxfxgxx∵fxxfx∴0xfxfx，即20xfxfxgxx在0,上恒成立∴gx在0,上单调递减6∵210xffxx∴11ffxxxx，即1ggxx∴1xx，即1x故选A点睛：本题首先需结合已知条件构造函数，然后考查利用导数判断函数的单调性，再由函数的单调性和函数值的大小关系，判断自变量的大小关系.4．（1）fx在10,2a上递增，在1,2a上递减.；（2）1,2.【解析】试题分析：（1）对函数fx求导，再根据a分类讨论，即可求出fx的单调性；（2）将fxa化简得21ln0axx，再根据定义域1,x，对a分类讨论，0a时，满足题意，0a时，构造21lngxaxx，求出gx的单调性，可得gx的最大值，即可求出a的取值范围.试题解析：（1）21122axfxaxx，当0a时，0fx，所以fx在0,上递增，当0a时，令0fx，得12xa，令0fx，得10,2xa；令0fx，得1,2xa，所以fx在10,2a上递增，在1,2a上递减.（2）由fxa，得21ln0axx，因为1,x，所以2ln0,10xx，当0a时，21ln0axx满足题意，当12a时，设22211ln(1),0axgxaxxxgxx，所以gx在1,上递增，所以10gxg，不合题意，7当102a时，令0gx，得1,2xa，令0gx，得11,2a，所以max1102gxgga，则1,0xgx，综上，a的取值范围是1,2.点睛：本题考查函数的单调性及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则.一般涉及求函数单调性时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.5．(1)f（x）递增区间为（0，12），（1，+∞），递减区间为（12，1）；(2)1.【解析】试题分析：（1）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为ax-2（x-1）lnx恒成立，令g（x）=x-2（x-1）lnx，根据函数的单调性求出a的最小值即可．试题解析：（1）由题意可得f（x）的定义域为（0，+∞），当a=2时，f（x）=﹣x2+2x+2（x2﹣x）lnx，所以f′（x）=﹣2x+2+2（2x﹣1）lnx+2（x2﹣x）•=（4x﹣2）lnx，由f'（x）＞0可得：（4x﹣2）lnx＞0，所以或，解得x＞1或0＜x＜；由f'（x）＜0可得：（4x﹣2）lnx＜0，所以或，解得：＜x＜1．综上可知：f（x）递增区间为（0，），（1，+∞），递减区间为（，1）．（2）若x∈（0，+∞）时，f（x）＞0恒成立，8即a＞x﹣2（x﹣1）lnx恒成立，令g（x）=x﹣2（x﹣1）lnx，则a＞g（x）max．因为g′（x）=1﹣2（lnx+）=﹣2lnx﹣1+，所以g'（x）在（0，+∞）上是减函数，且g'（1）＞0，g′（2）＜0，故存在x0∈（1，2）使得g（x）在（0，x0）上为增函数，在（x0，+∞）上是减函数，∴x=x0时，g（x）max=g（x0）≈0，∴a＞0，又因为a∈Z，所以amin=1．点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若0fx就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min0fx，若0fx恒成立，转化为max0fx;（3）若fxgx恒成立，可转化为minmaxfxgx.6．（1）极小值为11f；（2）见解析（3）2121eae【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导数符号，确定极值（2）先求导数，求导函数零点，讨论1a与零大小，最后根据导数符号确定函数单调性（3）正难则反，先求存在一点0x,使得00fxgx成立时实数a的取值范围，由存在性问题转化为对应函数最值问题，结合（2）单调性可得实数a的取值范围，最后取补集得结果试题解析：解：（I）当1a时，1ln'01xfxxxfxxx，列极值分布表fx在（0,1）上递减，在1（，）上递增，∴fx的极小值为11f；（II）1lnahxxaxx211'xxahxx①当1a时，'0,hxhx在0（，）上递增；②当1a时，'01hxxa，∴hx在0,1a（）上递减，在1,a上递增；（III）先解区间1,e上存在一点0x,使得00fxgx成立90hxfxgx在1,e上有解当1,xe时，min0hx由（II）知①当1a时，hx在1,e上递增，min1202hhaa∴2a②当1a时，hx在0,1a（）上递减，在1,a上递增当10a时，hx在1,e上递增，min1202hhaaa无解当1ae时，hx在1,e上递减2min1101aehheeaaee，∴211eae；当01ae时，hx在1,1a上递减，在1,ae上递增min12ln1hhaaaa令2ln121ln1aaaFaaaa，则221'01FaaaFa在0,1e递减，2101FaFee，0Fa无解，即min2ln10haaa无解；综上：存在一点0x,使得00fxgx成立，实数a的取值范围为：2a或211eae.所以不存在一点0x，使得00fxgx成立，实数a的取值范围为.点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.7．（1）1e（2）21,e【解析】试题分析：（1）当0a时，得出函数的解析式，求导数，令'0fx，解出x的值，利用导数值的正负来求其单调区间进而求得极小值；（2）求出'fx，由于函数fx在0,是增函数，转化为'0fx对任意0,x恒成立，分类参数，利用导数lngxxxx的最小值，即可求实数a的取值范围．试题解析：（1）定义域为0,．10当0a时，lnfxxx，'ln1fxx．令'0fx，得1xe．当10,xe时，'0fx，fx为减函数；当1,xe时，'0fx，fx为增函数．所以函数fx的极小值是11fee．（2）由已知得'lnxafxxx．因为函数fx在0,是增函数，所以'0fx对任意0,x恒成立，由'0fx得ln0xaxx，即lnxxxa对任意的0,x恒成立．设lngxxxx，要使“lnxxxa对任意0,x恒成立”，只要minagx.因为'ln2gxx，令'0gx，得21xe．当210,xe时，'0gx，gx为减函数；当21,xe时，'0gx，gx为增函数．所以gx的最小值是2211gee．故函数fx在0,是增函数时，实数a的取值范围是21,e．点睛：本