2015年高中数学 第二章 数列章末测试题(B)新人教版必修5

【高考调研】2015年高中数学第二章数列章末测试题（B）新人教版必修5一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列－2，0，2，…的第15项为()A．112B．122C．132D．142答案C解析∵a1＝－2，d＝2，∴an＝－2＋(n－1)×2＝2n－22.∴a15＝152－22＝132.2．若在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝a2n－1(n∈N*)，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝()A．－1B．1C．0D．2答案A解析由递推关系式，得a2＝0，a3＝－1，a4＝0，a5＝－1.∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1.3．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是()A．33个B．65个C．66个D．129个答案B解析设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为{an}．则a1＝2，an＋1＝2an－1，即an＋1－1an－1＝2.∴an－1＝1·2n－1，∴an＝2n－1＋1，∴a7＝65.4．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S8＝30，S4＝7，则a4的值等于()A.14B.94C.134D.174答案C解析由题意可知，8a1＋－d2＝30，4a1＋－d2＝7，解得a1＝14，d＝1.故a4＝a1＋3＝134.5．设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的实数x、y∈R，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)，若a1＝12，an＝f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围为()A．[12，2)B．[12，2]C．[12，1)D．[12，1]答案C解析依题意得f(n＋1)＝f(n)·f(1)，即an＋1＝an·a1＝12an，所以数列{an}是以12为首项，12为公比的等比数列，所以Sn＝12－12n1－12＝1－12n，所以Sn∈[12，1)．6．小正方形按照如图所示的规律排列：每个图中的小正方形的个数构成一个数列{an}，有以下结论：①a5＝15；②数列{an}是一个等差数列；③数列{an}是一个等比数列；④数列的递推公式为：an＋1＝an＋n＋1(n∈N*)．其中正确的命题序号为()A．①②B．①③C．①④D．①答案C解析当n＝1时，a1＝1；当n＝2时，a2＝3；当n＝3时，a3＝6；当n＝4时，a4＝10，…，观察图中规律，有an＋1＝an＋n＋1，a5＝15.故①④正确．7．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an－33an＋1(n∈N*)，则a20＝()A．0B．－3C.3D.32答案B解析由a1＝0，an＋1＝an－33an＋1(n∈N*)，得a2＝－3，a3＝3，a4＝0，…，由此可知数列{an}是周期变化的，周期为3，∴a20＝a2＝－3.8．数列{an}满足递推公式an＝3an－1＋3n－1(n≥2)，又a1＝5，则使得{an＋λ3n}为等差数列的实数λ＝()A．2B．5C．－12D.12答案C解析a1＝5，a2＝23，a3＝95，令bn＝an＋λ3n，则b1＝5＋λ3，b2＝23＋λ9，b3＝95＋λ27，∵b1＋b3＝2b2，∴λ＝－12.9．在等差数列{an}中，a100，a110，且a11|a10|，则{an}的前n项和Sn中最大的负数为()A．S17B．S18C．S19D．S20答案C解析∵a100，a110，且a11|a10|，∴a11＋a100.S20＝a1＋a202＝10·(a11＋a10)0.S19＝a1＋a192＝192·2a100.10．将数列{3n－1}按“第n组有n个数”的规则分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，则第100组中的第一个数是()A．34950B．35000C．35010D．35050答案A解析在“第n组有n个数”的规则分组中，各组数的个数构成一个以1为首项，公差为1的等差数列．因前99组数的个数共有＋2＝4950个，故第100组中的第1个数是34950.11．(2012·新课标)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝()A．7B．5C．－5D．－7答案D解析∵{an}为等比数列，∴a5a6＝a4a7＝－8.联立a4＋a7＝2，a4a7＝－8，可解得a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4.当a4＝4a7＝－2时，q3＝－12，故a1＋a10＝a4q3＋a7q3＝－7；当a4＝－2a7＝4时，q3＝－2，同理，有a1＋a10＝－7.12．(2012·全国)已知等差数列{an}的前n项和为S，a5＝5，S5＝15，则数列{1anan＋1}的前100项和为()A.100101B.99101C.99100D.101100答案A解析S5＝a1＋a52＝a1＋2＝15，∴a1＝1.∴d＝a5－a15－1＝5－15－1＝1.∴an＝1＋(n－1)×1＝n.∴1anan＋1＝1nn＋.设{1anan＋1}的前n项和为Tn，则T100＝11×2＋12×3＋…＋1100×101＝1－12＋12－13＋…[phone]＝1－1101＝100101.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________.答案2414．设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项an＝________.答案nn＋2＋1解析∵a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，∴an－an－1＝n，an－1－an－2＝n－1，an－2－an－3＝n－2，…，a3－a2＝3，a2－a1＝2，a1＝2.将以上各式的两边分别相加，得an＝[n＋(n－1)＋(n－2)＋(n－3)＋…＋2＋1]＋1＝nn＋2＋1.15．若数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝32an－3，则数列{an}的通项公式是________．答案an＝2·3n解析n≥2时，Sn＝32an－3，①Sn－1＝32an－1－3，②①－②知an＝32an－32an－1，即12an＝32an－1.∴anan－1＝3，由Sn＝32an－3，得S1＝a1＝32a1－3.故a1＝6，∴an＝2·3n.16．某房地产开发商在销售一幢23层的商品楼之前按下列方法确定房价：由于首层与顶层均为复式结构，因此首层价格为a1元/m2，顶层由于景观好价格为a2元/m2，第二层价格为a元/m2，从第三层开始每层在前一层价格上加价a100元/m2，则该商品房各层的平均价格为________．答案123(a1＋a2＋23.1a)元/m2解析设第二层数列到第22层的价格构成数列{bn}，则{bn}是等差数列，b1＝a，公差d＝a100，共21项，所以其和为S21＝21a＋21×202·a100＝23.1a，故平均价格为123(a1＋a2＋23.1a)元/m2.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)等差数列{an}中，a4＝10，且a3，a6，a10成等比数列．求数列{an}前20项的和S20.解析设公差为d，则由a4＝10，a26＝a3·a10，得a1＋3d＝10，a1＋5d2＝a1＋2d·a1＋9d，解得a1＝10，d＝0或a1＝7，d＝1.∴S20＝200或S20＝330.18．(12分)(2013·新课标全国Ⅱ)已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.解析(1)设{an}的公差为d.由题意，a211＝a1a13，即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)．于是d(2a1＋25d)＝0.又a1＝25，所以d＝0(舍去)，d＝－2.故an＝－2n＋27.(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而Sn＝n2(a1＋a3n－2)＝n2(－6n＋56)＝－3n2＋28n.19．(12分)已知{an}为递减的等比数列，且{a1，a2，a3－4，－3，－2,0，1,2,3,4}．(1)求数列{an}的通项公式；(2)当bn＝1－－n2an时，求证：b1＋b2＋b3＋…＋b2n－1163.解析(1)∵{an}是递减的等比数列，∴数列{an}的公比q是正数．又∵{a1，a2，a3－4，－3，－2,0,1,2,3,4}，∴a1＝4，a2＝2，a3＝1.∴q＝a2a1＝24＝12.∴an＝a1qn－1＝82n.(2)由已知得bn＝8[1－－n]2n＋1，当n＝2k(k∈N*)时，bn＝0，当n＝2k－1(k∈N*)时，bn＝an.即bn＝0，n＝2k，k∈N*，an，n＝2k－1，k∈N*∴b1＋b2＋b3＋…＋b2n－2＋b2n－1＝a1＋a3＋…＋a2n－1＝4[1－14n]1－14＝163[1－(14)n]163.20．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝1(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝3＋log4an，设Tn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|，求Tn.解析(1)由an＋Sn＝1，得an＋1＋Sn＋1＝1，两式相减，得an＋1－an＋Sn＋1－Sn＝0.∴2an＋1＝an，即an＋1＝12an.又n＝1时，a1＋S1＝1，∴a1＝12.又an＋1an＝12，∴数列{an}是首项为12，公比为12的等比数列．∴an＝a1qn－1＝12·(12)n－1＝(12)n.(2)bn＝3＋log4(12)n＝3－n2＝6－n2.当n≤6时，bn≥0，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝n－n4；当n6时，bn0，Tn＝b1＋b2＋…＋b6－(b7＋b8＋…＋bn)＝6×54－[(n－6)(－12)＋n－n－2·(－12)]＝n2－11n＋604.综上，Tn＝n－n4n，n2－11n＋604n21．(12分)(2011·湖南)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.(1)求第n年初M的价值an的表达式；(2)设An＝a1＋a2＋…＋ann.若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新．证明：须在第9年初对M更新．解析(1)当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列，此时an＝120－10(n－1)＝130－10n；当n≥6时，数列{an}是以a6为首项，公比为34的等比数列，又a6＝70，所以an＝70×(34)n－6.因此第n年初，M的价值an的表达式为an＝130－10n，n≤6，34n－6，n≥7.(2)证明设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式，得当1≤n≤6时，Sn＝120n－5n(n－1)，An＝120－5(n－1)＝125－5n；当n≥7时，由于S6＝570，故Sn＝S6＋(a7＋a8＋…＋an)＝570＋70×34×4×[1－(34)n－6]＝780－210×(34)n－6.An＝780－34n－6n.易知{An}是递减数列．又A8＝780－3428＝82476480，A9＝780－3439＝76799680，所以需在第9年初对M更新．22．(12分)已知单调递增的等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝anlog12an，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，对任意正整数n，Sn＋(n＋m)an＋10恒成立