2013版高中全程复习方略配套课件：9.8古典概型(人教A版·数学理)浙江专用

第八节古典概型三年13考高考指数:★★★1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.1.古典概型的概率是高考考查的重点；2.利用列举法、树状图法、分类讨论的思想解决古典概型问题是重点，也是难点；3.古典概型的考查，往往结合排列、组合的知识进行考查，多以选择题、填空题形式出现.1.基本事件的特点（1）任何两个基本事件是____的.（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成________的和.互斥基本事件【即时应用】(1)思考:在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的吗？提示：不一定等可能.如试验一粒种子是否发芽，其发芽和不发芽的可能性是不相等的.(2)某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则基本事件共有_____个.【解析】该生选报的所有可能情况是：{数学和计算机}、{数学和航空模型}、{计算机和航空模型}，所以基本事件的个数为3.答案：32.古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.(1)有限性:试验中所有可能出现的基本事件__________.(2)等可能性:每个基本事件出现的可能性____.只有有限个相等【即时应用】判断下列试验是否是古典概型(请在括号中填写“是”或“否”)①投掷一颗质地不均匀的骰子，观察其朝上的点数；()②口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球；()③向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的；()④射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，……，命中0环.()【解析】对于①：由于质地不均匀，故每个面朝上的概率不相等；对于②：摸到白球和黑球的概率相同，均为；对于③：基本事件有无限个；对于④：由于受射击运动员水平的影响，命中10环，命中9环，……，命中0环的可能性不等.故只有②是古典概型.答案：①否②是③否④否123.古典概型的概率公式P（A）=._____________________A包含的基本事件的个数基本事件的总数【即时应用】（1）思考:先后抛掷两枚质地均匀的硬币，有人说，一共出现：“两枚正面”、“两枚反面”、“一枚正面，一枚反面”三种结果，因此出现“一枚正面，一枚反面”的概率是，这种说法正确吗？13提示:不正确.两枚硬币编号为1,2，则基本事件应为：(正1，正2)，(正1，反2)，(反1，正2)，(反1，反2)，故出现一正一反有(正1，反2)，(反1，正2)两种情况，故所求概率为.12（2）在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是_____.【解析】取2个小球的不同取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，其中标注的数字之差的绝对值为2或4的有(1,3)，(2,4)，(3,5)，(1,5)，共4种，故所求的概率为答案:42.105＝25(3)若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为P点的坐标，则点P落在圆x2＋y2＝16内的概率是_____．【解析】基本事件的总数为6×6＝36个，记事件A＝{(m,n)|(m，n)落在圆x2＋y2＝16内}，则A所包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2),共8个．∴P(A)＝＝.答案:8362929简单古典概型的概率【方法点睛】1.求古典概型概率的步骤第一步：判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；第二步：分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m;第三步：利用公式P(A)=求出事件A的概率.mn2.基本事件个数的确定方法此法适合于基本事件较少的古典概型.此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成是坐标法.树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求.【例1】(2011·山东高考）甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.（1）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；（2）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率.【解题指南】（1）本题考查古典概型，要将基本事件都列出，然后找出2名教师性别相同所含的基本事件的个数，由古典概型概率公式求得结果.（2）从报名的6名教师中任选2名，列出基本事件，然后找出2名教师来自同一学校所含的基本事件的个数，由古典概型概率公式求得结果.【规范解答】(1)甲校两男教师分别用A、B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两女教师分别用E、F表示.从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为:(A，D)，（A，E），（A，F），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），共9种.从中选出的2名教师性别相同的结果为:(A,D),(B,D),(C,E),(C,F)，共4种.所以选出的2名教师性别相同的概率为.49(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15种.从中选出的2名教师来自同一学校的结果为:(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F),共6种.所以选出的2名教师来自同一学校的概率为62.155【反思·感悟】在求解本题时应注意第(1)问属于有顺序的问题，该类问题的基本事件按先甲校再乙校分步列举；第(2)问属于无顺序的问题，基本事件按所含字母利用列举法，按一定顺序分类列举.【解析】(1)由题意，任意取出1球，共有6种等可能的事件.由不等式n2-6n+12＞n,得n＞4或n＜3.所以n=1,2或n=5,6，于是所求概率为42.63(2)从6个球中任意取出2个球,共有15种等可能的情况,列举如下:(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,4)(3,5)(3,6)(4,5)(4,6)(5,6)设第n号与第m号的两个球的重量相等,则有n2-6n+12=m2-6m+12.∴(n-m)(n+m-6)=0.∵n≠m,∴n+m=6,∴符合题意的有(1,5),(2,4)两种情况,故所求概率为.215有放回抽样和无放回抽样的概率【方法点睛】有放回抽样和无放回抽样的对比在古典概型的概率中涉及两种不同的抽取方法，以摸球为例,设袋内装有n个不同的球，现从中依次摸球，每次只摸一只，具有两种摸球的方法．(1)有放回每次摸出一只后，仍放回袋中，然后再摸一只，这种摸球的方法属于有放回的抽样，显然，对于有放回的抽样，每次摸出的球可以重复，且摸球可无限地进行下去．(2)无放回每次摸出一只后，不放回原袋中，在剩下的球中再摸一只，这种摸球方法属于无放回的抽样．显然，对于无放回的抽样，每次摸出的球不会重复出现，且摸球只能进行有限次．【提醒】注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题.【例2】(1)三件产品中含有两件正品a，b和一件次品c.每次任取一件,每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.(2)三件产品中含有两件正品a，b和一件次品c.每次任取一件,每次取出后放回,连续取两次，求取出的两件产品恰有一件次品的概率.【解题指南】问题的关键在于一种是不放回试验，一种是有放回试验.不放回试验，取一件少一件，而有放回试验，取一件后，再取一件时情况不变.通过列出所有基本事件的方法解答比较直观易懂.【规范解答】(1)方法一：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即（a，b），（a，c），（b，a），（b，c），（c，a），（c，b）.其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品.A表示“取出的两件产品中，恰好有一件次品”这一事件，则A={（a，c），（b，c），（c，a），（c，b）},事件A由4个基本事件组成，因而，P（A）=42.63方法二：取出的两件产品中有一件次品，至于是第一次取出，还是第二次取出可不考虑，则所有可能结果有（a，b），（a，c）,（b，c）,共3个基本事件，而恰好有一件次品的基本事件有（a，c）,（b，c），共2个，因此所求概率为.23(2)这是有放回试验，第一次被取出的产品，第二次也可能被取出，由于最后关心的是两件产品中有一件次品，因此必须考虑顺序，则所有可能的结果有(a,a),（a，b），（a，c），(b,b),（b，a），（b，c），（c，a），（c，b）,(c,c),共9个基本事件，其中恰好有一件次品的基本事件有（a，c），（b，c），（c，a），（c，b）,共4个基本事件.因此每次取出后放回，连续取两次，取出的两件产品恰有一件次品的概率为.49构建不同的概率模型解决问题【方法点睛】建立概率模型的原则、要求及作用（1）原则：建立概率模型的一般原则是“结果越少越好”，这就要求选择恰当的观察角度，把问题转化为易于解决的古典概型问题.（2）要求：每次试验有一个并且只有一个基本事件出现.（3）作用：一方面，对于同一个实际问题，我们有时可以通过建立不同的“模型”来解决，即“一题多解”，在这“多解”的方法中，再寻求较为“简捷”的解法；另一方面，我们又可以用一种“模型”去解决很多“不同”的问题，即“多题一解”.【例3】(2012·大连模拟)同时投掷两粒骰子，求向上的点数之和为奇数的概率.【解题指南】适当选取观察角度以减少复杂的计数.角度一：通过坐标法列出所有基本事件；角度二：把一次试验的所有可能结果取为:(奇，奇),(奇，偶)，（偶，奇），（偶，偶）；角度三：把一次试验的所有可能结果取为:点数和为奇数，点数和为偶数.【规范解答】方法一：从下图可以看出基本事件与所描点一一对应，有36种，记“向上的点数和为奇数”的事件为A，从图中可以看出，事件A包含的基本事件共有18个，因此P(A)=181.362方法二：若把一次试验的所有可能结果取为：(奇，奇)，(奇，偶)，(偶，奇)，(偶，偶)，则它们也组成等概率的样本空间.基本事件总数为4，事件A“点数之和为奇数”包含的基本事件个数为2，故P(A)=方法三：若把一次试验的所有可能结果取为：点数和为奇数，点数和为偶数，则它们也组成等概率的样本空间.基本事件总数为2，事件A“点数之和为奇数”包含的基本事件个数为1，故P(A)=1.21.2【反思·感悟】注意研究事件的特征，灵活选取基本事件可以简化求概率的过程.可以设想，同时投掷n粒骰子，求出现点数之和为奇数的概率，结果仍为1.2【满分指导】古典概型主观题的规范解答【典例】(14分)(2011·天津高考）编号为A1,A2,…,A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格;（2）从得分在区间［20，30)内的运动员得分中随机抽取2人,①用运动员的编号列出所有可能的抽取结果;②求这2人得分之和大于50的概率.【解题指南】（1）分别按区间范围列举出人数；（2）用列举法、古典概型的概率公式计算概率.【规范解答】（1）4，6，6………………………………2分（2）①得分在区间［20，30）内的运动员编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13…………………………………………………4分从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：{A3,A4}，{A3,A5}，{A3,A10}，{A3,A11}，{A3,A13}，{A4,A5}，{A4,A10}，{A4,A11}，{A4,A13}，{A5,A10}，{A5,A11}，{A5,A13}，{A