高中数学双曲线基础(三)

双曲线基础（三）1.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±2x，则其离心率为（）A．5B．C．D．2.若双曲线的实轴长为4，则此双曲线的渐近线的方程为（）A．y=±4xB．y=±2xC．D．3.双曲线2221yxb的离心率5e，则双曲线的渐近线方程为（）A．12yxB．15yxC.y=±2xD．y=±5x4.若椭圆的共同焦点为F1、F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|•|PF2|的值为（）A．12B．14C．3D．215.若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是（）A．2＜k＜10B．k＞10C．k＜2或k＞10D．以上答案均不对6.如图，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线分别交于点A，B，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的渐近线的斜率为（）A．±B．±2C．D．±7.若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（）A．焦距相等B．实半轴长相等C．虚半轴长相等D．离心率相等8.过原点的直线l与双曲线﹣=﹣1有两个交点，则直线l的斜率的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）9.已知双曲线的一个焦点为，且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程为．10.直线y=2b与双曲线22ax﹣22by=1（a＞0，b＞0）的左支、右支分别交于B，C两点，A为右顶点，O为坐标原点，若∠AOC=∠BOC，则该双曲线的离心率为．11.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线被圆x2+y2﹣6x+5=0截得的弦长为2，则离心率e=．12.F1、F2为双曲线C：的左、右焦点，点M在双曲线上且∠F1MF2=60°，则=．13.双曲线4x2﹣y2+64=0上一点P到它的一个焦点的距离等于1，则点P到另一个焦点的距离等于．14.双曲线C的中心在原点，右焦点为F（，0），渐近线方程为y=±x．（1）求双曲线C的方程；（2）设点P是双曲线上任一点，该点到两渐近线的距离分别为m、n．证明m•n是定值．15.已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，实轴长为2．（1）求双曲线C的方程；（2）若直线y=x+m被双曲线C截得的弦长为，求m的值．16.设双曲线与直线l：x+y=1交于两个不同的点A，B，求双曲线C的离心率e的取值范围．17.已知双曲线的渐进线方程为y=±2x，且过点（﹣3，）．（1）求双曲线的方程；（2）若直线4x﹣y﹣6=0与双曲线相交于A、B两点，求|AB|的值．18.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且短轴长为2，F1，F2是左右焦点，O为坐标原点．（1）求椭圆的标准方程；（2）圆O是以F1，F2为直径的圆，直线l：y=kx+m与圆O相切，且与椭圆交于A，B两点，•=，求k的值．19.已知椭圆C：22ax+22by=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为E，过F1于x轴垂直的直线与椭圆C相交，其中一个交点为M（﹣3，21）．（I）求椭圆C的方程；（II）经过点P（1，0）的直线l与椭圆交于A，B两点．（i）若直线AE，BE的斜率为k1，k2（k1≠0，k2≠0），证明：k1•k2为定值；（ii）若O为坐标原点，求△OAB面积的最大值．20.已知椭圆C：22ay+22bx=1（a＞b＞0）上一点到两焦点间的距离之和为22，直线4x﹣3y+3=0被以椭圆C的短轴为直径的圆M截得的弦长为58．（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C上存在两个不同的点A，B，关于直线l：y=﹣k1（x+21）对称．且：△AOB面积为46，求k的值．试卷答案1.D【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线渐近线的方程，确定a，b的关系，进而利用离心率公式求解．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，∴，即b=2a，∴，∴离心率e=．故选：D．2.C【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得m=4，求得双曲线的方程，可得渐近线方程为y=±x．【解答】解：双曲线的实轴长为4，可得2=4，可得m=4，即有双曲线的方程为﹣y2=1，可得双曲线的渐近线方程为y=±x．故选：C．3.C在双曲线2221yxb中，a=1，由e=5ac，得c=5，故b=22ac=2，故双曲线的渐近线方程为y=±2x，故选C.4.A【考点】圆锥曲线的综合．【分析】设|PF1|＞|PF2|，根据椭圆和双曲线的定义可分别表示出|PF1|+|PF2|和|PF1|﹣|PF2|，进而可表示出|PF1|和|PF2|，根据焦点相同进而可求得|PF1|•|PF2|的表达式．【解答】解：由椭圆和双曲线定义不妨设|PF1|＞|PF2|则|PF1|+|PF2|=8，|PF1|﹣|PF2|=4所以|PF1|=6，|PF2|=2，∴|PF1|•|PF2|=12．故选：A．5.C【考点】双曲线的标准方程．【分析】根据题意，由双曲线的方程特点分析可得（k﹣2）（10﹣k）＜0，解可得k的范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，方程表示双曲线，必有（k﹣2）（10﹣k）＜0，解可得k＜2或k＞10；故选：C．6.C【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c2=7a2，结合双曲线渐近线方程即可的结论．【解答】解：根据双曲线的定义，可得|AF1|﹣|AF2|=2a，∵△ABF2是等边三角形，即|AF2|=|AB|∴|BF1|=2a又∵|BF2|﹣|BF1|=2a，∴|BF2|=|BF1|+2a=4a，∵△BF1F2中，|BF1|=2a，|BF2|=4a，∠F1BF2=120°∴|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2﹣2|BF1|•|BF2|cos120°即4c2=4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）=28a2，解得c2=7a2，∴b=a，∴双曲线的渐近线的斜率为±，故选C．7.A【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据k的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及a，b，c的大小关系即可得到结论．【解答】解：当0＜k＜9，则0＜9﹣k＜9，16＜25﹣k＜25，即曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25，b2=9﹣k，c2=34﹣k，曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25﹣k，b2=9，c2=34﹣k，即两个双曲线的焦距相等，故选：A．8.B【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】设过原点的直线方程为y=kx，与双曲方程联立，得：x2（4k2﹣3）﹣12=0，因为直线与双曲有两个交点，所以△=48（4k2﹣3）＞0，由此能求出k的范围．【解答】解：∵双曲方程为﹣=﹣1，∴，设过原点的直线方程为y=kx，与双曲方程联立，得：x2（4k2﹣3）﹣12=0因为直线与双曲有两个交点，所以△=48（4k2﹣3）＞0∴k2＞=，解得，或k＜﹣．故选B．【点评】本题考查直线和双曲线的位置关系，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．9.﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线焦点的坐标分析可得其焦点在x轴上，且c=2，可以设其标准方程为：﹣=1，结合题意可得2+b2=20，①以及=，②，联立两个式解可得a2=16，b2=4，代入所设的标准方程中即可得答案．【解答】解：根据题意，要求双曲线的一个焦点为，则其焦点在x轴上，且c=2，可以设其标准方程为：﹣=1，又由c=2，则a2+b2=20，①其渐近线方程为y=±x，则有=，②联立①、②可得：a2=16，b2=4，故要求双曲线的方程为：﹣=1；故答案为：﹣=1．【点评】本题考查双曲线的标准方程的计算，可以用待定系数法分析．10.【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用条件得出∠AOC=60°，C（b，2b），代入双曲线﹣=1，可得﹣4=1，b=a，即可得出结论．【解答】解：∵∠AOC=∠BOC，∴∠AOC=60°，∴C（b，2b），代入双曲线﹣=1，可得﹣4=1，∴b=a，∴c==a，∴e==，故答案为．11.【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的方程的渐近线方程，求得圆的圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，解方程可得a2=2b2，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，圆x2+y2﹣6x+5=0即为（x﹣3）2+y2=4，圆心为（3，0），半径为2，圆心到渐近线的距离为d=，由弦长公式可得2=2，化简可得a2=2b2，即有c2=a2+b2=a2，则e==．故答案为：．12.4【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出|MF1|=m，|MF2|=n，利用双曲线的定义以及余弦定理列出关系式，求出mn的值，然后求解三角形的面积．【解答】解：设|MF1|=m，|MF2|=n，则，由②﹣①2得mn=16∴△F1MF2的面积S==4，故答案为4．13.17【考点】双曲线的定义．【分析】首先将双曲线方程化成标准方程，从而得出参数a、b的值，然后根据双曲线的定义得出|PF1﹣PF2|=2a，根据题中的已知数据，可以求出点P到另一个焦点的距离．【解答】解：将双曲线4x2﹣y2+64=0化成标准形式：∴a2=64，b2=16P到它的一个焦点的距离等于1，设PF1=1∵|PF1﹣PF2|=2a=16∴PF2=PF1±16=17（舍负）故答案为：17【点评】本题考查了双曲线的定义与标准方程，属于基础题．利用圆锥曲线的第一定义解题，是近几年考查的常用方式，请同学们注意这个特点．14.【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）根据双曲线的性质即可求出双曲线的方程，（2）设P（x0，y0），根据点到直线的距离公式，即可求出m，n，计算m•n即可．【解答】解：（1）右焦点为F（，0），渐近线方程为y=±x．∴c=，=，∵c2=a2+b2，∴a2=，b2=1，∴双曲线C的方程位3x2﹣y2=1（2）设P（x0，y0），已知渐近线的方程为：该点到一条渐近线的距离为：到另一条渐近线的距离为，是定值．15.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由离心率为，实轴长为2．可得，2a=2，再利用b2=c2﹣a2=2即可得出．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），与双曲线的联立可得x2﹣2mx﹣m2﹣2=0，利用根与系数的关系可得|AB|===4，即可得出．【解答】解：（1）由离心率为，实轴长为2．∴，2a=2，解得a=1，，∴b2=c2﹣a2=2，∴所求双曲线C的方程为=1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，△＞0，化为m2+1＞0．∴x1+x2=2m，．∴|AB|===4，化为m2=1，解得m=±1．16.【考点】双曲线的简单性质．【分析】由C与l相交于两个不同的点，可知方程组有两组不同的解，确定a的范围，即可求得双曲线C的离心率e的取值范围．【解答】解：由C与l相交于两个不同的点，可知方程组有两组不同的解，消去y，并整理得（1﹣a2）x2+2a2x﹣2a2=0，∴解得，且a≠1，而双曲线C的离心率e=，从而，且，故双曲线C的离心率e的取值范围为17.【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）由题意可知：设所求双曲线的方程为：，将点（﹣3，），代入抛物线方程，求得λ的值，求得双曲线方程；（2）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式，即可求出弦|AB|的值．．【解答】解：（1）由双曲线的渐进线方程为y=±2x，则设所求双曲线的方程为：，把代入方程，整理得：，解得：λ=1，∵双曲线的方程为：；（2）由题意可知：设A（x1，y1），B（x1，y1），则整理得：3x2﹣12x+10=0，由韦达定理得：，由弦长公式可知：，∴|AB|的值．18.【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）短轴长2b=2，即b=1，e==，a2=b2+c2，解得：a=，b=1，即可求得椭圆的标准方程；（2）以F1，F2为直径的圆，x2+y2=1，由直线l：y=kx+m与圆O