期权对冲复制策略研究

1/12东海衍生产品小组·期权组课题之二期权对冲复制策略研究一、投资组合的对冲复制我们将期权投资者持有资产分为基本的三类：看涨期权（Call）、看跌期权（Put）、标的资产（Underlying）；其次再结合头寸方向（多头Long，空头Short），期权投资者持有头寸状况可分为六种基本情况，收益曲线如下（不包含时间价值）：头寸/资产CallPutUnderlyingLongShort若单边持有以上某个头寸，当资产价格走势与预期相反的方向时，所持资产会受到损失。当然，止损的方法之一就是平仓；但通常投资者会同时进行两笔标的相关、方向相反、数量相当、盈亏相抵的交易，这就是对冲。对冲复制的含义是，持有某一类资产的同时，通过将其他两类资产的组合，形成一个类似的收益曲线，并进行反向持仓操作，用新构建的持仓组合发挥对冲作用。此外，如果通过收益曲线的拟合来进行组合对冲复制，必须注意的是关键要素的一致，即行权价一致、距离行权到期时间相同。同时，针对中国目前的市场特殊性，除期货市场的做空机制以外，还应该考虑在股票市场的融券成本较高的问题。多头：+/空头：-单边头寸收益曲线复制对冲持仓+Call+Put&+Underlying-Put&-Underlying+Put+Call&-Underlying-Call&+Underlying+Underlying+Call&-Put-Call&+Put-Call-Put&-Underlying+Put&+Underlying-Put-Call&+Underlying+Call&-Underlying-Underlying-Call&+Put+Call&-Put我们同时也应注意到，虽然某些收益曲线的复制持仓与某些基本的期权交易策略一样，但是投资者的构建组合持仓的目的却不同。例如：同时持有看跌期权和标的资产，组合持仓复制2/12的是一个看涨期权，对应的是看好后市的预期；另一方面，同时持有看跌期权和标的资产，在策略方面是ProtectivePut，其目的在于担心潜在的下行风险带来的损失。通过组合进行完全复制，能够对冲当时的静态持仓风险，但是期权的特殊性在于，并不只是价格波动带来的风险，期权定价还会涉及到执行价、成本、分红、波动率、时间等其他因素的影响。因此，除了能够通过复制组合的反向持仓来进行对冲，我们还可以分解因素，从更多的维度来进行风险暴露程度调整，也就是以下我们所说的风险管理指标的对冲方法。二、风险管理指标1.定义看涨期权价格c（看跌期权价格p）与基本六因素的方程为：c（或p）=F（S,K,r,q,σ,t）其中：S：标的资产价格，K：执行价格，r：无风险收益率，σ：波动率，t：距离行权到期时间，q：红利每一个自变量的变化，因变量P会有不同程度的波动。期权价格对每个自变量指标反应，我们采用一些的希腊字母来表示。Delta：Δ=𝜕𝑐𝜕𝑆：标的资产价格变化时期权价格的变化。Gamma：Γ=𝜕2𝑐𝜕𝑆2：标的资产变化时Delta的变化幅度。Vega：ν=𝜕𝑐𝜕σ：期权价格对隐含波动率的敏感性。Theta：Θ=𝜕𝑐𝜕𝑡：期权价格对到期时间长短的敏感性。Rho：ρ=𝜕𝑐𝜕𝑟：期权价格对无风险利率波动的反应。每个风险指标有自身的基本特性，包括取值区间、平值/实值/虚值期权价格表现，还有相互之间的联系，比如不同到期日及不同波动率影响下的期权价风险指标的变化。2.风险指标的基本特征与对冲方法对于无分红的欧式期权，我们用B-S模型对其定价如下：欧式看涨期权：c=S0Nd1−Ke−rT−tN(d2)欧式看跌期权：p=Ke−rT−tN(−d2)−S0N−d1其中，d1=lnS0K+(r+12σ2)T−tσT−t，d2=lnS0K+r−12σ2(T−t)σT−t=d1−σT−t且，N（X）是标准正态分布变量的累积概率分布函数。结合泰勒展开式，风险指标的量化值可用以下公式表示：指标定义计算公式买权卖权3/12DeltaΔ∂C∂SN(d1)Nd1−1Gammaγ∂2C∂S2N′(d1)S0σT−tVegaν∂C∂σS0N′d1T−tThetaΘ∂C∂t−S0N′(d1)σ2T−t−rKe−rT−tN(d2)−S0N′(d1)σ2T−t+rKe−rT−tN(−d2)Rhoρ∂C∂rKT−te−rT−tN(d2)−KT−te−rT−tN(−d2)2.1.Delta看涨期权有0～1的正Delta，说明其他条件相近的情况下，看涨期权的价格随标的资产价格正向波动；反之，看跌期权有-1～0的负Delta，说明看跌期权价格与标的资产价格拥有负相关的关系。当Delta越接近于0，反映出期权的价值趋势是，由实值向虚值过渡。因此，若对标的资产看涨、或者想增加对标的资产价格波动的正向敏感性，可以买入看涨期权或卖出看跌期权；反之若对标的资产价格看跌、或者想增加对标的资产价格波动的负向敏感性，可以卖出看涨期权或买入看跌期权。正是因为可以通过改变Delta来影响持有投资组合对标的资产价格波动进行灵敏程度的调整，因此在风险对冲方面，若采用加入期权，令投资组合的Delta为零，则可以说理论上规避了价格波动带来的风险。也就是我们常说的Delta中性。-1.5-1-0.500.511.5UnderlyingDeltaofOptionsC_DeltaP_Delta4/12而如上图所示，Delta=∂C∂S，可解释为看涨期权价格曲线在标的资产价格为S时的斜率。Delta中性的意思即为，卖出一单位看涨期权，形成-Δ单位的标的价格波动的风险敞口，则可买入Δ单位的标的，令投资组合的总Δ为零。延展开来，投资组合Π中各项目拥有自己的Δi，亦可利用权重配置的方式，来实现投资组合Delta的整体中性，即ΔΠ=wiΔi𝑛𝑖=1=0，wi为头寸数量。同时亦有，若卖出一单位看涨期权（Δ），同时已持有Δ’单位的标的资产，则有两种选择，来进行Delta中性的操作：1）继续买入（Δ-Δ’）单位的标的资产2）买入（Δ−Δ’Δ−1）单位的看跌期权，此看跌期权与卖出的看涨期权拥有相同行权价、相同期限，且均不属于深度虚值/深度实值。在利用Delta进行对冲头寸的计算时，由于标的资产价格不断变动，导致Delta也在变动，Delta中性只能维持一段时间，因此对冲策略需要不断调整。2.2.GammaGamma0，且对应的看涨期权与看跌期权的Gamma相等，平值期权的Gamma最大，越深度虚值/深度实值的期权的Gamma越小。5/12Gamma为期权价格对标的价格的二阶导，其实就是对Delta的修正。前文提到，Delta即为期权价格在某一个资产标的价格为S时的斜率。该斜率为期权价格曲线在（S,C）这一点的切线，因此简单遵从Delta中性的对冲并不精确。当标的资产价格变化S→S’，在Delta对冲理论下期权价格值C→C’，实际上价格期权价格变动为C→C’’，利用Delta中性进行对冲的实际误差为（C’’-C’）。所以说Gamma的作用就是修正Delta切线与精确价格曲线之间的误差。由于Delta比率随着股价变化而变化，为了有效对冲风险，需要根据股价的变化，正确调整Delta比率。这是一个动态对冲过程，Delta被修正的次数要根据期权价格的曲率Gamma来决定。Gamma值越大，说明Delta对于价格变化越敏感，获取Delta中性就需要更加频繁的修正，进而期权的风险及对冲成本就越大。因此若想进行Delta-Gamma动态对冲，会先取得Gamma中性即修正Delta对冲误差后，再对修正后的Delta进行对冲。值得注意的是，由于标的资产的Gamma=0，因此Gamma中性必须加入期权进行对冲。00.00050.0010.00150.0020.0025UnderlyingPriceGammaofOptionsAtthemoney6/122.3.Theta期权是选择权，择机是重要的考量内容之一。Theta就是描述期权价格同到期时间的关系，即时间价值的损耗。越接近到期日，Theta的绝对值越大，时间价值的衰减速度越快。正是由于随着时间推移，期权会贬值，所以一般来说Theta0。看涨期权的Theta一般都比看跌期权的Theta小，因此随着到期日的临近，看涨期权贬值越快。另需注意的是，虽然是代表时间的损耗，但是深度实值的看跌期权和超高息货币的看涨期权，Theta可能≥0。Theta的定义表明，仅能对价格波动进行对冲，因此Theta另一个重要的作用是，可以作为Delta中性时，Gamma对冲的桥梁作用。∆Π=∂Π∂S∆S+∂Π∂t∆t+12∂2Π∂S2∆S2+12∂2Π∂t2∆t2+∂2Π∂S∂t∆S∆t+∙∙∙当∆=0，即泰勒展开式右边的∂Π∂S∆S=0，而时间间隔∆t取极小，便有以下等式：∆Π=θ∆t+12Γ∆S2Gamma0，θ趋于负值，∆S=0时，投资组合价值变化∆Π趋于负值，即投资组合价值下降；当∆S处于极正（负）时（价格变化极大），投资组合价值上升。Gamma0，θ趋于正值，同理可推，∆S=0时，投资组合价值变化∆Π趋于正值，即投资组合价值上升；当∆S处于极正（负）时（价格变化极大），投资组合价值下降。当|Gamma|上升时，投资组合价值对于标的股票价格变化越敏感。2.4.Vega-1.6-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.6UnderlyingPriceThetaOfOptionsC_ThetaP_Theta7/12除了到期时间，隐含波动率对期权也是至关重要，Vega即描述期权价格对隐含波动率的敏感程度，隐含波动率越高，期权价格越高。且看涨和看跌期权的Vega相等。Vega具有一定的矛盾性，因为若到期时间越长，波动率对期权价格的影响就越大，即波动率存在时间升水的特征；但是当波动率变化时，短期期权的隐含波动率比长期期权的隐含波动率大，所以通常采用短期期权的波动率变化来计算投资组合的Vega。因此当面临有多个期权可以用来进行Vega对冲时，我们要从以上方面结合成本，来进行综合考虑。Vega对冲与Gamma对冲有很多相似之处。由于标的资产的Vega=0，因此要想获得Vega中性，必须加入期权进行对冲。Delta-Gamma-Vega对冲比较如下：Delta对冲：最基本的对冲，简便但不精确Gamma对冲：对于Delta对冲的风险控制，修正Delta对冲误差Vega对冲：对波动率变化的风险控制因此Delta-Gamma-Vega中性，是一个最基本的全面动态对冲，是最简单的、但又相对完整的期权风险对冲指标。2.5.RhoRho是描述期权价格对利率的敏感性，对于不同投资者来说，可以拓展为面对不同最低收益率（IRR）的组合，期权价格对不同IRR的敏感性不同，从而方便投资者进行情景分析，以持有期权来选择合适的投资组合，或者在持有投资组合的前提下加入期权。看涨期权的Rho为正值，与利率正相关，表示投资者可以买入看涨期权来增加投资组合对利率波动的敏感性，或卖出看涨期权来降低投资组合对利率波动的敏感程度；类推，看跌期权的Rho为负值，投资者可以买入看跌期权来减少投资组合对利率波动的敏感性。-0.500.511.522.533.54UnderlyingPriceVegaofOptionsAtthemoney8/123.合约选择及操作注意事项在日常交易中，自然灾害、政策变更、过度炒作等，都可能导致期权的市场价格与理论价值的严重偏离。正是价格偏离现象的存在，我们可以用无风险套利模型、平价理论等来指导套利。而在这个小节，我们的重点是建立在对风险指标的基本了解之上，对合约选择进行讨论，以及对相关操作注意事项进行简要说明。3.1.投资组合Delta调整与不同剩余期限合约的选择怎样对投资组合的Delta进行调整，在于投资者对后市的判断。例如，对后市强烈看涨的情况下，投资者可采取买入看涨期权来加大投资组合的Delta。看涨期权Delta与剩余期限的关系看跌期权Delta与剩余期限关系-4-3-2-101234UnderlyingPric