立体几何知识归纳+典型例题+方法总结

1/28立体几何知识归纳+典型例题+方法总结一、知识归纳1．平面平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题.（1）证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内，推出点在面内），这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上.（2）证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线.（3）证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证明两平面重合.2.空间直线（1）空间直线位置关系三种：相交、平行、异面.相交直线：共面有且仅有一个公共点；平行直线：共面没有公共点；异面直线：不同在任一平面内，无公共点（2）平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如右图）.2/28（直线与直线所成角]90,0[）（向量与向量所成角])180,0[推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.（3）两异面直线的距离：公垂线段的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.[注]：21,ll是异面直线，则过21,ll外一点P，过点P且与21,ll都平行平面有一个或没有，但与21,ll距离相等的点在同一平面内.（1L或2L在这个做出的平面内不能叫1L与2L平行的平面）3.直线与平面平行、直线与平面垂直（1）空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.（2）直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行线面平行”）（3）直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行线线平行”）（4）直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.若PA⊥，a⊥AO，得a⊥PO（三垂线定理），三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相POAa3/28交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.性质：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.（5）a.垂线段和斜线段长定理：从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.b.射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上.4.平面平行与平面垂直（1）空间两个平面的位置关系：相交、平行.（2）平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（“线面平行面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.[注]：一平面内的任一直线平行于另一平面.（3）两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行线线平行”）（4两个平面垂直判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直判定二：如果一条直线与一个平面垂直，那么经过这条直线4/28的平面垂直于这个平面.（“线面垂直面面垂直”）注：如果两个二面角的平面分别对应互相垂直，则两个二面角没有什么关系.（5）两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.简证：如图，在平面内过O作OA、OB分别垂直于21,ll，因为OBPMOAPM,,,则OBPMOAPM,.所以结论成立b.最小角定理的应用（∠PBN为最小角）简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有4条.成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有2条.成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有3条或者2条.成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有1条或者没有.5.棱柱.棱锥（1）棱柱a.①直棱柱侧面积：ChS（C为底面周长，h是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.②斜棱住侧面积：lCS1（1C是斜棱柱直截面周长，l是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.b.{四棱柱}{平行六面体}{直平行六面体}{长方体}{正四棱PθMABO5/28柱}{正方体}.{直四棱柱}{平行六面体}={直平行六面体}.c.棱柱具有的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各．个侧面都是矩形．．．．．．．；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形．．．．．.②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等．．多边形.③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.d.平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点．．．．．．．．．．．．．，并且在交点处互相平分.[注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为,,，则1coscoscos222.推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为,,，则2coscoscos222.（2）棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.[注]：①一个三棱锥四个面可以都为直角三角形.②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以棱柱棱柱3VShV.a.①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面正多边形6/28的中心.[注]：i.正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）ii.正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正三角形，侧棱与底棱不一定相等iii.正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形.②正棱锥的侧面积：'Ch21S（底面周长为C，斜高为'h）③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：cos底侧SS（侧面与底面成的二面角为）附：以知c⊥l，bacos，为二面角bla.则laS211①，blS212②，bacos③①②③得cos底侧SS.注：S为任意多边形的面积（可分别求多个三角形面积和的方法）.b.棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.c.特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面labc7/28多边形内心.④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；⑧每个四面体都有内切球，球心I是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.（3）球：a.球的截面是一个圆面.①球的表面积公式：24RS.②球的体积公式：334RV.b.纬度、经度：①纬度：地球上一点P的纬度是指经过P点的球半径与赤道面所成的角的度数.②经度：地球上BA,两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点A的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是B点的经度.附：①圆柱体积：hrV2（r为半径，h为高）②圆锥体积：hrV231（r为半径，h为高）③锥体体积：ShV31（S为底面积，h为高）8/28（1）.①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a，ah36，243aS底，243aS侧，得RaRaaa2224331433643aaaR46342334/42.注：球内切于四面体：hSRS313RS31V底底侧ACDB.②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.6.空间向量（1）a.共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.b.共线向量定理：对空间任意两个向量)0(,bba，a∥b的充要条件是存在实数（具有唯一性），使ba.c.共面向量：若向量a使之平行于平面或a在内，则a与的关系是平行，记作a∥.d.①共面向量定理：如果两个向量ba,不共线，则向量P与向量ba,共面的充要条件是存在实数对x、y使byaxP.②空间任一点．．．O．和不共线三点．．．．．．A．、．B．、．C．，则)1(zyxOCzOByOAxOP是PABC四点共面的充要条件.（简证：ACzAByAPOCzOByOAzyOP)1(P、A、B、C四点共面）注：①②是证明四点共面的常用方法.（2）空间向量基本定理：如果三个向量．．．．cba,,不共面．．．，那么对空间任一向量P，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使czbyaxp.推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组x、y、z使OCzOByOAxOP(这里隐含x+y+z≠1).OABCDOR9/28注：设四面体ABCD的三条棱，,,,dADcACbAB其中Q是△BCD的重心，则向量)(31cbaAQ用MQAMAQ即证.对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足OPxOAyOBzOC，则四点P、A、B、C是共面1xyz（3）a.空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵坐标），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.①令a=(a1,a2,a3),),,(321bbbb，则),,(332211babababa，))(,,(321Raaaa，332211babababa，a∥)(,,332211Rbababab332211bababa0332211babababa.222321aaaaaa(向量模与向量之间的转化：aaaaaa2)空间两个向量的夹角公式232221232221332211||||,cosbbbaaababababababa（a＝123(,,)aaa，b＝123(,,)bbb）.②空间两点的距离公式：212212212)()()(zzyyxxd.b.法向量：若向量a所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作a，如果a那么向量a叫做平面的法向量.c.向量的常用方法：10/28①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一条射线，其中A，则点B到平面的距离为||||nnAB.②异面直线间的距离nnCDd(12,ll是两异面直线，其公垂向量为n，CD、分别是12,ll上任一点，d为12,ll间的距离).③直线AB与平面所成角的正弦值sin||||ABmABm(m为平面的法向量).④利用法向量求二面角的平面角定理：设21,nn分别是二面角l中平面,的法