2012考研数学一数学二数三真题及答案)word版

1一、选择题(1)曲线221xxyx渐近线的条数为(C)(A)0(B)1(C)2(D)3(2)设函数2()(1)(2)()xxnxfxeeen，其中n为正整数，则'(0)f(C)(A)1(1)(1)!nn(B)(1)(1)!nn(C)1(1)!nn(D)(1)!nn(3)设函数()ft连续，则二次积分22202cosd()dfrrr(B)(A)2224222202d()dxxxxxyfxyy(B)22242202d()dxxxxfxyy(C)22242222011d()dyyyxyfxyx(D)222422011d()dyyyfxyx(4)已知级数11 (1)sinnnnn绝对收敛，级数21(1)nann条件收敛，则(D)(A)102a(B)112a(C)312a(D)3 22a（5）设0,(1,2,...)nan，1...nnsaa，则数列ns有界是数列na收敛的(B)(A)充分必要条件.(B)充分非必要条件.（C）必要非充分条件.（D）即非充分地非必要条件.（6）设20sinkxkIexdx(k=1,2,3),则有(D)（A）123III(B)321III(C)231III(D)213III（7）设函数(,)fxy可微，且对任意,xy都有(,)0fxyx，(,)0fxyy，则使得1122(,)(,)fxyfxy成立的一个充分条件是(D)(A)1212,xxyy(B)1212,xxyy(C)1212,xxyy(D)1212,xxyy（8）设区域D由曲线,1,2,sinyxxy围成，则)(15dxdyyx(D))(2)(2)()(DCBA3．如果函数(,)fxy在(0,0)处连续，那么下列例题正确的是（B）2（A）若极限(,)(0,0)(,)lim||||xyfxyxy存在，则(,)fxy在(0,0)处可微；（B）若极限22(,)(0,0)(,)limxyfxyxy存在，则(,)fxy在(0,0)处可微；（C）若(,)fxy在(0,0)处可微，则极限(,)(0,0)(,)lim||||xyfxyxy存在；（D）若(,)fxy在(0,0)处可微，则极限22(,)(0,0)(,)limxyfxyxy存在。二、填空题：(9)1cossin4limtanxxxx2e(10)设函数ln,121,1xxfxxx，yffx，则xedydx4(11)设连续函数(,)zfxy满足2201(,)22lim0(1)xyfxyxyxy则0,1d|z2dxdy(12)由曲线4yx和直线yx及4yx在第一象限中围成的平面图形的面积为4ln2（9）设()yyx是由方程21yxye所确定的隐函数，则220xdydx____1____。（10）计算22222111lim12xnnnnn…____4____。（11）设1lnzfxy,其中函数()fu可微，则2zzxyxy___0_____。（12）微分方程2(3)0ydxxydy满足初始条件|1xy的解为__X=Y2______。（13）曲线2(0)yxxx上曲率为22的点的坐标是__(-1,0)______。9、若函数()fx满足方程()'()2()0fxfxfx及'()()2xfxfxe，则()fxex。310、2202xxxdx2。11、(2,1,1)()|zgradxyy(1,1,1)。12、已知曲面{(,,)|1,0,0,0}xyzxyzxyz，则2ydS312。三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(1)求极限222cos40limxxxeex解：(2)计算二重积分ddxexyxy，其中D是以曲线1,yxyx及y轴为边界的无界区域.解：4(3)某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x（件）和y（件），且定两种产品的边际成本分别为202x（万元/件）与6y（万元/件）.(1)求生产甲乙两种产品的总成本函数(,)Cxy（万元）；(2)当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可使总成本最小？求最小成本；(3)求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义.解：（I）(,)=20+2xxCxy，对x积分得：2(,)204xCxyxDy再对y求导有，(,)6yCxyDyy再对y积分有，262yDyyc所以22(,)20642xyCxyxyc，又(0,0)10000C，所以10000c所以22(,)2061000042xyCxyxy（II）x+y=50，把y=50-x代入22(,)2061000042xyCxyxy23()36115504xCxx令23()361155004xCxx，得x=24，y=50-24=26，这时总成本最小C（24,26）=11118万元（III）24,26(,)32xCxy（万元/件）经济意义：总产量为50件，当甲产品的产量为24时，每增加一件甲产品，则甲产品的成本增加32万元。(4)证明21lncos1,(11)12xxxxxx证明：令21lncos112xxfxxxx，212lnsin11xxfxxxxx00f222221411cos1111xxfxxxxx222244cos12011xxx所以00fxf即证得：21lncos11112xxxxxx5（5）已知函数11()sin,xfxxx，记0lim()xafx（1）求a的值（2）若当0x时，()fxa是kx的同阶无穷小，求k【解析】：（1）2000011sinlim()limlimlim1sinsinsinxxxxxxxxfxxxxxx，即1a（2）,当0x时，由11sin()()1sinsinxxfxafxxxxx又因为，当0x时，sinxx与316x等价，故1()~6fxax，即1k（6）求222,xyfxyxe的极值。【解析】：222,xyfxyxe，先求函数的驻点：令2222222,10,0xyxxyyfxyxefxyxye，解得驻点为1,0,1,0.又222222222222311xyxxxyxyxyyyfxxefyxefxye对点1,0，有11221111,02,1,00,1,0xxxyyyAfeBfCfe所以，211110,0ACBA，故,fxy在点1,0处取得极大值121,0fe.对点1,0，有11222221,02,1,00,1,0xxxyyyAfeBfCfe所以，222220,0ACBA，故,fxy在点1,0处取得极小值121,0fe.6（7）过点（0，1）点作曲线:lnLyx的切线，切点为A，又L与x轴交于B点，区域D由L与直线AB及x轴围成，求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。【解析】：如图设切点坐标为00,lnAxx，斜率为01x，所以设切线方程为0001lnyxxxx，又因为该切线过(0,1)B，所以20xe，故切线方程为：211yxe切线与x轴交点为2,0Be（1）222222001(1)()12yyAeeydyeeyye（2）22222222212211221122212ln38ln2ln3842ln238221233eeeeeVeexdxexxxdxeexxdxeee（8）计算二重积分Dxyd，其中区域D为曲线0cos1r与极轴围成。【解析】：Drdrrrdxyd0cos10sincos40401sincos(1cos)41cos(1cos)cos4dd令cosu得，原式141116(1)415uudu。（9）已知函数)(xf满足方程0)(2)()('''xfxfxf及xexfxf2)()('1）求表达式)(xf2）求曲线的拐点dttfxfyx022)()(【解析】：71）特征方程为022rr，特征根为2,121rr，齐次微分方程()()2()0fxfxfx的通解为xxeCeCxf221)(.再由'()()2xfxfxe得21222xxxCeCee，可知121,0CC。故()xfxe2）曲线方程为220xxtyeedt，则220'12xxtyxeedt，2220''2212xxtyxxeedt令''0y得0x。为了说明0x是''0y唯一的解，我们来讨论''y在0x和0x时的符号。当0x时，222020,2120xxtxxeedt，可知''0y；当0x时，222020,2120xxtxxeedt，可知''0y。可知0x是''0y唯一的解。同时，由上述讨论可知曲线dttfxfyx022)()(在0x左右两边的凹凸性相反，可知0,0点是曲线dttfxfyx022)()(唯一的拐点。（10）证明：21lncos1,1112xxxxxx【解析】：令21lncos112xxfxxxx，可得'2222112lnsin11112lnsin1111lnsin11xxfxxxxxxxxxxxxxxxxxxx当01x时，有1ln01xx，22111xx，所以221sin01xxxx，故'0fx。而00f，即得21lncos1012xxxxx，也即21lncos112xxxxx。当10x时，有1ln01xx，22111xx，所以221sin01xxxx，故'0fx。而800f，即得，21lncos1012xxxxx也即21lncos112xxxxx。当0x时，显然有21lncos112xxxxx。可知，21lncos1,1112xxxxxx（11）（1）证明方程)1(1...1的整数nxxxnn，在区间1,21内有且仅有一个实根；（2）记（1）中的实根为nx，证明nnxlim存在，并求此极限。【解析】：(1)由题意得：令1()1nnfxxxx，则(1)0f，再由11(1())1122()1()012212nnf，由零点定理1()1nnfxxxx得在1,21至少存在一个零点，也即方程1...1nnxxx在