振动理论06(1-2)-非线性振动

振动理论(6-1)第6章具有非线性特征的系统陈永强北京大学力学系在粘性阻尼条件下，系统的运动微分方程为线性二阶常微分方程线性振动理论能表征很多实际问题对于不能用常系数线性微分方程来描述的物理系统，需要讨论非线性微分方程忽略质量变化，单自由度系统的运动方程的一般形式可以写为带有非线性特征的系统称为非线性系统，其运动称为非线性振动或者非线性响应叠加原理不适用于非线性系统通常，非线性振动不是简谐的，其频率随振幅改变6.1非线性系统的举例非线性现象的一个重要类型是弹性恢复力与变形不成比例硬化弹簧软化弹簧2014/11/143质量附在长度为的拉直的弦AB的中部，弦的初始张力用表示。令质量在弦的横向上离开平衡位置的距离为，弦中产生的弹性恢复力如图(b)所示该系统自由振动方程：对称硬化弹簧的例子2014/11/144由几何关系代入运动方程显然这是一个非线性方程如果认为是小振动，有，因此2014/11/145单摆，重，长度。单摆离开竖直位置的夹角为,单摆关于轴的回复力矩为，绕轴的转动方程为代入质量的惯性矩,有小振幅情况为简谐振动，振幅较大，对称软化弹簧的例子2014/11/146对比两种情况的非线性方程2014/11/147硬化情形分段线性化恢复力2014/11/148软化情形2014/11/149如果动力荷载使结构或机器部件变形时超出了材料弹性范围，造成的运动称为非弹性响应一建筑的二维矩形钢框架，受横向力作用于屋顶。如果柱的弯曲刚度小于梁的弯曲刚度，随着荷载无限增加，在柱的两端会形成所谓的塑性铰。2014/11/1410对应的载荷-位移曲线实验表明，昀大的正力和昀大的负力在数值上是相等的滞后回线关于原点对称2014/11/1411线性软化弹性卸载反向加载弹性卸载曲线部分常常用直线代替，用以模拟真实的材料行为双线性非弹性恢复力2014/11/1412双线性双线性理想弹塑性恢复力滞后回线表示的能量耗散在这里被假定通过塑性铰损失掉，结构的其余部分依然保持能量守恒这种能量耗散机制称为滞后阻尼2014/11/1413刚塑形带有摩擦抗力的单自由度系统及其滞后回线2014/11/1414下图两个问题在数学上是相同的前者是属于刚塑形恢复力的情况，弹性变形与塑形范围相比很小后者是没有弹簧的质量在摩擦力的阻滞下运动除粘性阻尼外，其它类型的耗散机制均导致非线性通常，假定质量、阻尼和刚度特征不随位移、速度和加速度而改变。2014/11/1415刚塑形理想弹塑性具有非线性对称恢复力的无阻尼系统的自由振动或表示单位质量的弹性恢复力加速度表示为代入运动方程(c)6.2速度和周期的直接积分法2014/11/1416假定单位质量的恢复力为如图所示积分方程(c)，注意昀大位移对应的速度为零(d)m(e)积分方程(e)，可得一周期之内任意部分的时间2014/11/1417一个完整周期为给定恢复力解析表达式，上述积分可得系统固有周期振动系统在任一点的单位质量的动能等于图中阴影部分表示的势能平衡位置的动能为2014/11/1418弹性恢复力为的奇次幂的情况：代入运动方程，并进行积分，有时，；时，相应地，可以通过积分得到周期表达式几种特殊情况2014/11/1419m对于的线性情况()时，恢复力正比于积分数值求解的结果为，周期这种情况下，振动周期与振幅成反比2014/11/1420如果弦的初始张力不为零，可设单位质量的恢复力有以下形式式中，,则相应的平衡位置昀大速度可以表示为自由振动的周期或2014/11/1421把等式右边的椭圆积分转化为标准形式，令根据椭圆积分表是第一类椭圆积分，,2014/11/1422对于本问题，有因此，周期可以用第一类椭圆积分记为2014/11/1423如果弹性性质偏离线性很小，可设，对应于线性恢复力的情况。如果及很大，的第一项可以忽略，,因此的表达式为其他属于两种极端之间的情况，必须数值计算,并进一步查表确定响应椭圆积分的值2014/11/1424软化弹簧的情形,2014/11/1425不同的可以近似模拟不同的硬化和软化弹簧对于更一般的情况，可以用多项式来表征恢复力，仍然可以用椭圆积分来处理。2014/11/1426运动方程动能方程mm周期积分方程昀大速度周期mmm单摆问题2014/11/1427椭圆积分的标准形式引入记号，以及新的变量,使得(v)可以求得(w)代入周期方程，即可得标准的第一类椭圆积分查表可以求得任意对应的方程的值昀大转动位移很小时，的值也很小，在方程中可以忽略,积分将等于,即得小转动情况下的固有频率。2014/11/1428一包裹质量为m，包裹内有弹簧，从高处落到混凝土地板上。根据实验，弹簧作用在质量上的恢复力可以近似表示为,是包裹内弹簧和质量之间的相对位移。假定包裹与地板之间为非弹性冲击，确定其昀大相对位移。解下落的包裹受冲击的瞬间，其单位质量的动能为.由单位质量的恢复力,再由方程(6.9),所以有例题2014/11/1429考虑无阻尼系统的自由振动，其运动方程为左侧两项分别代表单位质量的惯性力和弹性恢复力.由D’Alembert原理，方程看成是两个力互相平衡的动力学平衡方程令系统发生虚位移,所有力的功等于零，因此有首先假定一个自由振动的近似解式中，,为选定的时间函数，为权系数，可通过使一周的虚功为零确定6.3自由振动的近似方法-Ritz平均法2014/11/1430虚位移为(t)在一周内对虚功积分，有并有以上n个代数方程联立求解，可得2014/11/1431考虑准线性方程取自由振动的近似函数（一项）解解得从中解出，更精确的满足对称性的近似结果可以通过假设以下的两项级数形式：2014/11/14322014/11/1433振动理论(6-2)第6章具有非线性特征的系统陈永强北京大学力学系假定系统具有与函数成比例的阻尼力，与函数成比例的弹性力，并受周期性激励的作用采用Ritz法求解先假定一个级数形式的稳态振动的近似解一周内的虚功为零，有6.4非线性受迫振动2014/11/1435对于无阻尼情形，方程为称为Duffing方程。Duffing方程是非线性理论中常用的代表性微分方程，尽管是从简单物理模型中得出来的非线性振动模型，但是其模型具有代表性。工程实际中的许多非线性振动问题的数学模型都可以转化为该方程。取一项近似的方程为代入并积分q给出了稳态响应的与激励频率之间的关系2014/11/1436硬化弹簧软化弹簧上面两个方程可以看成是两个曲线的交点等号左面的的立方函数和右面的线性函数不同的对应不同的线性函数及两条曲线交点表示的解可以建立横坐标为频率的谱分布2014/11/1437：在图(a)中标为斜线与曲线交于点，对应于图(b)中的竖直线,与曲线交于：在图(a)中标为的斜线与曲线交于点，对应于图(b)中:在图(a)中标为的水平线，在线性系统中代表共振，在这种情况下，仅仅是对应两个点对：点和硬化弹簧情况2014/11/1438随频率比继续增加，斜线的斜率增加，会达到一个临界条件：斜线与曲线上部相交()，同时在曲线的下部某点()相切；在图(b)中对应的响应谱上的两点()均发生于临界频率(),即响应谱具有无限大斜率()。图(a)中比较陡的线，与曲线有三个交点()，在响应谱中分别对应().利用以上方法，可构造出图(b)中的实线2014/11/1439图(b)中的虚线为硬化弹簧响应谱中的双曲渐近线对应着非线性自由振动令，得到自由振动的振幅-频率关系为不同荷载值对应的一族响应谱曲线如图中的细实线所示其临界点的连线如图中的点划线所示，其方程为可以通过对方程微分得到外荷载变化，即外载幅值和频率变化，系统振幅随之变化对于硬化弹簧，幅值越大，或者频率越接近，导致的越大，弹簧愈刚硬，固有频率越大,图(b)中的渐近虚线向频率轴的正方向弯曲临界点处振幅随频率变化增加昀快2014/11/1440线和均与立方曲线有三个交点；线与曲线有一个交点，并与曲线相切；线和与曲线各有一个交点图(a)中的点在图(b)中有对应点.响应谱在点有一个竖直切线临界频率发生在受迫频率小于线性系统的共振频率软化弹簧2014/11/1441中令,得图(b)虚线对应的方程：是一个表示自由振动的椭圆。2014/11/1442不同荷载对应的响应谱曲线(细实线)的临界点的连线如图6.12(b)点划线所示，对应的方程为(对方程微分可得)2014/11/1443012345-1-2-3-41无阻尼受迫振动响应谱硬化弹簧和软化弹簧的响应谱表征跳跃现象(drop-jump)的数学模型在非线性力学系统受简谐力函数的试验中可以观察到6.4.2非线性系统的跳跃现象2014/11/1445从开始逐渐增大受迫频率，其稳态振幅由图中响应曲线左分支确定直到到达某点(如点),由于外部扰动，振幅会突然从曲线的点跌落到点，此时的相位角会从变为180°随后继续增大受迫频率，响应会沿着响应谱的右侧分支逐渐消失的部分变化如果受迫频率从一个比较高的值（大于）缓慢减小，稳态响应也会逐渐增大，直到达到临界点.然后振幅会从跳到,相位角会从180°→0°继续减小受迫频率，响应会沿着变化直至消失当受迫频率减小时，振幅一定会从跳到,因为在时，解是唯一的硬化弹簧的情况2014/11/1446Klotter*曾经证明，图中的虚线和点划线确定描述了一个不稳定区域曲线上的表示在物理上不能观察到的条件点把响应谱的右侧分支分成两个部分不稳定的上部稳定的下部.2014/11/1447*KKlotter,EPinney.Acomprehensivestabilitycriterionfortheforcedvibrationsofnon-linearsystems.JApplMech.1953,20,P9从0→缓慢增加受迫频率,其稳定振幅沿着路径发展从发生跳跃，相位角从0°转变为180°如果从逐渐减小受迫频率，其响应会沿着变化从发生突然跌落，相位角从180°→0°不稳定区域由竖直线以及虚线和点划线围成点把响应谱的左面的分支分为两个部分：不稳定的上部和稳定的下部。软化弹簧的情况2014/11/1448运动方程可以表示为假定其稳态受迫振动的一阶近似为(b)为了用Ritz法确定两个常数和,要满足：6.4.3有粘性阻尼的情况，2014/11/1449把(b)代入上式并进行积分，利用和,有(e)(f)2014/11/1450方程(e)+方程(f)，方程(e)+方程(f)，可得为了得到的关系，上面两个方程平方后相加,消去，有为了考虑相位的变化，两个方程相除，有2014/11/1451为了绘制响应谱曲线，重新整理并分成两个表达式分别适用于硬化弹簧和软化弹簧情况上面两个方程的右边不再是直线，响应谱的构造也更复杂，但是其形状都很相似2014/11/1452图中虚线为渐近线，即对应的自由振动的曲线点划线：响应谱与自由振动曲线交点的连线，通过对应两个方程的联立求解得到：2014/11/1453方程表示平面内的一族双曲线给定一个的值，就可以构造一个方程表示的双曲线与自由振动曲线的交点，大致地决定了稳态受迫振动的昀大可能振幅。2014/11/1454在小阻尼或无阻尼系统中，由于跳跃现象，共振的理论条件（图中的点）实际上可能不会发生虽然在图上标出有从到跌落的可能性，但是实际上总是发生在到的跳跃外界扰动可能会导致跳跃提前发生如果没有外来扰动，跳跃现象大致上会发生在谱曲线上的.2014/11/1455粘性阻尼受迫振动响应谱1230012345c/cc=0c/cc=0.125c/cc=0.20c/cc=0.50c/cc=1有非线性特征的单自由度系统表示为初始加速度解可以形式地写为6.5非线性系统的数值求解2014/11/1457速度在时刻近似为称为梯形法则在当前步长中的加速度取为和的平均值位移表示为速度取为取为和的平