2017考研数学模拟测试题完整版及答案解析(数二)

2017考研数学模拟测试题完整版及答案解析（数二）一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）当0x时，下面4个无穷小量中阶数最高的是（）(A)2211xx(B)23545xxx(C)33ln(1)ln(1)xx(D)1cos20sinxtdt【答案】（D）【解析】（A）项：当0x时，22222221111xxxxxx（B）项：显然当0x时，235245xxxx（C）项：当0x时，333333333122ln(1)ln(1)lnln12111xxxxxxxxx（D）项：1cos322011100001sinsin(1cos)sin(1cos)2limlimlimlimxkkkkxxxxxtdtxxxxxkxkxkx所以，13k，即4k时1cos200sinlimxkxtdtx存在，所以41cos20sin8xxtdt（2）设0，函数在,有连续的三阶导数，000ff，且0()lim2xfxx，则下类选项中正确的是（）(A)(0)f是的极大值(B)(0)f是()fx的极小值(C)0,(0)f是()yfx的拐点()fx()fx12345678DCACBDDA(D)0x不是的极值点，0,(0)f也不是()yfx的拐点【答案】（C）【解析】由0()lim2xfxx00，当00x时，()0fxx，即()0fx，()fx在00,单调上升，000,0()0,00,0xfxxx0,(0)f是()yfx的拐点。所以应该选C.（3）设fx为不恒为零的奇函数，且0f存在，则函数fxgxx（）A有可去间断点0xB有跳跃间断点0xC在0x处右极限不存在D在0x处左极限不存在【答案】(A)【解析】因为fx为奇函数，所以00f.又0f存在，00limxfxfx，即00limlim0xxfxgxfx，因而gx在0x处的极限存在，但在0x处无定义。如定义00gf，即,00,0fxxxgxfx，则gx在0x处连续，即0x为gx的可去间断点。仅(A)入选。（4）下列命题中正确的是（）(A)若函数()fx在,ab上可积，则()fx必有原函数(B)若函数()fx在(,)ab上连续，则()bafxdx必存在(C)若函数()fx在,ab上可积，则()()xaxfxdx在,ab上必连续(D)若函数()fx在,ab上不连续，则()fx在该区间上必无原函数【答案】C()fx【解析】选项（A）错误，反例：1,01()2,12xfxx，在1,2可积，但它无原函数。选项（B）错误，反例：1()fxx在(0,1)上连续，但101dxx不存在。选项（D）错误，反例：112cossin,0()00xxfxxxx在0x处不连续，但其原函数可取21cos,0()00xxFxxx。所以，正确选项为（C）。（5）以下关于二元函数的连续性的说法正确的是()(A),fxy沿任意直线ykx在某点0x处连续,则,fxy在点00,xy连续(B),fxy在点00,xy处连续,则0,fxy在0y点连续,0,fxy在0x点连续(C),fxy在点00,xy处偏导数00,xfxy及00,yfxy存在,则,fxy在点00,xy处连续(D)以上说法都不对【答案】B【解析】由二元函数,fxy在点00,xy极限存在及在该点连续的定义知B正确.（6）设区域22(,)4,0,0Dxyxyxy，()fx为D上的正值连续函数，,ab为常数，则()()()()DafxbfyIdfxfy＝()(A)ab(B)2ab(C)ab(D)2ab【答案】D【解析】()()()()DafxbfyIdfxfy,D关于yx对称()()()()DafybfxIdfyfx两式相加得(()())(()())2()()()()DDafxfybfyfxIdabdabfxfy2abI（7）设mnA矩阵经过若干次初等行变换后得到B，现有4个结论正确的是：（）①A的行向量均可由B的行向量线性表示②A的列向量均可由B的列向量线性表示③B的行向量均可由A的行向量线性表示④B的列向量均可由A的列向量线性表示(A)①、②(B)③、④(C)②、③(D)①、③【答案】(D)【解析】由题设A经初等行变换得到B知，有初等矩阵12,,,sPPP使得21.sPPPAB记21sPPPP则ijmmPp是可逆矩阵，将,AB均按行向量分块有11121112121222111mmmmmmmppppppPABppp这表明1122(1,2,,)iiimmipppim，故B的行向量均可由A的行向量线性表出，因ijmmPp是可逆矩阵，所以两边同乘1P得11221mmP故故A的行向量均可由B的行向量线性表出。所以答案选(D)（8）已知110110,001A那么下列矩阵110300121110,020,252001000121中，与A合同的矩阵有（）()A3个()B2个()C1个()D0个【答案】A【解析】ABA与B有相同的正、负惯性指数.由22222123121232()TxAxxxxxxxxx知2,0.pq而22222123121231101102(),001Txxxxxxxxxx2221231213231212525424121Txxxxxxxxxxx22222112323232323222254xxxxxxxxxxxx2212322,xxxx221230002032,000Txxxx均为2,0.pq所以他们都与矩阵A合同二、填空题（本小题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）（9）2222lim14nnnnnnnn_______________。【答案】4【解析】22222111limlim141nnninnnnnnnnin=110201arctan|14dxxx（10）椭圆2244xy在点0,2处的曲率半径=_________________【答案】12【解析】由820xyy知4xyy，316yy。故0|0xy，0|2xy，故在点0,2处的曲率为322(0,2)21yKy所以0,2处的曲率半径为112K（11）计算211dxxx______________。【答案】1ln22【解析】2222211111111dxxxxdxdxxxxxxx2111lnln1lnln2221xx（12）设()fx连续，且21322()1xxftdtx，则(8)f______________。【答案】27(8)4f【解析】对21322()1xxftdtx两边求导有22(1)2(22)23fxxfxx令3x有276(8)2(8)27(8)4fff（13）微分方程2xyyye的通解为。【答案】21212xxxyCeCxexe【解析】与所给方程对应的齐次方程为20yyy它的特征方程2210rr，有两个实根1,21r，于是与所给方程对应的齐次方程的通解为12xxYCeCxe。由于1为特征方程的二重根，设*2xyAxe，代入方程求得12A，故所求的通解为21212xxxyCeCxexe，12,CC为任意常数。（14）设1234,,,aaaa均为n维列向量，若123,,aaa线性无关，41232aaaa，构成矩阵1234(,,,)Aaaaa，则齐次线性方程组0Ax的通解为_________________________.【答案】(2,1,11)Tk【解析】由题设知,123,,,aaa线性无关,1234,,,aaaa线性相关,所以向量组1234,,,aaaa的秩为3.注意到方程0Ax中未知量个数为4,故方程的基础解系由1个非零解向量组成.123421011aaaa，故2111是方程的一个非零解,所以也是0Ax的一个基础解系,从而0Ax的一个通解为(2,1,11)Tk,其中k是任意常数.。三、解答题（本题共9小题，满分94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（15）（本题满分10分）确定常数0a与b的值，使得2012lim1cosln1xbaxx.【解析】222001cos2ln112limlim1cosln11cosln1xxaxxaxxaxx（1分）222400221cos2ln11cos2ln12limlim12xxaxxaxxaxaxx（2分）2223232004sin1sin4111limlim221xxxaaxaxaxxxaxaxx（4分）223230001sin411sin4sinlimlimlim22xxxaxaxxaaxxaxaaxaxx（6分）22201cos41lim232xaaxax（7分）当2a时，220limcos440xaaxa，则220cos4lim3xaaxx极限是不存在的。（8分）只有当2a时，极限220cos4lim3xaaxx存在，23200cos4sin8limlim363xxaaxaaxxx（9分）2181122326b（10分）（16）（本题满分12分）设函数()fx连续，且0()sinlimxfxxax（a为常数），又10()()Fxfxydy，求()Fx并讨论()Fx的连续性。（12分）【解析】由0()sinlim(0)0xfxxafx，所以010()()00xxftdtFxxx3分当0x时，02()()()xxfxftdtFxx4分当0x时，020000()()(0)()(0)limlimlim21()sinsin1lim(1)22xxxxxftdtFxFfxFxxxfxxxax7分易知0x是()Fx的分段点，先讨论()Fx在0x的连续性。由于00220000()()()()limlimlim()sinsin1lim(1)21(1)(0)2xxxxxxxfxftdtftdtfxxxxfxxxaxaF10分所以()