同角三角函数的基本关系式及诱导公式-经典课件(最新)

高中数学课件同角三角函数的基本关系式及诱导公式课件高中数学课件1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，sinxcosx＝tanx.2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．【最新考纲】高中数学课件知识要点梳理高中数学课件1．同角三角函数的基本关系式(1)由三角函数的定义，同角三角函数间有以下两个等式：①_______________________________________；②_____________________________________________.(2)同角三角函数基本关系式的基本用途：①根据一个角的某一三角函数值，求出该角的其他三角函数值；②化简同角的三角函数式；③证明同角的三角恒等式．2．三角函数的诱导公式(1)诱导公式的内容：高中数学课件函数xsinxcosxtanx－α－sinαcosα－tanαπ2±α∓cotα※π±α3π2±α∓cotα※2π±α高中数学课件(2)诱导公式的规律：三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则正、余弦互变，正、余切互变；若是偶数倍，则函数名称________．“符号看象限”是把α当成________时，原三角函数式中的角如π2＋α所在________原三角函数值的符号．注意：把α当成锐角是指α不一定是锐角，如sin(360°＋120°)＝sin120°，sin(270°＋120°)＝－cos120°，此时把120°当成了锐角来处理．“原三角函数”是指等号左边的函数．高中数学课件(3)诱导公式的作用：诱导公式可以将任意角的三角函数转化为________三角函数，因此常用于化简和求值，其一般步骤是：高中数学课件3．sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三者之间的关系(sinα＋cosα)2＝________；(sinα－cosα)2＝________；(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝________；(sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝________．高中数学课件答案1．(1)①sin2α＋cos2α＝1②sinαcosα＝tanα2．(1)函数xsinxcosxtanx－α－sinαcosα－tanαπ2±αcosα∓sinα∓cotα※高中数学课件π±α∓sinα－cosα±tanα3π2±α－cosα±sinα∓cotα※2π±α±sinαcosα±tanα(2)不变锐角象限(3)锐角3．1＋sin2α1－sin2α22sin2α高中数学课件挖教材赢高考高中数学课件1．(教材改编)已知cosα＝1213，且α是第四象限角，则sinα的值为________．解析：由于α是第四象限角，故sinα＝－1－cos2α＝－513.答案：－513高中数学课件2．(教材改编)已知sinα－2cosα3sinα＋5cosα＝－5，那么tanα的值为________．解析：由sinα－2cosα3sinα＋5cosα＝－5，知cosα≠0，分子分母同时除以cosα可得，tanα－23tanα＋5＝－5，故tanα＝－2316.答案：－2316高中数学课件3．(教材改编)已知cosα＝－35，则sinπ2＋α等于________．解析：sinπ2＋α＝cosα＝－35.答案：－35高中数学课件4．(教材改编)sin(－1200°)·cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＝________．解析：原式＝－sin(120°＋3×360°)·cos(210°＋3×360°)＋cos(300°＋2×360°)·[－sin(330°＋2×360°)]＝－sin120°·cos210°－cos300°·sin330°＝－sin(180°－60°)·cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin60°·cos30°＋cos60°·sin30°＝32×32＋12×12＝1.答案：1高中数学课件5．基本关系式的误区：公式形式；角的范围．下列说法正确的是________．①若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1；②若α∈R，则tanα＝sinαcosα恒成立；③sin2α＋cos2α＝sin2θ＋cos2θ.高中数学课件解析：①若α，β为锐角，则只有当α＝β时，才有sin2α＋cos2β＝1；②因为cosα≠0，所以α≠π2＋kπ，k∈Z.③根据平方关系式，可得③正确．答案：③高中数学课件6．诱导公式的应用中常见的两种错误：符号；函数名．(1)若sin(3π＋θ)＝13，则sinθ＝________．(2)若cosπ2＋α＝m，则sinα＝________．解析：(1)先用诱导公式一，得sin(3π＋θ)＝sin(2π＋π＋θ)＝sin(π＋θ)，再应用公式二，得sin(π＋θ)＝－sinθ，故sinθ＝－13.(2)因为cosπ2＋α＝－sinα，所以sinα＝－m.答案：(1)－13(2)－m高中数学课件7．有关结论(1)11＋tan2α＝________．(2)1－sin2α＝________．解析：(1)由sin2α＋cos2α＝1和sinαcosα＝tanα，得tan2αcos2α＋cos2α＝1，故11＋tan2α＝cos2α.(2)因为1－sin2α＝sin2α＋cos2α－2sinαcosα＝(sinα－cosα)2，故1－sin2α＝|sinα－cosα|.答案：(1)cos2α(2)|sinα－cosα|高中数学课件8．诱导公式的应用原则：负化正，大化小，化到锐角为终了．sin(－2010°)＝________．解析：sin(－2010°)＝－sin2010°＝－sin(5×360°＋210°)＝－sin210°＝－sin(180°＋30°)＝sin30°＝12.答案：12高中数学课件高频考点透析高中数学课件高频考点1利用同角三角函数的基本关系式进行化简和求值【例1.1】(1)已知sinα＝13，且α为第二象限角，求tanα；(2)已知sinα＝13，求tanα；(3)已知sinα＝m(m≠0，m≠±1)，求tanα.【解】(1)∵sinα＝13，且α是第二象限角，∴cosα＝－1－sin2α＝－1－132＝－223.∴tanα＝sinαcosα＝－24.高中数学课件(2)∵sinα＝13，∴α是第一或第二象限角．当α是第一象限角时，cosα＝1－sin2α＝1－132＝223，∴tanα＝sinαcosα＝24；当α是第二象限角时，tanα＝－24.高中数学课件(3)∵sinα＝m(m≠0，m≠±1)，∴cosα＝±1－sin2α＝±1－m2(当α为第一、四象限角时取正号，当α为第二、三象限角时取负号)．∴当α为第一、四象限角时，tanα＝m1－m2；当α为第二、三象限角时，tanα＝－m1－m2.高中数学课件【反思·升华】已知一个角的某一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值，这类问题用同角三角函数的基本关系式求解，一般分为两种情况：(1)一个角的某一个三角函数值和这个角所在的象限或终边所在的位置都是已知的，此类情况只有一组解．(2)一个角的某一个三角函数值是已知的，但这个角所在的象限或终边所在的位置没有给出，解答这类问题，首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限或终边所在的位置，然后分不同的情况求解．高中数学课件[强化训练1.1](1)(2017年高考·课标全国卷Ⅲ)已知sinα－cosα＝43，则sin2α＝()A．－79B．－29C.29D.79(2)已知－π2α0，sinα＋cosα＝15，则1cos2α－sin2α的值为()A.75B.725C.257D.2425高中数学课件解析：(1)∵sinα－cosα＝43，∴(sinα－cosα)2＝sin2α＋cos2α－2sinαcosα＝1－sin2α＝169，∴sin2α＝－79.故选A(2)解法1：联立sinα＋cosα＝15，①sin2α＋cos2α＝1，②由①得，sinα＝15－cosα，将其代入②，整理得25cos2α－5cosα－12＝0.高中数学课件因为－π2α0，所以sinα＝－35，cosα＝45，于是1cos2α－sin2α＝1452－－352＝257.解法2：因为sinα＋cosα＝15，所以(sinα＋cosα)2＝152，可得2sinαcosα＝－2425.而(cosα－sinα)2＝sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝1＋2425＝4925，高中数学课件又－π2α0，所以sinα0，cosα0，所以cosα－sinα＝75.于是1cos2α－sin2α＝1（cosα＋sinα）（sinα－sinα）＝257.答案：(1)A(2)C高中数学课件高频考点2关于sinα，cosα的齐次式问题【例2.1】已知tanαtanα－1＝－1，求下列各式的值．(1)sinα－3cosαsinα＋cosα；(2)sin2α＋sinαcosα＋2.【解】由已知得tanα＝12.(1)sinα－3cosαsinα＋cosα＝tanα－3tanα＋1＝－53.(2)sin2α＋sinαcosα＋2＝sin2α＋sinαcosαsin2α＋cos2α＋2高中数学课件＝tan2α＋tanαtan2α＋1＋2＝122＋12122＋1＋2＝135.【反思·升华】(1)形如asinα＋bcosα和asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的式子分别称为关于sinα，cosα的一次齐次式和二次齐次式，对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以cosα或cos2α)求解．如果分母为1，可考虑将1写成sin2α＋cos2α.(2)已知tanα＝m的条件下，求解关于sinα，cosα的齐次式问题，必须注意以下几点：①一定是关于sinα，cosα的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式．②因为cosα≠0，所以可以用cosnα(n∈N*)除之，这样可以将被求式化为关于tanα的表示式，可整体代入tanα＝m的值，从而完成被求式的求值运算．③注意1＝sin2α＋cos2α的运用．注意sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα三者之间的内在联系，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα进行和积转换，可知一求二．高中数学课件[强化训练2.1](1)(2019年宁夏平罗一模)若4sinα－3cosα＝0，则1cos2α＋2sin2α的值为()A.2516B．1C.2548D.2564(2)(2019年湖南衡阳二模)已知θ∈－π2，π2且sinθ＋cosθ＝a，其中a∈(0，1)，则tanθ的可能取值是()A．－3B．3或13C．－13D．－3或－13高中数学课件解析：(1)∵4sinα－3cosα＝0，∴tanα＝sinαcosα＝34，则1cos2α＋2sin2α＝sin2α＋cos2αcos2α＋4sinαcosα＝tan2α＋11＋4tanα＝2564.故选D.(2)sinθ＋cosθ＝a，两边平方可得2sinθ·cosθ＝a2－1，由a∈(0，1)得sinθ·cosθ0，又∵θ∈－π2，π2，∴cosθ0，∴sinθ0，θ∈－π2，0，高中数学课件又由sinθ＋cosθ＝a0知|sinθ||cosθ|，∴θ∈－π4，0，从而tanθ∈(－1，0)．故选C.答案：(1)D(2)C高中数学课件高频考点3三角函数的诱导公式【例3.1】(1)若sinπ3＋α＝13