2016年专项练习题集-圆锥曲线中的探所性问题

2016年专项练习题集-圆锥曲线中的探所性问题选择题1、已知椭圆E的中心在原点，一个焦点为F（2，0），定点A（﹣2，1）在E的内部，若椭圆E上存在一点P使得|PA|+|PF|=7，则椭圆E的方程可以是（）A．+=1B．+=1C．+=1D．22195xy【分值】5【答案】D【考查方向】本题考查椭圆的简单性质，利用三角形的性质是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．【易错点】不能结合椭圆定义和三角形边的关系确定a的范围。【解题思路】通过记椭圆的左焦点为F1（﹣2，0），则|AF1|=1，利用|PF1|≤|PA|+|AF1|可知a≤4；利用|PF1|≥|PA|﹣|AF1|可知a≥3，进而可得结论．【解析】记椭圆的左焦点为F1（﹣2，0），则|AF1|=1，∵|PF1|≤|PA|+|AF1|，∴2a=|PF1|+|PF|≤|PA|+|AF1|+|PF|≤1+7=8，即a≤4；∵|PF1|≥|PA|﹣|AF1|，∴2a=|PF1|+|PF|≥|PA|﹣|AF1|+|PF|≥7﹣1=6，即a≥3，∴9≤a2≤16，故选：D．2、椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点为12FF、，焦距为2c，若椭圆上存在点P满足3OPc,O坐标原点，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．[，]B．（0，]C．[，1）D．[，]【分值】5【答案】A【考查方向】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【易错点】找不到与a、b、c有关的不等式。【解题思路】设P（x0，y0），3OPc化为．又，可得=，利用，利用离心率计算公式即可得出．【解析】设P（x0，y0），3OPc，22003xyc．又，∴=，∵，∴，∵b2=a2﹣c2，∴，∴．故选：A．3、能够把椭圆2212xy的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函数”，下列函数不是椭圆的“可分函数”为（）A．f（x）=1xB．f（x）=sinxC．f（x）=1xxD．f（x）=22xx【分值】5【答案】D【考查方向】本题考查椭圆的简单性质、函数的奇偶性、单调性，考查学生对新问题的分析理解能力及解决能力，属中档题．【易错点】不能将“可分函数”转化为关于原点对称的函数，即奇函数。【解题思路】关于原点对称的函数都可以等分椭圆面积，验证哪个函数不是奇函数即可．【解析】∵f（x）=1x是奇函数，∴f（x）=1x的图象关于原点对称，∴f（x）=1x是椭圆的“可分函数”；同理∵f（x）=sinx、f（x）=1xx是奇函数，∴f（x）=sinx、f（x）=1xx的图象关于原点对称，∴f（x）=sinx、f（x）=1xx也是椭圆的“可分函数”；∵f（x）=22xx不是奇函数，∴f（x）=22xx的图象关于原点不对称，∴f（x）=22xx不是椭圆的“可分函数”．故选：D．4、已知抛物线C：y2=px（p＞0），直线l与抛物线C交于A，B两点（不同于原点），若OAOB，Ｏ坐标原点，则关于直线l的判断正确的是（）A．过定点（4p，0）B．过定点（2p，0）C．过定点（p，0）D．过抛物线焦点【分值】5【答案】Ｃ【考查方向】本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查抛物线的方程的运用，注意联立方程，运用韦达定理，结合向量垂直的条件，属于中档题．【易错点】不能正确的选择直线方程形式去设。【解题思路】设直线l：x=my+b，A（x1，y1），B（x2，y2），代入抛物线方程，运用韦达定理，OAOB，求出b，即可得出结论．【解析】设直线l：x=my+b，A（x1，y1），B（x2，y2），代入抛物线方程y2=px，可得y2﹣pmy﹣pb=0，∴y1y2=﹣pb，∴x1x2=2122()yyp=b2，∵OAOB，∴x1x2+y1y2=0，∴b2﹣pb=0，∴b=p∴直线l过定点（p，0）．故选：Ｃ５、P为椭圆+=1（a＞b＞0）上异于左右顶点A1，A2的任意一点，则直线PA1与PA2的斜率之积为定值﹣，将这个结论类比到双曲线，得出的结论为：P为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上异于左右顶点A1，A2的任意一点，则（）A．直线PA1与PA2的斜率之和为定值B．直线PA1与PA2的斜率之积为定值C．直线PA1与PA2的斜率之和为定值D．直线PA1与PA2的斜率之积为定值【分值】5【答案】D【考查方向】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，训练了类比推理思想方法，是中档题．【易错点】容易忽视p点在双曲线上，它的横纵坐标之间满足关系【解题思路】由已知椭圆的性质类比可得直线PA1与PA2的斜率之积为定值．然后加以证明即可．【解析】设P（x0，y0）为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上异于左右顶点A1，A2的任意一点，则A1（﹣a，0），A2（a，0），∴=，又P（x0，y0）在双曲线﹣=1上，∴，∴=，∴直线PA1与PA2的斜率之积为定值．故选：D．填空题6、已知直线y=11x与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，若椭圆上存在点P，使得△ABP是等边三角形，则椭圆C的离心率e=．【分值】3【答案】【考查方向】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的对称性和等边三角形的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．【易错点】忽视直线OP与直线AB垂直。【解题思路】联立直线y=x和椭圆方程，求得A，B的坐标，以及|OA|2，将直线OP方程为，代入椭圆方程，求得P的坐标及|OP|2，再由|OP|2=3|OA|2，结合离心率公式，可得e．【解析】因为，所以；由题设直线OP方程为，所以，所以，所以．故答案为：．7、以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A，B为两个定点，k为正常数，||+||=k（kAB），则动点P的轨迹为椭圆；②双曲线﹣=1与椭圆x2+=1有相同的焦点；③方程x2﹣3x+2=0的两根可分别作为抛物线和双曲线的离心率；④已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A，B满足=3，则弦AB的中点P到准线的距离为3．其中真命题的序号为．【分值】3【答案】①③【易错点】这种组合题需要逐个判断，错一个就容易使整个题错。【考查方向】本题考查命题的真假判断与应用，考查了圆锥曲线的定义、方程及简单性质，属中档题．【解题思路】由题意定义判断①；由圆锥曲线的标准方程判断焦点所在坐标轴判断②；求解方程判断③；利用直线与抛物线的位置关系判断④．【解析】对于①，当k|AB|时，动点P的轨迹为线段AB，故①正确；对于②，双曲线﹣=1的焦点在x轴上，而椭圆x2+=1的焦点在y轴上，故②错误；对于③，求解方程x2﹣3x+2=0，得１ｘ＝１，x2=2，∴方程x2﹣3x+2=0的两根可分别作为抛物线和双曲线的离心率，故③正确；对于④，如图：设BF=m，由抛物线的定义知，AA1=3m，BB1=m，∴△ABC中，AC=2m，AB=4m，，直线AB方程为y=（x﹣1），与抛物线方程联立消y得3x2﹣10x+3=0，AB中点到准线距离为，故④错误．故答案为：①③．8、已知平面上两点M（﹣5，0）和N（5，0），若直线上存在点P使|PM|﹣|PN|=6，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中：①y=x+1②y=2③y=4x④y=2x+1是“单曲型直线”的是．【分值】3【答案】①②③【考查方向】本题考查“单曲型直线”的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线定义的合理运用．【易错点】不能将条件转化为双曲线与直线是否有交点。【解题思路】由已知点P在以M、N为焦点的双曲线的右支上，即，（x＞0）．分别与①②③④中的直线联立方程组，根据方程组的解的性质判断该直线是否为“单曲型直线”．解析：∵|PM|﹣|PN|=6∴点P在以M、N为焦点的双曲线的右支上，即，（x＞0）．对于①，联立，消y得7x2﹣18x﹣153=0，∵△=（﹣18）2﹣4×7×（﹣153）＞0，∴y=x+1是“单曲型直线”．对于②，联立，消y得x2=454，∴y=2是“单曲型直线”．对于③，联立，整理得222163247x，成立．∴4xy是“单曲型直线”．对于④，联立，消y得20x2+36x+153=0，∵△=362﹣4×20×153＜0∴y=2x+1不是“单曲型直线”．故符合题意的有①②③．故答案为：①②③．综合题2个9、已知椭圆C２２２２ｘｙ＋＝１（ａ＞ｂ＞０）ａｂ经过点M３（１，），Ｎ（２，０）２，过点P（2，1）的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）求椭圆C的方程；【分值】5【答案】【考查方向】本题主要考查椭圆的基本性质和直线与椭圆的综合题．直线与圆锥曲线的综合题是高考的重点题型，要着重复习．【易错点】容易将椭圆方程设为标准式，加大计算量。【解题思路】设一般方程２２ｍｘ＋ｎｙ＝１，带入点坐标解m、n。【解析】（Ⅰ）设方程２２ｍｘ＋ｎｙ＝１，因为过点M３（１，），Ｎ（２，０）２，所以得９ｍ＋ｎ＝１，４ｍ＝１４，解得：１１ｍ＝，ｎ＝４３，所以方程为（Ⅱ）是否存直线l，满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【分值】7【答案】【考查方向】本题主要考查椭圆的基本性质和直线与椭圆的综合题．直线与圆锥曲线的综合题是高考的重点题型，要着重复习．【易错点】忽视判别式大于0，而将k的范围扩大，产生增解。【解题思路】假设存在直线满足条件，设直线方程为y=k（x﹣2）+1，然后与椭圆方程联立消去y得到一元二次方程，且方程一定有两根，故应△大于0得到k的范围，进而可得到两根之和、两根之积的表达式，再表示出、、，再代入关系式可确定k的值，从而得解．【解析】（Ⅱ）若存在直线l满足条件，由题意可设直线l的方程为y=k（x﹣2）+1，由得（3+4k2）x2﹣8k（2k﹣1）x+16k2﹣16k﹣8=0．因为直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），所以△=[﹣8k（2k﹣1）]2﹣4•（3+4k2）•（16k2﹣16k﹣8）＞0．整理得32（6k+3）＞0．解得．又，，且，即，所以．即．所以，解得．所以．于是存在直线l满足条件，其的方程为．10、椭圆C:22221(0)xyabab,它的一个焦点为(23,0)，一个顶点恰好在抛物线x2=8y的准线上．（1）求椭圆C的标准方程；【分值】5【答案】【考查方向】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式、直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题．易错点：不能由∠APQ=∠BPQ，推理出PA，PB的斜率互为相互数。【解题思路】由椭圆的一个顶点恰好在抛物线28xy的准线y=-2上，可得-b=-2，解得b．又23c联立解得即可．【解析】∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x2=8y的准线y=﹣2上，∴﹣b=﹣2，解得b=2．又23c，a2=b2+c2，∴a=4，，可得椭圆C的标准方程为．（2）点P（2，），Q（2，﹣）在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．当A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．【分值】5【答案】【考查方向】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式、直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题．【易错点】不能由∠APQ=∠BPQ，推理出PA，PB的斜率互为相互数。【解题思路】设A（x1，y1），B（x2，y2），由∠APQ=∠BPQ，则PA，PB的斜率互为相互数，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为-k，直线PA的方程为：y−23=k（x-2），与椭圆的方程联立利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出．【解析】设A（x1，y1），B（x2，y2），∵∠APQ=∠BPQ，则PA，PB的斜率互为相互数，可设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，直线PA的方程为：=k（x﹣2），联立，化为+4﹣16=0，∴x1+2=，同理可得：x2+2==，∴x1+x2=，x1﹣x2=，kAB===．∴直线AB的斜率为定值．