2016年专项练习题集-反证法

2016年专项练习题集-反证法1、用反证法推出矛盾的过程中，下列可以作为条件使用的个数（）①原命题的条件；②与结论相反的判断；③原结论；④公理、定理、定义等A.4个B.3个C.2个D.1个【分值】5【答案】B【考查方向】本题主要考查了反证法的含义及原理。【易错点】可能会忽略了②。【解题思路】根据反证法的原理判别。【解析】根据反证法的原理易知.①②④可以作为条件使用，故选B2、如果在用反证法证明“数列{}na的各项均为正数”时，那么下列假设正确的是（）A.假设数列{}na的各项均小于0B.假设数列{}na的各项均小于等于0C.假设数列{}na中存在某一项小于0D.假设数列{}na中存在某一项小于等于0【分值】5【答案】D【考查方向】本题主要考查了反证法假设，及语句的否定。【易错点】全称量词的否定。【解题思路】明确反证法的假设，对全称量词命题的否定。【解析】反设时“均”的否定是“存在”.，正数的否定是小于等于0，故选D3、,,(,0)abc，且互不相等，那么111,,abcbca三个数中（）A.至少有一个不小于2B.最多有一个不小于2C.最多有两个不小于2D.都不小于2【分值】5【答案】C【考查方向】本题主要考查了反证法的应用，均值不等式。【易错点】对“至少、最多、不小于”短语的理解和把握。【解题思路】首先对三个数相加，再用反证法思维判别选项的正误。【解析】,,(,0)abc，则1112,2,2abcabc1116abcbca,,abc互不相等，1116abcbca所以111,,abcbca三个数不可能同时大于等于（不小于）2，否则1116abcbca所以最多有两个不小于2，故选C4、已知两个矩形形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点，如图所示，那么直线ME与BN的位置关系是（）A.相交B.平行C.异面D.相交或异面【分值】5【答案】C【考查方向】本题主要考查了空间直线的位置关系判断和反证法思想的应用。【易错点】由于两个矩形的还有一条边长不确定，在变化过程中认为有可能相交，会选择D。【解题思路】先排除B，再假设它们相交，得出矛盾。【解析】假设直线ME与BN相交则AB平面MBEN，那么直线AB与EN共面由已知，两矩形不共面，故AB平面DCEF。又AB//CD，CD//EF,则AB//EF，所以AB和EN只能相交，设交点为P那么,PENENCDEF平面，则PCDEF平面那么,PABABABCD平面，则PABCD平面因此PCD，即P是直线AB和CD的公共点这和AB//CD矛盾，所以假设不成立，即直线ME与BN不相交，所以ME与BN只能异面，故选C5、已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴，离心率为52，且双曲线上动点P到点A（2，0）的最近距离为1，满足条件的双曲线的焦点位置（）A.不可能在y轴上B.不可能在x轴上C.可能在x轴上也有可能在y轴上D.可能在y轴上【分值】5【答案】A【考查方向】本题主要考查了双曲线的基本性质，同时综合考查了用反证法的思想的应用。【易错点】没有利用点A到渐近线的距离大小。【解题思路】利用离心率得到,,abc的关系，假设焦点位置，求出渐近线，通过考察点A到渐近线的距离大小进行判断。【解析】.设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则由ca52，得22254aba，所以，12ba．假设存在满足条件且焦点在y轴上的双曲线，则其渐近线方程为2yx．点A（2，0）到渐近线的距离为415d．所以双曲线上动点到点A的距离都超过1．所以，不存在满足条件且焦点在y轴上的双曲线，故选A6、命题：已知数列{}na满足：1a，1243nnaan，其中为实数，n为正整数，则对任意实数，数列{}na不是等比数列。判断命题的真假_________（填真命题或假命题）【分值】3【答案】真命题【考查方向】本题主要考查了反证法应用，及全称量词的否定形式。【易错点】没有反设结论。【解题思路】假设原命题不成立，举一反例，说明假设不成立。【解析】假设存在一个实数，使{}na是等比数列，则有2213aaa，即224(3)(4)39，得224449499，即90矛盾，所以{}na不是等比数列，因此原命题为真命题。7、若x、y、z均为实数，且2π22axy，2π23byz，2π26czx，则a、b、c中_________________大于零。【分值】3【答案】至少有一个【考查方向】本题主要考查了反证法应用，同时考察了观察能力与分析能力。【易错点】没有将a、b、c相加。【解题思路】先将a、b、c相加，配方后发现大于0，在利用反证法的思想容易得出答案。【解析】2π22abcxy2π23yz2π26zx222(1)(1)(1)30xyz所以a、b、c中至少有一个大于0假设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则0abc这与0abc矛盾。8、如图，在锐角的二面角l中，Ol，,AB，且AOB为直角，''AOB是AOB在内的射影，则下列正确的序号是_________①''AOB为直角；②''AOBAOB；③'AOBBOB；④''BOBBOAAOA【分值】3【答案】②③【考查方向】本题主要综合考查了线线角，线面角和面面角之间的关系，同时考察了判别能力与分析能力。【易错点】没有作出二面角l的平面角，不熟悉直线与平面所成的角是直线与平面内所有直线所成角中最小的。【解题思路】本题主要比较两种角的大小，第一判别'AOlAOl的大小，第二判别'AOlAOA的大小。【解析】'BCl于C，连BC因为'BB,则BCl，那么'BCB就是二面角l的平面角且为锐角，在'RTBCB中，'90BBC，所以'BCBC在,'RTBCORTBCO中，有公共直角边CO所以'BOCBOC,同理'AODAOD又AOB为直角，所以''90AOBAOB'A'BlOBB'C所以①错误，②正确','AOABOB是直线,OAOB与平面所成的角，所以','AOAAOlBOBBOl假设④正确，即''BOBBOAAOA那么''AOlAOBBOlAOAAOBBOB这和AOlAOBBOl矛盾那么''BOBBOAAOA,这样③必定正确。9、已知二次函数2()(0)fxaxbxca，[1,1]x且|()|1fx，试问是否存在实数,,abc，使得|(2)|8f。【分值】12【答案】答案见解析【考查方向】本题主要考查了反证法的应用，绝对值不等式性质的综合应用。【易错点】没有抓住三个特殊的函数值反解,,abc。【解题思路】先假设结论不正确，根据(0)f，(1)f，(1)f三个函数值表示,,abc，再代入|(2)|f，利用绝对值不等式得出矛盾。【解析】假设存在实数,,abc，使得|()|1fx，同时|(2)|8f，(0)fc，(1)fabc，(1)fabc由题意，|(0)|1,|(1)|1,|(1)|1fff，所以|(2)||42||3(1)(1)3(0)|3|(1)||(1)|3|(0)|7.fabcffffff这与|(2)|8f矛盾。所以不存在实数,,abc，使得|(2)|8f。10、已知}{na是各项为正数的等比数列，nS是其前n项和。证明：不存在实数0c，使{lg()}nSc是等差数列。【分值】12【答案】答案见解析【考查方向】本题主要考查了反证法的应用，绝对值不等式性质的综合应用。【易错点】没有抓住三个特殊的函数值反解,,abc。【解题思路】先假设结论不正确，根据(0)f，(1)f，(1)f三个函数值表示,,abc，再代入|(2)|f，利用绝对值不等式得出矛盾。【解析】假设存在常数存在实数0c，使{lg()}nSc是等差数列，即21lg()lg()2lg()nnnScScSc，则有122210,0,0(1)()()()(2)nnnnnnScScScScScSc由（2）式得22121(2)(3)nnnnnnSSScSSS①1q时，,1naSn.0)1()2(2121211212aanannaSSSnnn②1q时，1(1)1nnaqSq，.0)1()1()1()1)(1(212211221212nnnnnnnqaqqaqqqaSSS由①和②得212nnnSSS，即（3）式左端小于0又根据平均值不等式知21212()()2()nnnnnnSSSScScSc212()()2()0.nnnScScSc因为0c，故（3）式右端非负，这样得出矛盾，所以假设不成立。故不存在实数0c，使{lg()}nSc是等差数列。