2018-2019学年九年级数学上册 第二十四章 圆 24.4 弧长及扇形的面积（第1课时）知能综合

124.4弧长和扇形面积第1课时弧长和扇形面积知能演练提升能力提升1.如果一个扇形的弧长等于它的半径,那么此扇形称为“等边扇形”,则半径为2的“等边扇形”的面积为()A.πB.1C.2D.π2.如图,在正方形ABCD中,分别以B,D为圆心,以正方形的边长a为半径画弧,形成树叶形(阴影部分)图案,则树叶形图案的周长为()A.πaB.2πaC.πaD.3a3.如图,四边形OABC为菱形,点A,B在以O为圆心的弧上,若OA=2,∠1=∠2,则扇形ODE的面积为()A.πB.πC.2πD.3π4.如图,水平地面上有一面积为30πcm2的扇形OAB,半径OA=6cm,且OA与地面垂直.在没有滑动的情况下,将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止,则点O移动的距离为()A.20cmB.24cmC.10πcmD.30πcm25.某花园内有一块五边形的空地如图所示,为了美化环境,现计划在以五边形各顶点为圆心,2m长为半径的扇形区域(阴影部分)内种上花草,那么种上花草的扇形区域总面积是()A.6πm2B.5πm2C.4πm2D.3πm26.如图,△ABC是正三角形,曲线CDE……叫做“正三角形的渐开线”,其中⏜⏜⏜…的圆心依次按A,B,C循环,它们依次相连接,若AB=1,则曲线CDEF的长是.7.图中的粗线CD表示某条公路的一段,其中⏜是一段圆弧,AC,BD是线段,且AC,BD分别与圆弧⏜相切于点A,B,线段AB=180m,∠ABD=0°.(1)画出圆弧⏜的圆心O;(2)求A到B这段弧形公路的长.8.3如图,等腰直角三角形ABC的斜边AB=4,O是AB的中点,以O为圆心的半圆分别与两直角边相切于点D,E,求图中阴影部分的面积.★9.如图,AB为☉O的直径,CD⊥AB,OF⊥AC,垂足分别为E,F.(1)请写出三条与BC有关的正确结论;(2)当∠D=0°,BC=1时,求圆中阴影部分的面积.4创新应用★10.图①是某学校存放学生自行车的车棚的示意图(尺寸如图),车棚顶部是圆柱侧面的一部分,其展开图是矩形.图②是车棚顶部截面的示意图,⏜所在圆的圆心为O.车棚顶部是用一种帆布覆盖的,求覆盖棚顶的帆布的面积.(不考虑接缝等因素,计算结果保留π)参考答案能力提升1.C使用扇形的面积公式S=lR可求出其面积,即S=×2×2=2.2.A由题意得,树叶形图案的周长为两条圆心角为90°的弧长之和,所以其周长为l=90π0=πa.3.A连接OB.因为OA=OB=OC=AB=BC,所以∠AOB+∠BOC=0°.又因为∠1=∠2,所以∠DOE=0°.所以扇形ODE的面积为0π0π.4.C点O移动的距离即扇形OAB所对应的弧长,先运用扇形的面积公式S扇形=π0求出扇形的圆心角n=00°,再由弧长公式l=π0,得l=10πcm.5.A6.4π关键是确定圆心角和半径.因为△ABC是边长为1的正三角形,所以⏜⏜⏜的圆心角都为0°,对应的半径分别为1,2,3.5因此⏜π⏜π⏜π=2π.所以曲线CDEF的长是ππ+2π=4π.7.解(1)如图,过点A作AO⊥AC,过点B作BO⊥BD,AO与BO相交于点O,O即为圆心.(2)因为AO,BO都是圆弧⏜的半径,O是其所在圆的圆心,所以∠OBA=∠OAB=0°-90°=0°.所以△AOB为等边三角形,即AO=BO=AB=180m.所以⏜0π00=60π(m),即A到B这段弧形公路的长为60πm.8.解(方法1)由题意知,2AC2=AB2=42,∴AC=2√.连接OC,OE(如图①),则OC=OB,OC⊥OB,OE⊥BC.∴OE=BE=EC=AC=√.∵∠B=°,∴∠EOB=°.∴S阴影=2(S△OBE-S扇形OEF)=2-π.(方法2)如图②,由对称性知,S阴影=(S正方形-S☉O),由方法1知AC=BC=2√,圆的半径为√,6∴S阴影=[(2√)2-π(√)2]=2-π.9.解(1)答案不唯一,只要合理均可.例如:①BC=BD;②OF∥BC;③∠BCD=∠A;④BC2=CE2+BE2;⑤△ABC是直角三角形;⑥△BCD是等腰三角形.(2)连接OC,则OC=OA=OB.∵∠D=0°,∴∠A=∠D=0°.∴∠AOC=0°.∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.在Rt△ABC中,BC=1,∴AB=2,AC=√.∵OF⊥AC,∴AF=CF.∵OA=OB,∴OF是△ABC的中位线.∴OF=BC=.∴S△AOC=ACOF=√√,S扇形AOC=π×OA2=π.∴S阴影=S扇形AOC-S△AOC=π√.创新应用10.分析车棚的顶棚的展开图是矩形,顶棚的横截面是弓形,求出弓形的弧长,即得到了展开图的宽.解连接OB,过点O作OE⊥AB,垂足为E,并延长交⏜于F,如图.由垂径定理,知E是AB的中点,F是⏜的中点,从而EF是弓形的高.故AE=AB=2√m,EF=2m.设半径为Rm,则OE=(R-2)m.在Rt△AOE中,由勾股定理,得R2=(R-2)2+(2√)2.解得R=4(m).7在Rt△AEO中,AO=2OE,故∠OAE=0°,∠AOE=0°,∠AOB=0°.所以⏜的长为0π0π(m).即帆布的面积为π×60=160π(m2).