2018-2019学年九年级数学上册 第四章 图形的相似 4.5 相似三角形判定定理的证明作业设计

1EvaluationWarning:ThedocumentwascreatedwithSpire.Docfor.NET.*4.5相似三角形判定定理的证明一、选择题（本题包括6个小题.每小题只有1个选项符合题意）1.下列命题中是真命题的是()A.有一个角相等的直角三角形都相似B.有一个角相等的等腰三角形都相似C.有一个角是120°的等腰三角形都相似D.两边成比例且有一角相等的三角形都相似2.如图，在△ABC中，如果DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ACB的是()A.∠ADE＝∠CB.∠AED＝∠BC.D.3.如图，若点A，B，C，P，Q，甲，乙，丙，丁都是方格纸的格点，为使△ABC∽△PQR，则点R应是甲，乙，丙，丁4点中的()A.甲点B.乙点C.丙点D.丁点4.如图，已知∠1＝∠2＝∠3，则下列表达式正确的是()A.B.C.D.5.如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，CD边上的点，连接BE，AF，它们相交于点O，延长BE交CD的延长线于点H，则图中相似三角形共有()2A.2对B.3对C.4对D.5对6.如图，在直角三角形ABC中(∠C＝90°)，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（）A．5B．6C．7D．12二、填空题（本题包括4个小题）7.如图，P是正方形ABCD的边BC上一点，且BP＝3PC，Q是DC的中点，则AQ∶QP等于________．8.如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，点E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF与△CDE相似，则BF的长是________．9.如图，正方形ABCD边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的端点M，N分别在CD，AD上滑动，当DM＝______________时，△ABE与以D，M，N为顶点的三角形相似．310.在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且AD2＝BD·DC，则∠BCA的度数为______________．三、解答题（本题包括5个小题）11.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F.(1)求证：△ACB∽△DCE；(2)求证：EF⊥AB.12.如图，在△ABC和△ADE中，，点B，D，E在一条直线上．求证：△ABD∽△ACE.13.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，点E为AB的中点．(1)求证：AC2＝AB·AD；(2)求证：CE∥AD；(3)若AD＝4，AB＝6，求的值．414.在△ABC中，点P是AB上的动点(P异于点A，B)，过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A＝36°，AB＝AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有________条．15.如图，正方形ABCD的边长为1，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于点F，连接DF，过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q.(1)求线段PQ的长；(2)点P在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．5答案1.【答案】C【解析】A.有一个角（直角除外）相等的直角三角形都相似，故原命题错误；B.顶角相等的等腰三角形都相似，故原命题错误；C.有一个角是120°的等腰三角形都相似，正确；D.两边成比例且夹角相等的三角形都相似，故原命题错误.故选C．2.【答案】C【解析】∵∠DAE=∠CAB，∴当∠AED=∠B或∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED；当时，△ABC∽△AED．故选D．考点：相似三角形的判定．3.【答案】C【解析】∵△RPQ∽△ABC，∴，即，∴△RPQ的高为6．故点R应是甲、乙、丙、丁四点中的乙处．故选B．考点：相似三角形的性质．4.【答案】C【解析】∵∠A=∠A，∠ADE=∠B，∴△AED∽△ACB，∴，故选B．5.【答案】C【解析】已知在ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，他们相交于G，延长BE交CD的延长线于点H，根据相似三角形的判定可得△AGB∽△HGF，△HED∽△HBC，△HED∽△EBA，△AEB∽△HBC，共4对．故答案选C．考点：相似三角形的判定．6.【答案】2∶1【解析】在正方形ABCD中，AD=CD=BC=AB．∵BP=3PC，Q是CD的中点，∴．又∵∠ADQ=∠QCP=90°，∴△ADQ∽△QCP，∴，即AQ：QP=2：1．7.【答案】1.8【解析】∵在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，∴CD=10，BC=6，DE=3．∵△CBF∽6△CDE，∴BF：DE=BC：DC，∴BF=6÷10×3=1.8．8.【答案】或【解析】∵四边形是正方形，又∵与以为顶点的三角形相似，∴①与是对应边时，解得②与是对应边时,解得∴为或时，与以为顶点的三角形相似，故答案为：或9.【答案】C【解析】∵在Rt△ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，∴△CEF∽△OME∽△PFN，∴OE：PN=OM：PF，∵EF=x，MO=3，PN=4，∴OE=x﹣3，PF=x﹣4，∴（x﹣3）：4=3：（x﹣4），∴（x﹣3）（x﹣4）=12，即x2﹣4x﹣3x+12=12，∴x=0（不符合题意，舍去），x=7．故选C．考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．10.【答案】65°或115°【解析】根据已知可得到△BDA∽△ADC，注意∠C可以是锐角也可是钝角，故应该分情况进行分析，从而确定∠BCA度数．（1）当∠C为锐角时，∵AD2=BD•DC，AD是BC边上的高得，∴=，∵∠ADC=∠ADB，∴△BDA∽△ADC，∴∠CAD=∠B=25°，∴∠BCA=65°；（2）当∠C为钝角时，同理可得，△BDA∽△ADC∴∠BCA=25°+90°=115°．故答案为：65°或115°．考点：相似三角形的判定与性质．11.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）从图中得到AC=3，CD=2，BC=6，CE=4，∠ACB=∠DCE=90°，利用两边对应成比例且夹角相等，可证△ACB∽△DCE；（2）由相似三角形的性质可知，∠B=∠E，可得∠B+∠A=∠E+A=90°，即∠EFA=90°，7故EF⊥AB．（1）证明：∵∴=，又∵∠ACB=∠DCE=90°，∴△ACB∽△DCE；（2）∵△ACB∽△DCE，∴∠B=∠E，∵∠B+∠A=90°，∴∠E+A=90°，即∠EFA=90°，∴EF⊥AB．12.【答案】证明见解析.【解析】由在△ABC和△ADE中，，可证得△ABC∽△ADE，即可证得∠BAD=∠CAE，又由，即可证得：△ABD∽△ACE．证明：∵在△ABC和△ADE中，，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∵，∴，∴△ABD∽△ACE．13.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).【解析】（1）∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB．又∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB．∴．∴AC2＝AB·AD．（2）∵E为AB的中点，∴，∴∠EAC＝∠ECA．∵AC平分∠DAB，∴∠CAD＝∠CAB．∴∠DAC＝∠ECA．∴CE∥AD．（3）∵CE∥AD，∴∠DAF＝∠ECF，∠ADF＝∠CEF．∴△AFD∽△CFE．∴．∵，,∴．8又∵AD=4，∴由,ADAFCECF得43AFCF,∴．∴．14.【答案】3【解析】15.【答案】（1）1；（2）点P为AB边的中点时，△PFD∽△BFP.【解析】（1）由题意得：PD=PE，∠DPE=90°，又由正方形ABCD的边长为1，易证得△ADP≌△QPE，然后由全等三角形的性质，求得线段PQ的长；（2）易证得△DAP∽△PBF，又由△PFD∽△BFP，根据相似三角形的对应边成比例，可得证得PA=PB，则可求得答案．解：（1）根据题意得：PD=PE，∠DPE=90°，∴∠APD+∠QPE=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，∴∠ADP=∠QPE，∵EQ⊥AB，∴∠A=∠Q=90°，在△ADP和△QPE中，，∴△ADP≌△QPE（AAS），∴PQ=AD=1.（2）∵△PFD∽△BFP，∴，∵∠ADP=∠EPB，∠CBP=∠A，∴△DAP∽△PBF，∴，∴，∴PA=PB，∴PA=AB=∴当PA=，即点P是AB的中点时，△PFD∽△BFP．9考点：1、相似三角形的判定与性质，2、正方形的性质，3、全等三角形的判定与性质