2018-2019学年九年级数学下册 第1章 二次函数 1.2 二次函数的图象与性质 1.2.5 二

11.2二次函数的图象与性质第5课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质知|识|目|标1．通过回顾利用配方法解一元二次方程，会用配方法将二次函数的一般形式转化为顶点式．2．回顾用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质．3．通过观察二次函数图象，理解求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最大(小)值的方法．目标一会用配方法将二次函数y＝ax2＋bx＋c化为顶点式例1教材补充例题将二次函数y＝x2－4x＋3化为y＝(x－h)2＋k的形式，下列结果正确的是()A．y＝(x＋2)2＋1B．y＝(x＋2)2－1C．y＝(x－2)2－1D．y＝(x－2)2＋1【归纳总结】将二次函数一般式化为顶点式的两种方法：(1)把二次函数的一般式化为顶点式有两种方法：一是配方法，二是公式法．理解两点：①把二次函数中的配方法与用配方法解一元二次方程联系起来学习，注意其中的联系与区别；②应用公式法求顶点式的关键是计算得出二次函数图象的顶点坐标－b2a，4ac－b24a，要熟记公式并把相关系数准确代入进行计算．(2)用配方法求顶点式的步骤：①提出二次项系数(包括前面的符号)；②加上并减去一次项系数的一半的平方；③整理为顶点式．目标二理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质例2教材“动脑筋”变式已知二次函数y＝－x2＋2x＋3.(1)在图1－2－4中画出这个函数的图象．(2)根据图象，直接写出：①当函数值y为正数时，自变量x的取值范围；②当－2＜x＜2时，函数值y的取值范围．图1－2－4【归纳总结】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质：(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与二次函数y＝ax2的图象的形状、开口方向完全相同，只2有位置不同．(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的画法：①“化”：化成顶点式；②“定”：确定开口方向、对称轴和顶点坐标；③“画”：列表、描点、连线．(3)确定二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点坐标与对称轴可以通过配方法或公式法实现，顶点坐标为－b2a，4ac－b24a，对称轴为直线x＝－b2a.(4)讨论二次函数y＝ax2＋bx＋c的增减性时，必须先确定抛物线的对称轴，按照抛物线在对称轴左侧与右侧两部分进行分类讨论．目标三会求二次函数的最值例3教材例6针对训练用配方法求二次函数y＝(k－1)x2－2(k－1)x－k的最值，其中k为常数且k≠1.【归纳总结】确定二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值的方法：(1)确定一个二次函数的最值，首先要看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出图象顶点和端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．(2)当a＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点－b2a，4ac－b24a，函数y有最小值4ac－b24a；当a＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点－b2a，4ac－b24a，函数y有最大值4ac－b24a.知识点一用配方法把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式用配方法把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式的步骤如下：(1)提取公因式a，得y＝a(x2＋bax＋ca)；(2)配方，得y＝a[x2＋bax＋(b2a)2－(b2a)2＋ca]；(3)将第(2)步的结果写成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，得y＝ax＋b2a2＋4ac－b24a.知识点二画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象步骤：(1)将y＝ax2＋bx＋c配方成y＝a(x＋________)2＋________的形式；(2)确定顶点(________，4ac－b24a)与对称轴直线x＝________；(3)取对称轴右边(x－b2a)的三个自变量x的值，算出对应的y值，利用点的坐标，画出抛物3线y＝ax2＋bx＋c对称轴右边的图象；(4)利用对称性，根据对称轴右边的图象画出对称轴左边的图象．知识点三二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质二次函数y＝ax2＋bx＋ca的取值a0a0图象的开口方向向上向下图象的对称轴直线x＝________图象的顶点坐标－b2a，4ac－b24a函数值的变化情况当x－b2a时，y随x的增大而减小；当x－b2a时，y随x的增大而增大当x－b2a时，y随x的增大而增大；当x－b2a时，y随x的增大而减小最值y最小值＝4ac－b24ay最大值＝4ac－b24a1．已知二次函数y＝x2＋(m－1)x＋1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是()A．m＝－1B．m＝3C．m≤－1D．m≥－1答案：A上述答案是否正确？若不正确，请说明理由，并给出正确答案．2．若二次函数y＝mx2－2mx＋m2＋m＋2的最大值为4，求实数m的值．解：∵y＝mx2－2mx＋m2＋m＋2＝m(x2－2x＋1－1)＋m2＋m＋2＝m(x－1)2＋m2＋2，二次函数y＝mx2－2mx＋m2＋m＋2的最大值为4，∴m2＋2＝4，解得m＝±2.∴当m＝±2时，二次函数y＝mx2－2mx＋m2＋m＋2的最大值为4.上述解答过程正确吗？若不正确，请说明理由．4教师详解详析【目标突破】例1[解析]Cy＝x2－4x＋3＝(x2－4x＋4)＋3－4＝(x－2)2－1，即y＝(x－2)2－1.例2解：(1)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴函数图象的顶点坐标为(1，4)．函数的图象如图．(2)根据图象，可知：①函数值y为正数时，自变量x的取值范围为－1＜x＜3；②当－2＜x＜2时，函数值y的取值范围为－5＜y≤4.例3解：∵y＝(k－1)x2－2(k－1)x－k＝(k－1)(x2－2x)－k＝(k－1)·(x2－2x＋1－1)－k＝(k－1)[(x－1)2－1]－k＝(k－1)(x－1)2－2k＋1，∴当k＞1时，函数有最小值－2k＋1，当k＜1时，函数有最大值－2k＋1.【总结反思】[小结]知识点二(1)b2a4ac－b24a(2)－b2a－b2a知识点三－b2a[反思]1.不正确．理由如下：抛物线的对称轴为直线x＝－m－12.∵当x＞1时，y随x的增大而增大，∴－m－12≤1，解得m≥－1，故选D.正确答案为D.2．不正确．理由：∵二次函数y＝mx2－2mx＋m2＋m＋2有最大值，∴图象开口向下，即m＜0，∴m＝2应该舍去，∴m的值为－2.