2018-2019学年九年级数学下册 第27章 圆 27.3 圆中的计算问题 27.3.1 弧长和扇

127.3圆中的计算问题第1课时弧长和扇形的面积知|识|目|标1．通过计算特殊角度的圆心角所对的弧长，能推导并理解弧长公式．2．通过计算特殊角度的圆心角所对的扇形面积，能由特殊到一般地推导理解扇形面积公式．目标一能推导并理解弧长的计算公式例1教材练习第1题针对训练(1)如图27－3－1，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，则BC︵的长为()图27－3－1A.10π3B.10π9C.5π9D.5π18(2)教材补充例题若一个扇形的圆心角为60°，它的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为()A．6cmB．12cmC．23cmD.6cm【归纳总结】利用弧长公式进行计算的一般步骤：第一步：从问题中找出公式所涉及的三个量(弧长l、弧所对的圆心角n°、半径r)中的两个；第二步：把已知的两个量代入弧长公式；第三步：求出公式中的未知量．目标二能归纳并掌握扇形面积公式例2(1)教材例1针对训练在圆心角为120°的扇形AOB中，半径OA＝6cm，则扇形AOB的面积是()A．6πcm2B．8πcm2C．12πcm2D．24πcm2(2)教材补充例题已知扇形的半径为6cm，面积为10πcm2，求该扇形的弧长．【归纳总结】扇形面积公式的选择：2(1)当已知半径r和圆心角的度数求扇形的面积时，选用公式S＝nπr2360；(2)当已知半径r和弧长l求扇形的面积时，选用公式S＝12lr.例3教材补充例题如图27－3－2所示，在⊙O中，AD︵＝AC︵，弦AB与弦AC相交于点A，弦CD与弦AB相交于点F，连结BC.(1)求证：AC2＝AB·AF；(2)若⊙O的半径为2cm，∠B＝60°，求阴影部分的面积．图27－3－2【归纳总结】两类弓形面积的求法：(1)小于半圆的弧与弦组成的弓形，如图27－3－3①，计算弓形的面积时，用扇形的面积减去三角形的面积；图27－3－3(2)大于半圆的弧与弦组成的弓形，如图②，计算弓形的面积时，用扇形的面积加上三角形的面积．知识点一弧长的计算(1)圆的周长公式：半径为r的圆的周长C的计算公式为__________．(2)弧长公式：半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为__________．[点拨]弧、弧长、弧的度数间的关系：3①弧相等表示弧长、弧的度数都相等；②度数相等的弧，弧长不一定相等；③弧长相等的弧，弧的度数不一定相等．知识点二扇形面积的计算(1)扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．(2)圆的面积：S＝πr2(其中r是圆的半径)．(3)扇形的面积：圆心角为n°，半径为r的扇形的面积S扇形的计算公式是____________．因为扇形的弧长l＝nπr180，扇形的面积S扇形＝nπr2360，则S＝12·nπr180·r，所以又可以得到扇形面积的另一个计算公式：S扇形＝12lr.[点拨]已知S扇形，l，n，r四个量中的任意两个量，便可以求出另外两个量．已知AB︵所对的圆周角为30°，AB︵所在圆的直径为20cm，求AB︵的长．解：lAB︵＝nπr180＝30π·20180＝10π3(cm)，∴AB︵的长为10π3cm.以上解答过程正确吗？若不正确，请你指出其中的错误，并改正．4教师详解详析【目标突破】例1(1)[解析]B∵OA＝OC＝12AB＝2，∴∠OAC＝∠OCA＝50°，∴∠BOC＝2∠OAC＝100°，∴BC︵的长＝100×π×2180＝10π9.(2)[解析]A由弧长公式得60πr180＝2π，解得r＝6(cm)．例2(1)[解析]C由扇形面积公式得S＝120×π×62360＝12π(cm2)．(2)解：∵l＝nπr180，S扇形＝nπr2360＝12·nπr180·r＝12lr＝10π，∴l＝20πr＝20π6＝10π3(cm)．例3解：(1)证明：∵AD︵＝AC︵，∴∠ABC＝∠ACF.又∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACF，∴ACAF＝ABAC，∴AC2＝AB·AF.(2)如图，连结OA，OC，过点O作OE⊥AC，垂足为E，则AC＝2AE.∵∠B＝60°，∴∠AOC＝120°.又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°.∵在Rt△AOE中，OA＝2cm，∴OE＝1cm，∴AE＝OA2－OE2＝3cm，∴AC＝2AE＝23cm，∴S阴影＝S扇形AOC－S△AOC＝120π·22360－12×23×1＝4π3－3cm2.【总结反思】[小结]知识点一(1)C＝2πr(2)l＝nπr180知识点二(3)S扇形＝nπr2360[反思]不正确．弧长公式nπr180中的n°是圆心角的度数，而不是圆周角的度数；r是弧所在圆的半径，而不是直径．改正如下：5依题意可知，n＝60，r＝10cm，∴lAB︵＝60π·10180＝10π3(cm)，∴AB︵的长为10π3cm.