2018-2019学年九年级数学下册 第2章 圆本章总结提升练习 （新版）湘教版

1圆本章总结提升问题1弧、弦与圆心角的关系在同圆或等圆中，两个圆心角以及它们所对的弧、弦有什么关系？这些关系和圆的对称性有什么联系？图2－T－1例1如图2－T－1，在⊙O中，AB︵＝AC︵，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是()A．40°B．30°C．20°D．15°【归纳总结】在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等，这体现了转化思想．2问题2与圆周角定理有关的综合运用同弧所对的圆周角和它所对的圆心角有什么关系？例2已知等边三角形ABC内接于⊙O，P是劣弧BC︵上的一点(端点除外)，延长BP至点D，使BD＝AP，连接CD.(1)若AP过圆心O，如图2－T－2①，且⊙O的直径为10cm，求PD的长；(2)若AP不过圆心O，如图②，CP＝3cm，求PD的长．图2－T－2【归纳总结】圆周角定理为圆周角与圆心角的角度转换提供了依据；在圆中，如果有直径，那么直径所对的圆周角是直角；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．问题3利用垂径定理进行计算垂径定理的内容是什么？应用垂径定理时常常结合哪些定理解决问题？例3在半径为5cm的⊙O中，如果弦CD＝8cm，直径AB⊥CD，垂足为E，那么AE的长为____________．例42018·历城区一模某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径．如图2－T－3，若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．图2－T－3【归纳总结】垂径定理是解决线段相等、角相等、垂直关系等问题的重要依据，应结合图形3深刻理解、熟练掌握，并灵活运用．应用时注意：①定理中的“直径”是指过圆心的弦，但在实际应用中可以不是直径，可以是半径、过圆心的直线或线段等；②在利用垂径定理思考问题时，常常把问题转化到由半径、弦的一半、圆心到弦的垂线段三者组成的直角三角形中去解决．问题4切线及切线长圆的切线有什么性质？如何判断一条直线是圆的切线？例52017·河南如图2－T－4，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CF∥AB，与过点B的切线交于点F，连接BD.(1)求证：BD＝BF；(2)若AB＝10，CD＝4，求BC的长．图2－T－4例6如图2－T－5，以△ABC的边BC上的一点O为圆心的圆经过A，B两点，且与边BC交于点E，D为BE︵的下半圆弧的中点，连接AD交BC于点F，且AC＝FC.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若BF＝8，DF＝210，求⊙O的半径r.图2－T－5【归纳总结】证明直线与圆相切时，若已知直线与圆有公共点，则连接公共点和圆心，证明4直线垂直于该半径，基本思路是“作半径，证垂直”；若已知直线与圆没有给出公共点，则过圆心作该直线的垂线，证明垂线段等于半径．利用圆的切线的性质时，通常连接圆心和切点得到垂直．切线长定理体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据．问题5弧长与扇形的面积怎样由圆的周长和面积公式得到弧长公式和扇形面积公式？图2－T－6例7如图2－T－6所示，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是()A.2π3－32B.2π3－3C．π－32D．π－3例8图2－T－7是一个纸杯，它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥，该圆锥的侧面展开图是扇形OAB.经测量，纸杯上开口圆的直径为6cm，下底面圆的直径为4cm，母线长EF＝8cm.求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积．(结果用含π的式子表示)图2－T－7【归纳总结】在解决一些曲面的问题时，应先变曲面为平面，这样可以方便地求得一些图形的面积或某些线段的长．在平面上求面积时，常利用对称、全等以及平行线等知识进行等面积的图形转换，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和或差．5教师详解详析【整合提升】例1[解析]C如图，连接CO.∵在⊙O中，AB︵＝AC︵，∴∠AOC＝∠AOB.∵∠AOB＝40°，∴∠AOC＝40°，∴∠ADC＝12∠AOC＝20°.故选C.例2解：(1)∵△ABC为等边三角形，∴AC＝BC，∠BAC＝60°.∵AP过圆心O，∴AP平分∠BAC，AP为⊙O的直径，∴∠CAP＝30°，∠ACP＝90°，∴∠CBD＝∠CAP＝30°，CP＝12AP＝12×10＝5(cm)．在△CAP和△CBD中，AC＝BC，∠CAP＝∠CBD，AP＝BD，∴△CAP≌△CBD，∴CP＝CD.∵∠CPD＋∠BPC＝∠CAB＋∠BPC＝180°，∴∠CPD＝∠CAB＝60°，∴△PCD为等边三角形，∴PD＝CP＝5cm.(2)与(1)一样可证明得到△CAP≌△CBD，∠CPD＝∠CAB＝60°，则CP＝CD，∴△PCD为等边三角形，∴PD＝CP＝3cm.例3[答案]2cm或8cm[解析]如图①，由垂径定理不难求得CE＝12CD＝4cm，连接OC，则OC＝5cm，由勾股定理易求OE＝3cm，所以AE＝2cm.同理，在图②中，AE＝8cm.故应填2cm或8cm.6例4解：过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，连接OB.∵OC⊥AB，∴BD＝12AB＝12×16＝8(cm)．由题意可知，CD＝4cm，∴设半径为xcm，则OD＝(x－4)cm.在Rt△BOD中，由勾股定理，得OD2＋BD2＝OB2，即(x－4)2＋82＝x2，解得x＝10.答：这个圆形截面的半径为10cm.例5解：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA＝90°，即BD⊥AC.∵BF切⊙O于点B，∴AB⊥BF.∵CF∥AB，∴CF⊥BF，∠FCB＝∠ABC.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∴∠ACB＝∠FCB.又∵BD⊥AC，BF⊥CF，∴BD＝BF.(2)∵AB＝10，AB＝AC，∴AC＝10.∵CD＝4，∴AD＝10－4＝6.在Rt△ADB中，由勾股定理，得BD＝102－62＝8，在Rt△BDC中，由勾股定理，得BC＝82＋42＝45.例6解：(1)证明：如图，连接OA，OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.∵D为BE︵的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，∴∠ODA＋∠OFD＝90°.∵AC＝FC，∴∠FAC＝∠AFC.7又∠OFD＝∠AFC，∴∠OAD＋∠FAC＝90°，即∠OAC＝90°.又∵OA是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线．(2)∵BF＝8，DF＝210，∴OF＝8－r.在Rt△OFD中，r2＋(8－r)2＝(210)2，解得r＝2(舍去)或r＝6.∴⊙O的半径r为6.例7[解析]B如图，连接BD.∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，∴∠ADC＝120°，∴∠1＝∠2＝60°，∴△ABD是等边三角形．∵AB＝2，∴△ABD的高为3.∵扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，∴∠4＋∠5＝60°.又∵∠3＋∠5＝60°，∴∠3＝∠4，∴△ABM≌△DBN(ASA)，∴四边形MBND的面积等于△ABD的面积，∴S阴影＝S扇形BEF－S△ABD＝60π×22360－12×2×3＝2π3－3.例8解：由题意可知：lAB︵＝6πcm，lCD︵＝4πcm.设∠AOB＝n°，OA＝rcm，则OC＝(r－8)cm.由公式nπr180＝6π，nπ（r－8）180＝4π，可得方程组6×180＝nr，4×180＝nr－8n，解得n＝45，r＝24.所以扇形OAB的圆心角是45°.因为r＝24，r－8＝16，所以S扇形OCD＝12×4π×16＝32π，S扇形OAB＝12×6π×24＝72π，所以S纸杯侧＝S扇形OAB－S扇形OCD＝72π－32π＝40π，S纸杯底＝π×22＝4π，所以S纸杯表＝40π＋4π＝44π(cm2)．即这个纸杯的表面积是44πcm2.