2018-2019学年九年级数学下册 第三章 圆 3.4 圆周角和圆心角的关系 3.4.2 圆周角定

1课时作业(二十三)[第三章4第2课时圆周角定理的推论]一、选择题1．如图K－23－1所示，AB是⊙O的直径，弦DC与AB相交于点E，若∠ACD＝50°，则∠DAB的度数是()图K－23－1A．30°B．40°C．50°D．60°2.2017·广东如图K－23－2，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，则∠DAC的度数为()图K－23－2A．130°B．100°C．65°D．50°3．下列命题中，正确的有()①90°的圆周角所对的弦是直径；②若圆周角相等，则它们所对的弧也相等；③同圆中，相等的圆周角所对的弦也相等．A．0个B．1个C．2个D．3个4．如图K－23－3，▱ABCD的顶点A，B，D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE，∠E＝36°，则∠ADC的度数是()图K－23－3A．44°B．54°C．72°D．53°25．如图K－23－4，点D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则cos∠OBD＝()链接听课例1归纳总结图K－23－4A.12B.34C.45D.356．2018·咸宁如图K－23－5，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为()图K－23－5A．6B．8C．52D．53二、填空题7．2017·南浔区期末如图K－23－6，已知⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F，若∠E＋∠F＝70°，则∠A的度数是________．图K－23－68．如图K－23－7，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连接OD交BE于点M，若BE＝8且MD＝2，则直径AB为________．图K－23－79．如图K－23－8，⊙O的半径为1，等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上，点D，E也在⊙O上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是________．3图K－23－8三、解答题10．如图K－23－9，已知在半圆AOB中，AD＝DC，∠CAB＝30°，AC＝23，求AD的长．图K－23－911．已知在⊙O的内接四边形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC.试判断四边形ABCD的形状，并加以证明.链接听课例2归纳总结12．如图K－23－10，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝40°，∠APD＝66°.(1)求∠B的度数；(2)已知圆心O到BD的距离为4，求AD的长．图K－23－10413．已知：如图K－23－11所示，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°.(1)求∠EBC的度数；(2)求证：BD＝CD.图K－23－1114．如图K－23－12，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AC为⊙O的直径，DB＝DC，延长BA，CD相交于点E.(1)求证：∠EAD＝∠CAD；(2)若AC＝10，sin∠BAC＝35，求AD的长．图K－23－125图形变换题已知：如图K－23－13，AB是⊙O的一条弦，C为AB︵的中点，CD是⊙O的直径，过点C的直线l交AB所在直线于点E，交⊙O于点F.(1)猜想图①中∠CEB与∠FDC的数量关系，并证明你的结论；(2)将直线l绕点C旋转(与CD不重合)，在旋转过程中，点E，F的位置也随之变化，请在下面的两个备用图中分别画出直线l在不同位置时，使(1)中的结论仍然成立的图形，标上相应字母，并选其中一个图形给予证明．图K－23－136详解详析【课时作业】[课堂达标]1．[解析]B∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.又∵∠B＝∠C＝50°，∴∠DAB＝180°－∠ADB－∠B＝40°.故选B.2．[解析]C∵∠CBE＝50°，∴∠ABC＝180°－∠CBE＝180°－50°＝130°.∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠D＝180°－∠ABC＝180°－130°＝50°.又∵DA＝DC，∴∠DAC＝180°－∠D2＝65°.故选C.3．[答案]C4．[解析]B∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE＝90°.又∵∠E＝36°，∴∠B＝54°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠B＝54°.5．[解析]C连接CD，如图所示，∵D(0，3)，C(4，0)，∴OD＝3，OC＝4.∵∠COD＝90°，∴CD＝32＋42＝5.∵∠OBD＝∠OCD，∴cos∠OBD＝cos∠OCD＝OCCD＝45.故选C.6．[解析]B如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，则∠AOB＋∠BOE＝180°.又∵∠AOB＋∠COD＝180°，∴∠BOE＝∠COD，∴BE＝CD＝6.∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴AB＝AE2－BE2＝102－62＝8.故选B.7．[答案]55°[解析]∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠BCD＝∠BCF＋∠BCD＝180°，∴∠A＝∠BCF.∵∠EBF＝∠A＋∠E，而∠EBF＝180°－∠BCF－∠F，7∴∠A＋∠E＝180°－∠BCF－∠F，∴∠A＋∠E＝180－∠A－∠F，即2∠A＝180°－(∠E＋∠F)＝110°，∴∠A＝55°.8．[答案]10[解析]连接AD，设AB＝x.∵以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，∴∠AEB＝∠ADB＝90°，即AE⊥BE，AD⊥BC.∵AB＝AC，∴BD＝CD.∵OA＝OB，∴OD∥AC，∴OD⊥BE，∴BM＝EM，∴CE＝2MD＝4，∴AE＝AC－CE＝x－4.∵在Rt△ABE中，BE＝8，∠AEB＝90°，∴x2＝(x－4)2＋82，解得x＝10，即直径AB为10.故答案为10.9．[答案]3[解析]连接BD，OC，如图．∵四边形BCDE为矩形，∴∠BCD＝90°，∴BD为⊙O的直径，∴BD＝2.∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠BOC＝2∠A＝120°.又OB＝OC，∴∠CBD＝30°.在Rt△BCD中，CD＝12BD＝1，BC＝3CD＝3，∴矩形BCDE的面积＝BC·CD＝3.10．解：∵AB是半圆的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠CAB＝30°，∴∠ABC＝60°.∵AD＝DC，且BC︵所对的圆心角为30°×2＝60°，∴AD︵，DC︵，CB︵所对的圆心角均为60°，∴BC＝AD.在Rt△ABC中，∵∠CAB＝30°，AC＝23，∴BC＝23×tan30°＝2，∴AD＝2.11．[解析]因为AD＝BC，AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形．再根据圆内接四边形的性质可得出∠B＝∠D＝90°，因此，四边形ABCD是矩形．解：四边形ABCD为矩形．证明：如图，∵AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD为平行四边形，8∴∠B＝∠D.∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B＋∠D＝180°，∴∠B＝∠D＝90°，∴四边形ABCD是矩形．12．解：(1)∵∠CAB＝∠CDB(同弧所对的圆周角相等)，∠CAB＝40°，∴∠CDB＝40°.又∵∠APD＝66°，∴∠B＝∠APD－∠CDB＝26°.(2)过点O作OE⊥BD于点E，则OE＝4，BE＝DE.又∵O是AB的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴AD＝2OE＝8.13．解：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°.又∵∠BAC＝45°，∴∠ABE＝45°.∵∠BAC＝45°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝67.5°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝22.5°.(2)证明：如图所示，连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.又∵AB＝AC，∴BD＝CD.14．解：(1)证明：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠BCD＋∠BAD＝∠EAD＋∠BAD＝180°，∴∠EAD＝∠BCD.∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠BCD，∴∠EAD＝∠DBC.又∵∠DBC＝∠CAD，∴∠EAD＝∠CAD.(2)∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝∠ADC＝90°.∵AC＝10，sin∠BAC＝35，∴BCAC＝35，∴BC＝6，∴AB＝8.∵∠EAD＝∠CAD，∠ADC＝∠ADE＝90°，∴∠E＝∠ACE，∴AE＝AC＝10，ED＝CD.∵∠ADE＝∠EBC，∠E＝∠E，∴△EAD∽△ECB，∴ADBC＝AECE＝EDBE，即AD6＝102ED＝ED18，9得ED＝310，∴AD＝10.[素养提升][解析](1)根据垂径定理的推论得到CD⊥AB，根据圆周角定理的推论得到∠CFD＝90°，然后通过等量代换求证出∠CEB＝∠FDC；(2)根据垂径定理得到CD⊥AB，∠CFD＝90°，然后通过等量代换求证出∠CEB＝∠FDC.解：(1)∠CEB＝∠FDC.证明：∵CD是⊙O的直径，C为AB︵的中点，∴CD⊥AB，∴∠CEB＋∠ECD＝90°.∵CD是⊙O的直径，∴∠CFD＝90°，∴∠FDC＋∠ECD＝90°，∴∠CEB＝∠FDC.(2)所画图形不唯一，如图①②.选图②进行证明：如图②，∵CD是⊙O的直径，C为AB︵的中点，∴CD⊥AB，∴∠CEB＋∠ECD＝90°.∵CD是⊙O的直径，∴∠CFD＝90°，∴∠FDC＋∠ECD＝90°，∴∠CEB＝∠FDC.