2018-2019学年九年级数学下册 第二十七章 相似本章中考演练同步练习 （新版）新人教版

1第二十七章相似一、选择题1．2018·内江已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1∶3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为()A．1∶1B．1∶3C．1∶6D．1∶92．2018·绍兴学校门口的栏杆如图1所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为()图1A．0.2mB．0.3mC．0.4mD．0.5m3．2018·临沂如图2，利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.4m，则建筑物CD的高是()图2A．9.3mB．10.5mC．12.4mD．14m4．2018·潍坊在平面直角坐标系中，P(m，n)是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为()A．(2m，2n)B．(2m，2n)或(－2m，－2n)C．(12m，12n)D．(12m，12n)或(－12m，－12n)5．2018·宜宾如图3，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4.若AA′＝1，则A′D等于()图3A．2B．3C.23D.326．2018·泰州如图4，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(9，6)，AB⊥y轴，垂足为B，2点P从原点O出发向x轴正方向运动，同时，点Q从点A出发向点B运动，当点Q到达点B时，点P，Q同时停止运动，若点P与点Q的速度之比为1∶2，则下列说法正确的是()图4A．线段PQ始终经过点(2，3)B．线段PQ始终经过点(3，2)C．线段PQ始终经过点(2，2)D．线段PQ不可能始终经过某一定点二、填空题7．2018·嘉兴如图5，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，已知ABAC＝13，则EFDE＝________．图58．2018·南充如图6，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F，若AD＝1，BD＝2，BC＝4，则EF＝________．图69．2018·岳阳《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“如图7，今有直角三角形，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是________步．图7三、解答题10．2018·杭州如图8，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.(1)求证：△BDE∽△CAD；(2)若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．3图811．2018·安徽如图9，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点．(1)在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1(点A，B的对应点分别为A1，B1)，画出线段A1B1；(2)将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，画出线段A2B1；(3)以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是________个平方单位．图912．2018·衢州如图10，已知AB为⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接BC交⊙O于点F，取BF︵的中点D，连接AD交BC于点E，过点E作EH⊥AB于点H.(1)求证：△HBE∽△ABC；(2)若CF＝4，BF＝5，求AC和EH的长．图10413．2018·宁波若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．(1)已知△ABC是比例三角形，AB＝2，BC＝3，请直接写出所有满足条件的AC的长；(2)如图11①，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC.求证：△ABC是比例三角形；(3)如图②，在(2)的条件下，当∠ADC＝90°时，求BDAC的值．图115详解详析1．[解析]D∵△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1∶3，∴S△ABCS△A1B1C1＝(13)2＝19.故选D.2．[解析]C由题意可知△ABO∽△CDO，根据相似三角形的性质可得AOCO＝ABCD，又AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，∴41＝1.6CD，解得CD＝0.4(m)．故选C.3．[解析]B由题意知BE∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴BECD＝ABAC，即1.2CD＝1.61.6＋12.4，解得CD＝10.5(m)．故选B.4．[解析]B当放大后的△A′O′B′与△AOB在原点O的同侧时，点P的对应点的坐标为(2m，2n)；当放大后的△A′O′B′与△AOB在原点O的异侧时，点P的对应点的坐标为(－2m，－2n)．故选B.5．[解析]A如图，∵S△ABC＝9，S△A′EF＝4，且AD为BC边上的中线，∴S△A′DE＝12S△A′EF＝2，S△ABD＝12S△ABC＝92.∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A′B′C′，∴A′E∥AB，∴△DA′E∽△DAB，∴A′DAD2＝S△A′DES△ABD，即A′DA′D＋12＝292，解得A′D＝2或A′D＝－25(舍去)．故选A.6．[解析]B解法一：如图，连接AO交PQ于点C，过点C作CD⊥AB于点D，∵AB⊥y轴，∴AB∥x轴，∴∠A＝∠COP，∠AQC＝∠OPC，∴△AQC∽△OPC，∴ACOC＝AQOP＝2，∴ACAO＝23.同理可得CD＝23BO＝4，AD＝23AB＝6.∵点A的坐标为(9，6)，∴点C的坐标为(3，2)．即线段PQ始终经过点(3，2)．故选B.6解法二：当OP＝t时，点P的坐标为(t，0)，点Q的坐标为(9－2t，6)．设直线PQ的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将P(t，0)，Q(9－2t，6)代入y＝kx＋b，得kt＋b＝0，（9－2t）k＋b＝6，解得k＝23－t，b＝2tt－3，∴直线PQ的解析式为y＝23－tx＋2tt－3.当x＝3时，y＝2，∴直线PQ始终经过点(3，2)．故选B.7．[答案]2[解析]由ABAC＝13得ABBC＝13－1＝12，则BCAB＝2.因为直线l1∥l2∥l3，所以EFDE＝BCAB＝2.故答案为2.8．[答案]23[解析]∵DE∥BC，AD＝1，BD＝2，BC＝4，∴ADAB＝DEBC，即13＝DE4，解得DE＝43.∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠FBC.又∵DE∥BC，∴∠FBC＝∠F，∴∠ABF＝∠F，∴BD＝DF＝2.∵DF＝DE＋EF，∴EF＝2－43＝23.故答案为：23.9．[答案]6017[解析]如图．设该直角三角形能容纳的正方形边长为x，则AD＝12－x，FC＝5－x.根据题意，得△ADE∽△EFC，∴ADEF＝DEFC，即12－xx＝x5－x，解得x＝6017.故答案为6017.10．解：(1)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，AD⊥BC.7又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC，∴△BDE∽△CAD.(2)∵BC＝10，∴BD＝12BC＝5.在Rt△ABD中，有AD2＋BD2＝AB2，∴AD＝132－52＝12.∵△BDE∽△CAD，∴BDCA＝DEAD，即513＝DE12，∴DE＝6013.11．解：(1)如图所示，线段A1B1即为所求．(2)如图所示，线段A2B1即为所求．(3)由图可得，四边形AA1B1A2为正方形，∴四边形AA1B1A2的面积是(22＋42)2＝(20)2＝20.故答案为：20.12．[解析](1)根据切线的性质可证明∠CAB＝∠EHB，由此即可解决问题；(2)连接AF.由△CAF∽△CBA，推出AC2＝CF·CB＝36，可得AC＝6，AB＝BC2－AC2＝35，AF＝AB2－BF2＝25，由Rt△AEF≌Rt△AEH，推出AF＝AH＝25.设EF＝EH＝x.在Rt△EHB中，可得(5－x)2＝x2＋(5)2，解方程即可解决问题．解：(1)证明：∵AC是⊙O的切线，∴CA⊥AB.∵EH⊥AB，∴∠EHB＝∠CAB.又∵∠EBH＝∠CBA，∴△HBE∽△ABC.(2)如图，连接AF.∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°.∵∠C＝∠C，∠CAB＝∠AFC，∴△CAF∽△CBA，∴ACCB＝CFAC，∴AC2＝CF·CB＝36，∴AC＝6，AB＝BC2－AC2＝35，AF＝AB2－BF2＝25.∵DF︵＝BD︵，∴∠EAF＝∠EAH.∵EF⊥AF，EH⊥AB，∴EF＝EH.又∵AE＝AE，∴Rt△AEF≌Rt△AEH，∴AF＝AH＝25.设EF＝EH＝x.在Rt△EHB中，(5－x)2＝x2＋(5)2，∴x＝2，∴EH＝2.13．解：(1)AC的长为43或92或6.(2)证明：∵AD∥BC，8∴∠ACB＝∠CAD.又∵∠BAC＝∠ADC，∴△ABC∽△DCA，∴BCCA＝CAAD，即CA2＝BC·AD.∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD，∴CA2＝BC·AB，∴△ABC是比例三角形．(3)如图，过点A作AH⊥BD于点H.∵AB＝AD，∴BH＝12BD.∵AD∥BC，∠ADC＝90°，∴∠BCD＝90°，∴∠BHA＝∠BCD＝90°.又∵∠ABH＝∠DBC，∴△ABH∽△DBC，∴ABBD＝BHBC，∴AB·BC＝DB·BH，∴AB·BC＝12BD2.又∵AB·BC＝AC2，∴12BD2＝AC2，∴BDAC＝2.