2018-2019学年九年级数学下册 第二十八章 锐角三角函数 28.2 解直角三角形及其应用 28

1课时作业(二十)[28.2.2第1课时解直角三角形在实际中的一般应用]一、选择题1．2017·益阳如图K－20－1，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为(点A，D，B在同一条直线上)()图K－20－1A.hsinαB.hcosαC.htanαD．h·cosα2．2017·温州如图K－20－2，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα＝1213，则小车上升的高度是()图K－20－2A．5米B．6米C．6.5米D．12米3．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图K－20－3，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为()图K－20－3A.11－sinα米B.11＋sinα米C.11－cosα米D.11＋cosα米4．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图K－20－4所示的位置，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝135°，AB＝AE＝1.3米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为(栏杆宽度忽略不计，参考数据：2≈1.4)()链接听课例2归纳总结2图K－20－4图K－20－55．在课题学习后，同学们为教室窗户设计一个遮阳篷，小明同学绘制的设计图如图K－20－6所示，其中AB表示窗户，且AB＝2.82米，△BCD表示直角遮阳篷，已知当地一年中午时的太阳光与水平线CD的最小夹角α为18°，最大夹角β为66°，根据以上数据，计算出遮阳篷中CD的长约是(结果精确到0.1米，参考数据：sin18°≈0.31，tan18°≈0.32，sin66°≈0.91，tan66°≈2.25)()图K－20－6A．1.2米B．1.5米C．1.9米D．2.5米二、填空题6．如图K－20－7，为测量河宽AB(假设河的两岸平行)，在点C处测得∠ACB＝30°，在点D处测得∠ADB＝60°，且CD＝60m，则河宽AB为________m(结果保留根号)．图K－20－77．某电动车厂新开发的一种电动车如图K－20－8所示，它的大灯A射出的光线AB，AC与地面MN所夹的锐角分别为8°和10°，大灯A与地面的距离为1m，则该车大灯照亮地面的宽度BC约是________m．(不考虑其他因素，结果精确到0.1m，参考数据：sin8°≈0.14，tan8°≈0.14，sin10°≈0.17，tan10°≈0.18)图K－20－88．如图K－20－9，秋千链子的长度OA＝3m，静止时秋千踏板处于A位置．此时踏板距离地面0.3m，秋千向两边摆动．当踏板处于A′位置时，摆角最大，即∠AOA′＝50°，则踏板在A′位置时，与地面的距离约为________m．(sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，结果精确到0.01m)3图K－20－9三、解答题9．如图K－20－10是某小区的一个健身器材示意图，已知BC＝0.15m，AB＝2.7m，∠BOD＝70°，求端点A到底面CD的距离(精确到0.1m)．(参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)链接听课例2归纳总结图K－20－1010．2017·安徽如图K－20－11，游客在点A处坐缆车出发，沿A—B—D的路线可至山顶D处，假设AB和BD都是直线段，且AB＝BD＝600m，α＝75°，β＝45°，求DE的长．(参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，2≈1.41)图K－20－1111．某广场的旗杆AB旁边有一个半圆的时钟模型，如图K－20－12所示，时钟的9点和3点的刻度线刚好和地面重合，半圆的半径为2米，旗杆的底端A到钟面9点处刻度C的距离为5米．一天李华同学观察到阳光下旗杆顶端B的影子刚好投到钟面11点的刻度上，同时测得1米长的标杆的影长为1.6米．(1)计算时钟的时针从9点转到11点时的旋转角是多少度；(2)求旗杆AB的高度(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈41.732).链接听课例1归纳总结图K－20－12转化思想2017·凉山州如图K－20－13，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱AB的高应该设计为多少米(结果保留根号)?图K－20－135详解详析[课堂达标]1．[解析]B∵∠CAD＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°，∴∠CAD＝∠BCD.在Rt△BCD中，∵cos∠BCD＝CDBC，∴BC＝CDcos∠BCD＝hcosα.故选B.2．A3.A4．[解析]B如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于点H，则∠EHG＝∠HEF＝90°.∵∠AEF＝135°，∴∠AEH＝∠AEF－∠HEF＝45°，∠EAH＝45°.在△EAH中，∠EHA＝90°，∠EAH＝45°，AE＝1.3米，∴EH＝AE·sin∠EAH＝1.3×22≈1.3×0.7＝0.91(米)．∵AB＝1.3米，∴AB＋EH≈1.3＋0.91＝2.21≈2.2(米)．5．[解析]B设CD的长为x米，在Rt△BCD中，∠BDC＝α＝18°.∵tan∠BDC＝BCCD，∴BC＝CD·tan∠BDC≈0.32x.在Rt△ACD中，∠ADC＝β＝66°.∵tan∠ADC＝ACCD，∴AC＝CD·tan∠ADC≈2.25x.∵AB＝AC－BC，∴2.82≈2.25x－0.32x，解得x≈1.5.6．[答案]303[解析]∵∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，∴∠CAD＝30°，∴AD＝CD＝60m.在Rt△ABD中，AB＝AD·sin∠ADB＝60×32＝303(m)．7．[答案]1.6[解析]过点A作AD⊥MN于点D，如图所示．由题意可得，AD＝1m，∠ABD＝8°，∠ACD＝10°，∠ADC＝∠ADB＝90°，∴BD＝ADtan8°≈10.14≈7.14(m)，CD＝ADtan10°≈10.18≈5.56(m)，∴BC＝BD－CD＝7.14－5.56≈1.6(m)．8．[答案]1.37[解析]如图，过点A′作A′D⊥OA于点D，A′C垂直地面于点C，延长OA交地面于点B，6则四边形BCA′D为矩形，∴A′C＝DB.∵∠AOA′＝50°，且OA＝OA′＝3m，∴在Rt△OA′D中，OD＝OA′·cos∠AOA′≈3×0.643≈1.929(m)．又∵AB＝0.3m，∴OB＝OA＋AB＝3.3m，∴A′C＝DB＝OB－OD≈3.3－1.929≈1.37(m)．9．[解析]过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥AE于点F，构造Rt△ABF，运用解直角三角形的知识求出AF，进而求出AE得出结果．解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥AE于点F，如图所示．∵OD⊥CD，∠BOD＝70°，∴AE∥OD，∴∠A＝∠BOD＝70°.在Rt△ABF中，AB＝2.7m，∴AF＝AB·cosA·2.7×cos70°≈2.7×0.34＝0.918(m)，∴AE＝AF＋BC≈0.918＋0.15＝1.068≈1.1(m)．答：端点A到底面CD的距离约是1.1m.10．[解析]分别在Rt△ABC和Rt△BDF中，运用解直角三角形的知识求得BC和DF的近似值，再根据线段的和差求DE.解：在Rt△ABC中，∵cosα＝BCAB，∴BC＝AB·cosα≈600×0.26＝156(m)；在Rt△BDF中，∵sinβ＝DFBD，∴DF＝BD·sinβ＝600×22＝3002≈300×1.41＝423(m)．又EF＝BC，∴DE＝DF＋EF≈423＋156＝579(m)．11．解：(1)时钟的时针从9点转到11点转过2个大格，则旋转角的度数为2×30°＝60°.(2)如图，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，设半圆圆心为O，连接OD.∵点D在11点的刻度上，∴∠COD＝60°，∴DE＝OD·sin60°＝2×32＝3(米)，OE＝OD·cos60°＝2×12＝1(米)，∴CE＝2－1＝1(米)，∴DF＝AE＝5＋1＝6(米)．∵同时测得1米长的标杆的影长为1.6米，7∴DFBF＝1.61，∴BF＝61.6＝154(米)，∴AB＝BF＋DE＝154＋3≈5.5(米)．答：旗杆AB的高度约为5.5米．[素养提升]解：如图，延长OC，AB交于点P.∵∠ABC＝120°，∴∠PBC＝60°.∵∠OCB＝90°，∴∠P＝30°.∵AD＝20米，∴OA＝12AD＝10米．∵BC＝2米，∴在Rt△CPB中，PC＝BC·tan60°＝23米，PB＝2BC＝4米．∵∠P＝∠P，∠PCB＝∠A＝90°，∴△PCB∽△PAO，∴PCPA＝BCOA，∴PA＝PC·OABC＝23×102＝103(米)，∴AB＝PA－PB＝(103－4)米．答：路灯的灯柱AB的高应该设计为(103－4)米．