2018-2019学年九年级数学下册 第二章 二次函数 2.5 二次函数与一元二次方程 2.5.1

1课时作业(十七)[第二章5第1课时二次函数的图象与x轴的交点和一元二次方程的根的关系]一、选择题1．二次函数y＝x2＋x－6的图象与x轴交点的横坐标是()A．2和－3B．－2和3C．2和3D．－2和－32．若二次函数y＝2x2＋mx＋8的图象如图K－17－1所示，则m的值是()图K－17－1A．－8B．8C．±8D．63．已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是链接听课例1归纳总结()A．x1＝1，x2＝－1B．x1＝1，x2＝2C．x1＝1，x2＝0D．x1＝1，x2＝34．若二次函数y＝x2＋bx的图象的对称轴是直线x＝2，则关于x的方程x2＋bx＝5的解为()A．x1＝0，x2＝4B．x1＝1，x2＝5C．x1＝1，x2＝－5D．x1＝－1，x2＝55．如图K－17－2，一次函数y＝－x与二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象相交于点M，N，则关于x的一元二次方程ax2＋(b＋1)x＋c＝0的根的情况是()图K－17－2A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数C．没有实数根D．以上结论都正确6．下列关于二次函数y＝ax2－2ax＋1(a1)的图象与x轴交点的判断，正确的是()A．没有交点B．只有一个交点，且它位于y轴右侧C．有两个交点，且它们均位于y轴左侧D．有两个交点，且它们均位于y轴右侧2二、填空题7．2018·孝感如图K－17－3，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点分别为A(－2，4)，B(1，1)，则方程ax2＝bx＋c的解是________.链接听课例1归纳总结图K－17－38．如图K－17－4，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(－1，0)，B(1，－2)，该图象与x轴的另一个交点为C，则AC的长为________．图K－17－49．若函数y＝mx2＋(m＋2)x＋12m＋1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为________．三、解答题10．已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋3(m是常数)．(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴都没有公共点；(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数图象与x轴只有一个公共点？11．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图K－17－5所示，根据图象解答下列问题：(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；(2)写出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围.链接听课例1归纳总结3图K－17－512．如图K－17－6，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)和B(3，0)两点，交y轴于点E(0，－3)．(1)求此抛物线的表达式；(2)若直线y＝x＋m与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点F，连接DE，求△DEF的面积．链接听课例2归纳总结图K－17－613．2017·仙桃已知关于x的一元二次方程x2－(m＋1)x＋12(m2＋1)＝0有实数根．(1)求m的值；(2)先作y＝x2－(m＋1)x＋12(m2＋1)的图象关于x轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后所得图象的函数表达式；(3)在(2)的条件下，当直线y＝2x＋n(n≥m)与变化后的图象有公共点时，求n2－4n的最大值和最小值．4阅读理解若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：x1＋x2＝－ba，x1·x2＝ca.我们把它们称为一元二次方程根与系数的关系定理．如果设二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的两个交点为A(x1，0)，B(x2，0)，利用一元二次方程根与系数的关系定理可以得到A，B两点间的距离：AB＝|x1－x2|＝（x1＋x2）2－4x1x2＝－ba2－4ca＝b2－4aca2＝b2－4ac|a|.参考以上定理和结论，解答下列问题：如图K－17－7，设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与x轴的两个交点为A(x1，0)，B(x2，0)，抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．(1)当△ABC为等腰直角三角形时，求b2－4ac的值；(2)当△ABC为等边三角形时，求b2－4ac的值．图K－17－75详解详析【课时作业】[课堂达标]1．[解析]A二次函数y＝x2＋x－6的图象与x轴交点的横坐标实际就是方程x2＋x－6＝0的两个根，由(x－2)(x＋3)＝0得两根分别为2和－3.2．[解析]B∵二次函数图象与x轴有一个交点，∴b2－4ac＝m2－4×2×8＝0，解得m1＝8，m2＝－8.∵二次函数图象的对称轴在y轴左侧，∴a，b同号，∴m＝8.3．[解析]B把(1，0)代入y＝x2－3x＋m中，得0＝12－3×1＋m，∴m＝2.把m＝2代入方程x2－3x＋m＝0中，得x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2.4．[解析]D令y＝0得x2＋bx＝0，解得x1＝0，x2＝－b.∵抛物线的对称轴为直线x＝2，∴－b＝4，解得b＝－4.将b＝－4代入x2＋bx＝5得x2－4x＝5.整理得x2－4x－5＝0，即(x＋1)(x－5)＝0，解得x1＝－1，x2＝5.故选D.5．[解析]A∵一次函数y＝－x与二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象有两个交点，∴ax2＋bx＋c＝－x有两个不相等的实数根，ax2＋bx＋c＝－x可变形为ax2＋(b＋1)x＋c＝0，∴ax2＋(b＋1)x＋c＝0有两个不相等的实数根．故选A.6．[答案]D7．[答案]x1＝－2，x2＝1[解析]∵抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点分别为A(－2，4)，B(1，1)，∴方程组y＝ax2，y＝bx＋c的解为x1＝－2，y1＝4，x2＝1，y2＝1，即关于x的方程ax2－bx－c＝0的解为x1＝－2，x2＝1，∴方程ax2＝bx＋c的解是x1＝－2，x2＝1.故答案为x1＝－2，x2＝1.8．[答案]3[解析]把(－1，0)，(1，－2)代入y＝x2＋bx＋c可求得函数表达式，并求出其图象的对称轴，根据点A的坐标求出点C的坐标，从而求出AC的长．9．[答案]0，2或－2[解析]分为两种情况：①当函数是二次函数时，∵函数y＝mx2＋(m＋2)x＋12m＋1的图象与x轴只有一个交点，∴b2－4ac＝(m＋2)2－4m(12m＋1)＝0且m≠0，解得m＝±2.②当函数是一次函数时，m＝0，此时函数的表达式是y＝2x＋1，图象和x轴只有一个交点．10．解：(1)证明：∵b2－4ac＝(－2m)2－4×1×(m2＋3)＝4m2－4m2－12＝－12＜0，∴方程x2－2mx＋m2＋3＝0没有实数根，故不论m为何值，该函数的图象与x轴都没有公共点．(2)y＝x2－2mx＋m2＋3＝(x－m)2＋3，把函数y＝(x－m)2＋3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y＝(x－m)2的图象，它的顶点坐标是(m，0)，此时这个函数的图象与x轴只有一个6公共点，所以把函数y＝x2－2mx＋m2＋3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数图象与x轴只有一个公共点．11．(1)x1＝1，x2＝3(2)1＜x＜3(3)x＞2(4)k＜212．解：(1)设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)(x－3)，把E(0，－3)代入得a×1×(－3)＝－3，解得a＝1，所以抛物线的表达式为y＝(x＋1)(x－3)，即y＝x2－2x－3.(2)把A(－1，0)代入y＝x＋m得－1＋m＝0，解得m＝1，∴直线AD的表达式为y＝x＋1.当x＝0时，y＝x＋1＝1，则F(0，1)．解方程组y＝x＋1，y＝x2－2x－3得x＝－1，y＝0或x＝4，y＝5，则D(4，5)，∴△DEF的面积＝12×4×4＝8.13．解：(1)对于一元二次方程x2－(m＋1)x＋12(m2＋1)＝0，Δ＝b2－4ac＝(m＋1)2－2(m2＋1)＝－m2＋2m－1＝－(m－1)2.∵方程有实数根，∴－(m－1)2≥0，∴m＝1.(2)由(1)可知y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，其变换图象如图所示：∴变化后所得图象的函数表达式为y＝－(x＋2)2＋2＝－x2－4x－2.(3)由y＝2x＋n，y＝－x2－4x－2消去y，得到x2＋6x＋n＋2＝0，由题意得Δ≥0，∴36－4n－8≥0，∴n≤7.∵n≥m，m＝1，∴1≤n≤7.令y′＝n2－4n＝(n－2)2－4，∴当n＝2时，y′的值最小，最小值为－4，当n＝7时，y′的值最大，最大值为21，∴n2－4n的最大值为21，最小值为－4.7[素养提升]解：(1)当△ABC为等腰直角三角形时(如图)，过点C作CD⊥AB于点D，则AB＝2CD.∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac0，则||b2－4ac＝b2－4ac.∵a＞0，∴AB＝b2－4ac||a＝b2－4aca.又∵CD＝4ac－b24a＝b2－4ac4a，∴b2－4aca＝2×b2－4ac4a，∴b2－4ac＝b2－4ac2，∴b2－4ac＝（b2－4ac）24.∵b2－4ac0，∴b2－4ac＝4.(2)当△ABC为等边三角形时(如图)，过点C作CE⊥AB于点E，则CE＝32AB.由(1)可知b2－4ac4a＝32×b2－4aca.∵b2－4ac0，∴b2－4ac＝12.