2018-2019学年九年级数学下册 第二章 二次函数 2.5 二次函数与一元二次方程教案 （新版）

1EvaluationWarning:ThedocumentwascreatedwithSpire.Docfor.NET.二次函数和一元二次方程课题第1课时二次函数的图象与x轴的交点和一元二次方程的根的关系授课人教学目标知识技能经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不相等的实数根、两个相等的实数根和没有实数根．数学思考经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神．通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想．问题解决理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝h的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c与直线y＝h(h是实数)图象交点的横坐标．情感态度经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．具有初步的创新精神和实践能力．教学重点体会二次函数与一元二次方程间的联系，理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．教学难点理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝h的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c与直线y＝h(h是实数)图象交点的横坐标以及二次函数与一元二次方程的关系在实际问题中的应用．授课类型新授课课时教具多媒体课件教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾问题：1．一元二次方程的一般形式是________，其根通过回顾一元二次方程和二次函数的相关知识，巩固以前所2的判别式是________，求根公式是________．2．二次函数的一般式是________，顶点坐标是________．3．抛物线y＝x2＋2x－4的对称轴是________，开口方向是________，顶点坐标是________．4.抛物线y＝2(x－2)(x－3)与x轴的交点为________.5.已知抛物线与x轴的交点为(－1，0)，(1，0)，并经过点(0，1)，则抛物线的表达式为________.师生活动：学生自主解答上述问题，教师进行个别指导，然后进行点评和总结.学，为本节课学好新知做铺垫.(续表)活动一：创设情境导入新课【课堂引入】竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地用公式h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0(m)是抛出时的高度，v0(m/s)是抛出时的速度．一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图2－5－4所示．(1)h与t的关系式是什么？(2)小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？与同伴进行交流．图2－5－4由学生熟悉的实例引入，配以课件演示，激发学生的学习热情，在教与学的双边活动中营造出了一个宽松的课堂气氛，活跃了学生的思维，从而顺利引出课题．活动二：实践【探究1】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解的关系．让学生通过自己动手去画二次函数图象，可以使其进一步复习掌握二3探究交流新知问题：画函数y＝x2－2x－3的图象，根据图象回答下列问题：(1)图象与x轴的交点坐标是什么？(2)当x取何值时，y＝0？这里x的取值与方程x2－2x－3＝0有什么关系？(3)你能从中得到什么启发？处理方式：1.先让学生回顾函数y＝ax2＋bx＋c图象的画法，按列表、描点、连线等步骤画出函数y＝x2－2x－3的图象．2．教师巡视，与学生合作、交流．3．教师讲评，并课件出示函数图象．4．教师引导学生观察函数图象，回答(1)提出的问题，得到图象与x轴交点的坐标分别是(－1，0)和(3，0)．5.让学生完成(2)的解答．教师巡视指导并讲评.6.对于问题(3)，教师组织学生分组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全班交流，达成共识：从“形”的方面看，函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交点的横坐标，即为方程x2－2x－3＝0的解；从“数”的方面看，当二次函数y＝x2－2x－3的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程x2－2x－3＝0的解．更一般地，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系．次函数图象的画法，巩固已学知识．通过把方程与函数统一起来，可以让学生体会数与形的结合带来的方便.4(续表)活动二：实践探究交流新知【探究2】二次函数与x轴的交点个数与一元二次方程的解的关系．[师]请同学们观察下列三个二次函数的图象，①y＝x2＋2x，②y＝x2－2x＋1，③y＝x2－2x＋2.(多媒体展示三个函数图象)并回答下列问题：图2－5－5(1)每个图象与x轴有几个交点？(2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0有几个实数根？用判别式验证一下．一元二次方程x2－2x＋2＝0有实数根吗？(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的坐标和一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根有什么关系？处理方式：让学生以小组为单位进行讨论，充分发表自己的见解，寻求最合理的答案．教师进行巡视，参与到学生的讨论之中，解答学生的疑难问题，获取信息，为讲解做准备．最后得出结论二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点．当二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y＝0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根．让学生直观感受到二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的三种情况，为探讨二次函数与一元二次方程之间的关系做铺垫，学生很容易发现二者之间的联系，进而降低了课本难度，利于学生理解和掌握新知.5活动三：开放训练体现应用【应用举例】例1(多媒体展示)我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地用公式h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0(m)是抛出时的高度，图2－5－6v0(m/s)是抛出时的速度．一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图2－5－6所示.(1)h与t的关系式是什么？(2)小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？与同伴进行交流.处理方式：请大家先进行讨论，发表自己的看法，然后再解答，并找学生板演解题过程.(1)h与t的关系式为h＝－5t2＋v0t＋h0，其中v0为40m/s，小球从地面被抛起，所以h0＝0.把v0，h0代入上式即可求出h与t的关系式.(2)小球落地时h为0，所以只要令h＝－5t2＋v0t＋h0中的h为0，求出t即可．还可以通过观察图象得到.例2已知抛物线y＝x2＋(1－2a)x＋a2(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点．(1)求a的取值范围，并证明A，B两点都在原点O的左侧；(2)若抛物线与y轴交于点C，且OA＋OB＝OC－2，求a的值．图2－5－7解：(1)由题意可知Δ0，即(1－2a)2－4a20，解得a14.∴a14且a≠0.通过这两个实际问题使学生进一步地理解和掌握二次函数和一元二次方程之间的联系，同时利用两种不同的方法进行求解，体现了解题方法的灵活性，同时也使学生进一步感受到数形结合的解题思想，也可以体会两种解题方法的不同之处和内在联系.6(续表)活动三：开放训练体现应用又∵x1·x2＝a20，∴x1，x2同号．又∵x1＋x2＝2a－10，∴x1，x2同负号，∴A，B两点都在原点O的左侧．(2)∵OA＋OB＝OC－2，∴－x1＋(－x2)＝a2－2，∴－(2a－1)＝a2－2，a2＋2a－3＝0，解得a1＝－3，a2＝1.又∵a14且a≠0，∴a＝－3.【拓展提升】例3二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图2－5－8所示，对称轴是直线x＝1，则下列四个结论错误的是(D)图2－5－8A．c＞0B．2a＋b＝0C．b2－4ac＞0D．a－b＋c＞0例4如图2－5－9，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴交于点B，对称轴是x＝－3，请回答下列问题：(1)求抛物线的表达式；图2－5－9(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．注：(抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是x＝－b2a)解：(1)∵抛物线的对称轴是x＝－3，∴－3＝－b2a＝－b2，解得b＝6，∴抛物线的表达式是y＝x2＋6x＋c.把点A(－4，－3)代入y＝x2＋6x＋c中，得16－24＋c＝－3，解得c＝5.∴抛物线的表达式是y＝x2＋6x＋5.(2)如图2－5－10，∵CD∥x轴，图2－5－10∴点C与点D关于直线x＝－3对称.题目由易到难，层层深入，收到了较好的教学效果．而且学生通过解题，巩固了所学的知识，培养了学生熟练、准确、快速、合理的运算能力.7∵点C在对称轴左侧，且CD＝8，∴点C的横坐标为－7.∴点C的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.∵点B的坐标为(0，5)，∴△BCD中CD边上的高为12－5＝7.∴△BCD的面积＝12×8×7＝28.【板书设计】提纲挈领，重点突出.【教学反思】①[授课流程反思]通过问题情景的设置，让学生能带着求知欲进行这节课的学习．复习回顾、置疑导入等环节，也充分调动了学生学习的积极性，为新课的学习做了铺垫.②[讲授效果反思]教师引导学生注意以下几点：(1)抛物线与坐标轴交点的求法，即令x＝0或y＝0，然后求出相应的纵坐标或横坐标；(2)抛物线与x轴交点个数可通过计算“b2－4ac”进行判断．教学过程中，以学生为主体，通过学生自主探索和合作交流，真正理解和掌握二次函数与一元二次方程之间的关系.③师生互动反思______________________________________________________________________________________________________④[习题反思]好题题号反思，更进一步提升.8课题第2课时利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根授课人教学目标知识技能复习巩固用函数y＝ax2＋bx＋c的图象求方程ax2＋bx＋c＝0的解．数学思考让学生体验一元二次方程ax2＋bx＋c＝h的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c与直线y＝h(h是实数)图象交点的横坐标的探索过程，掌握用图象交点的方法求一元二次方程ax2＋bx＋c＝h的近似根．问题解决能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．情感态度利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路，体验数形结合思想．教学重点经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．教学难点利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．授课类型新授课课时教具多媒体课件教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标就是y＝0时的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根.我们还可以根据二次函数与x轴的交点情况，判断一元二次方程根的情况，即Δ＝b2－4ac决定抛物线与x轴的交点情况：二次函数y＝一元二次方程一元二次方程学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法.错题题号9ax2＋bx＋c的图象和x轴交点ax2＋bx＋c＝0的根ax2＋bx＋c＝0根的判别式Δ＝b2－4ac有两个交点有两个不相等的实数根b2－4ac0有一个交点有两个相等的实数根b2－4ac＝0没有交点没有实数根b2－4ac0活动一：创设情境导入新课【课堂引入】[师]上节课我们学习了二次函数的图象与一元二次方程的关系，请思考(出示画板课件)：图2－5－27[生]一元二次方程x2＋x－2＝0的根是二次函数y