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1二次函数本章总结提升问题1二次函数的图像和性质二次函数的图像是抛物线,它直观地揭示了二次函数的性质,你能根据二次函数y=ax2+bx+c的图像的开口方向、对称轴和顶点位置,说出二次函数y=ax2+bx+c的性质吗?例12018·枣庄如图5-T-1是二次函数y=ax2+bx+c图像的一部分,且过点A(3,0),二次函数图像的对称轴是直线x=1.下列结论,正确的是()图5-T-1A.b24acB.ac0C.2a-b=0D.a-b+c=0【归纳总结】二次函数y=ax2+bx+c的图像与系数的关系项目字母字母的符号图像的特征aa0开口向上a0开口向下bb=0对称轴为y轴ab0(b与a同号)对称轴在y轴左侧ab0(b与a异号)对称轴在y轴右侧cc=0经过原点c0与y轴正半轴相交c0与y轴负半轴相交b2-4acb2-4ac=0与x轴有唯一交点(顶点)b2-4ac0与x轴有两个不同的交点b2-4ac0与x轴没有交点2项目(续表)字母的符号图像的特征特殊关系当x=1时,y=a+b+c;当x=-1时,y=a-b+c;若a+b+c0,则x=1时,y0;若a-b+c0,则x=-1时,y0问题2二次函数图像的平移你知道二次函数y=ax2+k,y=a(x+h)2,y=a(x+h)2+k的图像与y=ax2的图像有怎样的位置关系吗?例2(1)将抛物线y=-2x2+1先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度后所得到的抛物线为()A.y=-2(x+1)2-1B.y=-2(x+1)2+3C.y=-2(x-1)2+1D.y=-2(x-1)2+3(2)2018·道里区二模将抛物线y=2x2经过怎样的平移可得到抛物线y=2(x+3)2+4()A.先向左平移3个单位长度,再向上平移4个单位长度B.先向左平移3个单位长度,再向下平移4个单位长度C.先向右平移3个单位长度,再向上平移4个单位长度D.先向右平移3个单位长度,再向下平移4个单位长度【归纳总结】二次函数的图像平移规律:3问题3用待定系数法求二次函数的表达式用待定系数法求二次函数的表达式的方法有哪些?待定系数的个数与问题中的条件数有什么关系?例3已知抛物线的顶点坐标是(1,-4),且经过点(0,-3),求该抛物线相应的函数表达式.【归纳总结】用待定系数法求二次函数的表达式:方法适用条件及求法一般式若已知条件是图像上的三个点,则设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,将已知三个点的坐标代入,求出a,b,c的值顶点式若已知二次函数图像的顶点坐标或对称轴与最大值(或最小值),设所求二次函数的表达式为y=a(x+h)2+k,将已知条件代入,求出待定系数a,最后将表达式化为一般式交点式若已知二次函数图像与x轴的两个交点的坐标为(x1,0),(x2,0),设所求二次函数的表达式为y=a(x-x1)(x-x2),将第三点(m,n)(其中m,n为已知数)或其他已知条件代入,求出待定系数a,最后将表达式化为一般式问题4应用二次函数模型解决实际问题在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题,其中一些问题可以归纳为求二次函数的最大值或最小值,请举例说明如何分析、解决这样的问题.例4某商品的进价为每件20元,售价为每件30元,每个月可卖出180件;若每件商品的售价每上涨1元,则每个月就会少卖出10件,但每件售价不能高于35元.设每件商品的售价上涨x元(x为整数),每个月的销售利润为y元.(1)求y与x之间的函数表达式,并直接写出自变量x的取值范围;(2)当每件商品的售价为多少元时,每个月可获得最大销售利润?最大销售利润是多少?(3)当每件商品的售价为多少元时,每个月的利润恰好是1920元?例52018·安徽模拟随着地铁和共享单车的发展,“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择,李华从文化宫站出发,先乘坐地铁,准备在离家较近的A,B,C,D,E中的某一站出地铁,再骑共享单车回家.设他出地铁的站点与文化宫的距离为x(单位:千米),乘坐地铁的时间y1(单位:分)是关于x的一次函数,其关系如下表:地铁站ABCDEx(千米)891011.513y1(分)1820222528(1)求y1关于x的函数表达式;(2)若李华骑单车的时间y2(单位:分)与x满足关系式y2=ax2+bx+78,且此函数图像4的对称轴为直线x=11,当李华选择在C站出地铁时,还需骑单车18分钟才能到家,试求y2与x之间的函数关系式;(3)李华应选择在哪一站出地铁,才能使他从文化宫回到家所用的总时间最短?求出最短时间(其他环节时间忽略不计).问题5数形结合思想我们曾通过“读”一次函数的图像,发现了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系.你能通过“读”二次函数的图像发现二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间有什么联系吗?例6自主学习,请阅读下列解题过程.解一元二次不等式:x2-5x>0.解:设x2-5x=0,解得x1=0,x2=5,则抛物线y=x2-5x与x轴的交点坐标为(0,0)和(5,0).画出二次函数y=x2-5x的大致图像(如图5-T-2所示),由图像可知:当x<0或x>5时,函数图像位于x轴上方,此时y>0,即x2-5x>0,所以一元二次不等式x2-5x>0的解集为x<0,或x>5.通过对上述解题过程的学习,按其解题的思路和方法解答下列问题:(1)上述解题过程中,渗透了下列数学思想中的________和________.(只填序号)①转化思想;②分类讨论思想;③数形结合思想.(2)一元二次不等式x2-5x<0的解集为________.(3)用类似的方法解一元二次不等式:x2-2x-3>0.图5-T-2【归纳总结】本章中从始至终都贯彻了数形结合思想,从二次函数的图像开始研究其开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值及其平移变化规律,到利用二次函数图像解一元二次方程以及求一元二次不等式的解集,再到利用图像求函数表达式和解决实际问题,都体现了数形结合的思想.5详解详析【整合提升】例1[解析]D∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,即b2>4ac,∴A选项错误;∵抛物线开口向上,∴a>0.∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,∴c<0,∴ac<0,∴B选项错误;∵二次函数图像的对称轴是直线x=1,∴-b2a=1,∴2a+b=0,∴C选项错误;∵抛物线过点A(3,0),二次函数图像的对称轴是直线x=1,∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-1,0),∴a-b+c=0,∴D选项正确.故选D.例2(1)[解析]D由平移与坐标的关系可知,左右平移改变自变量x的取值(左加右减),上下平移改变函数的值(上加下减),故将抛物线y=-2x2+1先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度后所得到的抛物线为y=-2(x-1)2+1+2,即y=-2(x-1)2+3.故选D.(2)[解析]A抛物线y=2x2的顶点坐标为(0,0),抛物线y=2(x+3)2+4的顶点坐标为(-3,4),点(0,0)需要先向左平移3个单位长度,再向上平移4个单位长度得到点(-3,4),∴抛物线y=2x2先向左平移3个单位长度,再向上平移4个单位长度得到抛物线y=2(x+3)2+4.故选A.[点评]二次函数的图像平移规律:将抛物线y=ax2向上平移k(k0)个单位长度所得抛物线的函数表达式为y=ax2+k,向下平移k(k0)个单位长度所得抛物线的函数表达式为y=ax2-k;向左平移h(h0)个单位长度所得抛物线的函数表达式为y=a(x+h)2;向右平移h(h0)个单位长度所得抛物线的函数表达式为y=a(x-h)2.这一规律可简记为“上加下减,左加右减”;若抛物线的函数表达式是一般式,则需要将其化为顶点式后,再按此平移规律解答.例3[解析]设顶点式y=a(x-1)2-4,然后把(0,-3)代入求出a即可得到抛物线的表达式.解:设抛物线相应的函数表达式为y=a(x-1)2-4.把(0,-3)代入,得-3=(0-1)2a-4,解得a=1,所以该抛物线相应的函数表达式为y=(x-1)2-4,即y=x2-2x-3.例4解:(1)由题意,得y=(30-20+x)(180-10x)=-10x2+80x+1800(0≤x≤5,且x为整数).(2)∵y=-10x2+80x+1800=-10(x-4)2+1960,∴当x=4时,y取得最大值.即当每件商品的售价为34元时,每个月可获得最大销售利润,最大销售利润为1960元.(3)由题意,得1920=-10x2+80x+1800,即x2-8x+12=0,解得x=2或x=6.∵0≤x≤5,∴x=2.即当每件商品的售价为32元时,每个月的利润恰好为1920元.例5解:(1)设y1=kx+b.将(8,18),(9,20)代入,得8k+b=18,9k+b=20,6解得k=2,b=2,∴y1=2x+2.将(10,22),(11.5,25),(13,28)分别代入y1=2x+2,均成立.故y1关于x的函数表达式为y1=2x+2.(2)由题意,得-b2a=11,100a+10b+78=18,解得a=12,b=-11,∴y2=12x2-11x+78.(3)设李华从文化宫回到家所需的时间为y分钟,则y=y1+y2=2x+2+12x2-11x+78=12x2-9x+80=12(x-9)2+39.5.∵a=12>0,∴当x=9时,y有最小值,y最小值=39.5.故李华应选择在B站出地铁,才能使他从文化宫回到家所用的时间最短,最短时间为39.5分钟.例6[解析](1)根据题意容易得出结论;(2)由图像可知:当0<x<5时,函数图像位于x轴下方,此时y<0,即x2-5x<0,从而可得出结果;(3)设x2-2x-3=0,解方程得出抛物线y=x2-2x-3与x轴的交点坐标,画出二次函数y=x2-2x-3的大致图像,由图像可知:当x<-1或x>3时函数图像位于x轴上方,此时y>0,即x2-2x-3>0,从而得出结果.解:(1)①③(2)由图像可知:当0<x<5时,函数图像位于x轴下方,此时y<0,即x2-5x<0,∴一元二次不等式x2-5x<0的解集为0<x<5.故答案为0<x<5.(3)设x2-2x-3=0.解得x1=3,x2=-1,∴抛物线y=x2-2x-3与x轴的交点坐标为(3,0)和(-1,0).画出二次函数y=x2-2x-3的大致图像(如图所示).由图像可知:当x<-1或x>3时,函数图像位于x轴上方,此时y>0,即x2-2x-3>0,∴一元二次不等式x2-2x-3>0的解集为x<-1或x>3.项目字母
本文标题:2018-2019学年度九年级数学下册 第5章 二次函数本章总结提升同步练习 (新版)苏科版
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