2018-2019学年高中数学 第一章 三角函数 第2节 任意角的三角函数（第3课时）同角三角函数的

1课下能力提升(五)[学业水平达标练]题组1利用同角三角函数的基本关系求值1．若α是第二象限的角，则下列各式中成立的是()A．tanα＝－sinαcosαB．cosα＝－1－sin2αC．sinα＝－1－cos2αD．tanα＝cosαsinα解析：选B由同角三角函数的基本关系式，知tanα＝sinαcosα，故A，D错误；又因为α是第二象限角，所以sinα0，cosα0，故C错误．2．已知角α的终边经过点(6,8)，则sinα＋cosαsinα－cosα＝()A.35B.45C．7D.17解析：选C由三角函数的定义可知tanα＝43，所以sinα＋cosαsinα－cosα＝tanα＋1tanα－1＝7.3．若cosα＝－45，α是第三象限角，则sinα＝________，tanα＝________.解析：由sin2α＋cos2α＝1得sin2α＝1－cos2α＝1－－452＝925.已知α是第三象限角，则sinα＜0，于是sinα＝－35.从而tanα＝sinαcosα＝－35×－54＝34.答案：－35344．已知2cos2α＋3cosαsinα－3sin2α＝1，α∈－3π2，－π.求：(1)tanα；(2)2sinα－3cosα4sinα－9cosα.解：(1)2cos2α＋3cosαsinα－3sin2α＝2cos2α＋3cosαsinα－3sin2αsin2α＋cos2α＝2＋3tanα－3tan2α1＋tan2α，2则2＋3tanα－3tan2α1＋tan2α＝1，即4tan2α－3tanα－1＝0.解得tanα＝－14或tanα＝1.∵a∈－3π2，－π，∴α为第二象限角，∴tanα＜0，∴tanα＝－14.(2)原式＝2sinαcosα－3cosαcosα4sinαcosα－9cosαcosα＝2tanα－34tanα－9＝－2×14－3－4×14－9＝720.题组2sinθ±cosθ与sinθcosθ关系的应用5．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝59，则sinθcosθ的值为()A.23B．－23C.13D．－13解析：选A由sin4θ＋cos4θ＝59，得(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝59.∴sin2θcos2θ＝29.∵θ是第三象限角，∴sinθ＜0，cosθ＜0，∴sinθcosθ＝23.6．已知sinβ＋cosβ＝15，且0βπ，则sinβ－cosβ＝________.解析：由sinβ＋cosβ＝15，得sin2β＋2sinβcosβ＋cos2β＝1＋2sinβcosβ＝125.∴sinβcosβ＝－1225.∴(sinβ－cosβ)2＝1－2sinβcosβ＝4925.∵sinβcosβ0，且0βπ，∴sinβ0，cosβ0.∴sinβ－cosβ＝75.答案：757．已知0＜θ＜π，且sinθ－cosθ＝15，求sinθ＋cosθ，tanθ的值．3解：∵sinθ－cosθ＝15，∴(sinθ－cosθ)2＝125.解得sinθcosθ＝1225.∵0＜θ＜π，且sinθ·cosθ＝1225＞0，∴sinθ＞0，cosθ＞0.∴sinθ＋cosθ＝θ＋cosθ2＝1＋2sinθcosθ＝1＋2425＝75.由sinθ－cosθ＝15，sinθ＋cosθ＝75，得sinθ＝45，cosθ＝35，∴tanθ＝sinθcosθ＝43.题组3三角函数式的化简与证明8．(1)化简：1sinα＋1tanα(1－cosα)＝________.(2)若α为第二象限角，化简tanα·1sin2α－1＝________.解析：(1)原式＝1sinα＋cosαsinα(1－cosα)＝1＋cosαsinα·(1－cosα)＝1－cos2αsinα＝sin2αsinα＝sinα.(2)原式＝tanα·1－sin2αsin2α＝sinαcosα·|cosα||sinα|.因为α为第二象限的角，所以cosα0，sinα0，原式＝sinαcosα·－cosαsinα＝－1.答案：(1)sinα(2)－19．求证：tanαsinαtanα－sinα＝tanα＋sinαtanαsinα.证明：法一：∵右边＝tan2α－sin2αα－sinααsinα＝tan2α－tan2αcos2αα－sinααsinα＝tan2α－cos2αα－sinααsinα＝tan2asin2αα－sinααsinα＝tanαsinαtanα－sinα＝左边，∴原等式成立．4法二：∵左边＝tanαsinαtanα－tanαcosα＝sinα1－cosα，右边＝tanα＋tanαcosαtanαsinα＝1＋cosαsinα＝1－cos2αsinα－cosα＝sin2αsinα－cosα＝sinα1－cosα，∴左边＝右边，原等式成立．[能力提升综合练]1．已知sinα＝55，则sin4α－cos4α的值为()A．－15B．－35C.15D.35解析：选B∵sinα＝55，∴cos2α＝1－sin2α＝1－15＝45.sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝552－45＝15－45＝－35.故选B.2．若α为第三象限角，则cosα1－sin2α＋2sinα1－cos2α的值为()A．3B．－3C．1D．－1解析：选B∵α为第三象限角，∴原式＝cosα－cosα＋2sinα－sinα＝－3.3．若sinθ＋sin2θ＝1，则cos2θ＋cos6θ＋cos8θ的值为()A．0B．1C．－1D.5－12解析：选B由sinθ＋sin2θ＝1，得sinθ＝1－sin2θ＝cos2θ，∴cos2θ＋cos6θ＋cos8θ＝sinθ＋sin3θ＋sin4θ＝sinθ＋sin2θ(sinθ＋sin2θ)＝sinθ＋sin2θ＝1.4．若β∈[0,2π)，且1－cos2β＋1－sin2β＝sinβ－cosβ，则β的取值范围是()A.0，π2B.π2，πC.π，3π2D.3π2，2π解析：选B∵1－cos2β＋1－sin2β＝|sinβ|＋|cosβ|＝sinβ－cosβ，∴sinβ≥0且cosβ≤0.又∵β∈[0,2π)，∴β∈π2，π.故选B.55．已知sinθ＝m－3m＋5，cosθ＝4－2mm＋5(m≠0)，则m＝______，tanθ＝________.解析：∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴m－2m＋2＋－2m2m＋2＝1.得m＝0(舍)，或m＝8.∴sinθ＝513，cosθ＝－1213，tanθ＝sinθcosθ＝－512.答案：8－5126．已知α∈π4，3π4，且1＋2sinαcosα＋1－2sinαcosαcosα＝4，则sinα－cosα2sinα＋cosα＝________.解析：∵1＋2sinαcosα＝(sinα＋cosα)2,1－2sinαcosα＝(sinα－cosα)2，∴1＋2sinαcosα＝|sinα＋cosα|，1－2sinαcosα＝|sinα－cosα|.又∵α∈π4，3π4，∴sinα＋cosα0，sinα－cosα0.由题意，得α＋cosα＋α－cosαcosα＝4，sinα＝2cosα.∴sinα－cosα2sinα＋cosα＝2cosα－cosα4cosα＋cosα＝15.答案：157．证明：1－cos2αsinα－cosα－sinα＋cosαtan2α－1＝sinα＋cosα.证明：左边＝sin2αsinα－cosα－sinα＋cosαsin2αcos2α－1＝sin2αsinα－cosα－sinα＋cosαsin2α－cos2αcos2α＝sin2αsinα－cosα－cos2αα＋cosαsin2α－cos2α＝sin2αsinα－cosα－cos2αsinα－cosα＝sin2α－cos2αsinα－cosα＝sinα＋cosα＝右边．∴原式成立．8．已知关于x的方程2x2－(3＋1)x＋m＝0的两根为sinθ和cosθ，θ∈(0,2π)，求：6(1)sinθ1－1tanθ＋cosθ1－tanθ的值；(2)m的值；(3)方程的两根及θ的值．解：因为已知方程有两根，所以sinθ＋cosθ＝3＋12，①sinθcosθ＝m2，②Δ＝4＋23－8m≥0.③(1)sinθ1－1tanθ＋cosθ1－tanθ＝sin2θsinθ－cosθ＋cos2θcosθ－sinθ＝sin2θ－cos2θsinθ－cosθ＝sinθ＋cosθ＝3＋12.(2)对①式两边平方，得1＋2sinθcosθ＝2＋32，所以sinθcosθ＝34.由②，得m2＝34，所以m＝32.由③，得m≤2＋34，所以m＝32.(3)因为m＝32，所以原方程为2x2－(3＋1)x＋32＝0.解得x1＝32，x2＝12，所以sinθ＝32，cosθ＝12或cosθ＝32，sinθ＝12.又因为x∈(0,2π)，所以θ＝π3或θ＝π6.7