2018-2019学年高中数学 第一章 三角函数 第4节 三角函数的图象与性质（第2课时）正弦函数、

1课下能力提升(九)[学业水平达标练]题组1正、余弦函数的周期性1．下列函数中，周期为π2的是()A．y＝sinx2B．y＝sin2xC．y＝cosx4D．y＝cos4x解析：选D由公式T＝2π|ω|可得，选D.2．函数y＝cosk4x＋π3(k＞0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是________．解析：由T＝2πk4≤2，解得k≥4π，又k∈Z，∴满足题意的最小值是13.答案：13题组2正、余弦函数的奇偶性3．函数f(x)＝sinx1＋cosx的奇偶性是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数解析：选A因为f(x)的定义域为{x|x≠2kπ＋π，k∈Z}关于原点对称，又f(－x)＝－x1＋－x＝－sinx1＋cosx＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故选A.4．函数y＝sin12x－φ(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是()A．0B.π4C.π2D．π解析：选C由题意，得sin(－φ)＝±1，即sinφ＝±1.因为φ∈[0，π]，所以2φ＝π2.故选C.题组3正、余弦函数的单调性5．下列函数中，周期为π，且在π4，π2上为减函数的是()A．y＝sin2x＋π2B．y＝cos2x＋π2C．y＝sinx＋π2D．y＝cosx＋π2解析：选A因为函数的周期为π，所以排除C、D.又因为y＝cos2x＋π2＝－sin2x在π4，π2上为增函数，故B不符．只有函数y＝sin2x＋π2的周期为π，且在π4，π2上为减函数．6．sin3π5，sin4π5，sin9π10，从大到小的顺序为________．解析：∵π2＜3π5＜4π5＜9π10＜π，又函数y＝sinx在π2，π上单调递减，∴sin3π5＞sin4π5＞sin9π10.答案：sin3π5＞sin4π5＞sin9π107．求函数y＝13sinπ6－x，x∈[0，π]的单调递增区间．解：由y＝－13sinx－π6的单调性，得π2＋2kπ≤x－π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，即2π3＋2kπ≤x≤5π3＋2kπ，k∈Z.又x∈[0，π]，故2π3≤x≤π.即单调递增区间为2π3，π.题组4正、余弦函数的最值问题8．函数y＝|sinx|＋sinx的值域为()A．[－1,1]B．[－2,2]3C．[－2,0]D．[0,2]解析：选D∵y＝|sinx|＋sinx＝2sinxx，x＜又∵－1≤sinx≤1，∴y∈[0,2]，即函数的值域为[0,2]9．已知函数y＝a－bcos2x＋π6(b＞0)的最大值为32，最小值为－12.(1)求a，b的值；(2)求函数g(x)＝－4asinbx－π3的最小值并求出对应x的集合．解：(1)cos2x＋π6∈[－1,1]，∵b＞0，∴－b＜0.∴ymax＝b＋a＝32，ymin＝－b＋a＝－12.∴a＝12，b＝1.(2)由(1)知g(x)＝－2sinx－π3，∵sinx－π3∈[－1,1]，∴g(x)∈[－2,2]．∴g(x)的最小值为－2，此时，sinx－π3＝1.对应x的集合为x|x＝2kπ＋5π6，k∈Z.[能力提升综合练]1．函数y＝sin2x＋5π2的一个对称中心是()A.π8，0B.π4，0C.－π3，0D.3π8，0解析：选B对称中心为曲线与x轴的交点，将四个点代入验证，只有π4，0符合要求．2．下列关系式中正确的是()A．sin11°＜cos10°＜sin168°B．sin168°＜sin11°＜cos10°4C．sin11°＜sin168°＜cos10°D．sin168°＜cos10°＜sin11°解析：选Csin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝cos(90°－80°)＝sin80°.因为正弦函数y＝sinx在区间0，π2上为增函数，所以sin11°＜sin12°＜sin80°，即sin11°＜sin168°＜cos10°.3．函数y＝sinx的定义域为[a，b]，值域为－1，12，则b－a的最大值和最小值之和等于()A.4π3B.8π3C．2πD．4π解析：选C如图，当x∈[a1，b]时，值域为－1，12，且b－a最大．当x∈[a2，b]时，值域为－1，12，且b－a最小．∴最大值与最小值之和为(b－a1)＋(b－a2)＝2b－(a1＋a2)＝2×π6＋π2＋7π6＝2π.4．关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下命题：①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；②不存在φ，使f(x)既是奇函数，又是偶函数；③存在φ，使f(x)是奇函数；④对任意的φ，f(x)都不是偶函数．其中的错误命题是________．(写出所有错误命题的序号)解析：易知②③成立，令φ＝π2，f(x)＝cosx是偶函数，①④都不成立．答案：①④5．若函数f(x)＝sinωx(ω＞0)在区间0，π3上单调递增，在区间π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析：由题意知f(x)的周期T＝4π3，则ω＝2πT＝32.答案：326．函数y＝cosx在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．解析：∵y＝cosx在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，∴只有－πa≤0时，满足条件．故a的取值范围是(－π，0]．5答案：(－π，0]7．已知ω是正数，函数f(x)＝2sinωx在区间－π3，π4上是增函数，求ω的取值范围．解：由2kπ－π2≤ωx≤2kπ＋π2(k∈Z)得－π2ω＋2kπω≤x≤π2ω＋2kπω(k∈Z)．∴f(x)的单调递增区间是－π2ω＋2kπω，π2ω＋2kπω(k∈Z)．据题意：－π3，π4⊆－π2ω＋2kπω，π2ω＋2kπω(k∈Z)．从而有－π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω＞0，解得0＜ω≤32.故ω的取值范围是0，32.8．已知f(x)＝－2asin2x＋π6＋2a＋b，x∈π4，3π4，是否存在常数a，b∈Q，使得f(x)的值域为{y|－3≤y≤3－1}？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．解：∵π4≤x≤3π4，∴2π3≤2x＋π6≤5π3，∴－1≤sin2x＋π6≤32.假设存在这样的有理数a，b，则当a＞0时，－3a＋2a＋b＝－3，2a＋2a＋b＝3－1，解得a＝1，b＝3－5(不合题意，舍去)；当a＜0时，2a＋2a＋b＝－3，－3a＋2a＋b＝3－1，解得a＝－1，b＝1.故a，b存在，且a＝－1，b＝1.6