2018-2019学年高中数学 第一章 三角函数 第6节 三角函数模型的简单应用课下能力提升（十二）

1课下能力提升(十二)[学业水平达标练]题组1三角函数在物理中的应用1.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝6sin2πt＋π6，那么单摆来回摆动一次所需的时间为()A．2πsB．πsC．0.5sD．1s解析：选D单摆来回摆动一次所需的时间为函数s＝6sin2πt＋π6的周期．又因为T＝2π2π＝1，所以单摆来回摆动一次所需的时间为1s，故选D.2．如图是一个单摆的振动图象，根据图象回答下面问题：(1)单摆的振幅为________；(2)振动频率为________．解析：由题中图象，可知(1)单摆的振幅是1cm；(2)单摆的振动频率是1.25Hz.答案：(1)1cm(2)1.25Hz题组2三角函数在实际问题中的应用3．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sint2(t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的？()A．[0,5]B．[5,10]C．[10,15]D．[15,20]解析：选C由2kπ－π2≤t2≤2kπ＋π2，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10,15]⊆[3π，5π]，故选C.4．如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间x(秒)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有()A．ω＝2π15，A＝3B．ω＝152π，A＝3C．ω＝2π15，A＝5D．ω＝152π，A＝52解析：选A周期T＝15秒，ω＝2πT＝2π15.由图可知，水轮最高点距离水面5米，故A＋2＝5，即A＝3.5．如图为2018年某市某天中6h至14h的温度变化曲线，其近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A0，ω0，π2φπ)的半个周期的图象，则该天8h的温度大约为()A．16℃B．15℃C．14℃D．13℃解析：选D由题意得A＝12×(30－10)＝10，b＝12×(30＋10)＝20.∵2×(14－6)＝16，∴2πω＝16，∴ω＝π8，∴y＝10sinπ8x＋φ＋20，将x＝6，y＝10代入得10sinπ8×6＋φ＋20＝10，即sin3π4＋φ＝－1，由于π2φπ，可得φ＝3π4，∴y＝10sinπ8x＋3π4＋20，x∈[6,14]．当x＝8时，y＝10sinπ8×8＋34π＋20＝20－52≈13，即该天8h的温度大约为13℃，故选D.6.如图，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式；(其中t以年初以来的月为计量单位)(2)估计当年3月1日动物种群数量．解：(1)设种群数量y关于t的解析式为y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A0，ω0)，则－A＋b＝700，A＋b＝900，解得A＝100，b＝800.又周期T＝2×(6－0)＝12，∴ω＝2πT＝π6，∴y＝100sinπ6t＋φ＋800.又当t＝6时，y＝900，∴900＝100sinπ6×6＋φ＋800，3∴sin(π＋φ)＝1，∴sinφ＝－1，∴取φ＝－π2，∴y＝100sinπ6t－π2＋800.(2)当t＝2时，y＝100sinπ6×2－π2＋800＝750，即当年3月1日动物种群数量约是750.题组3建立三角函数模型解决实际问题7．设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时的时间t与水深y的关系：t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察，函数y＝f(t)的图象可近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象．下列函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的是()A．y＝12＋3sinπ6t，t∈[0,24]B．y＝12＋3sinπ6t＋π，t∈[0,24]C．y＝12＋3sinπ12t，t∈[0,24]D．y＝12＋3sinπ12t＋π2，t∈[0,24]解析：选Ay＝f(t)的关系对应的“散点图”如下：由“散点图”可知，k＝12，A＝3.周期T＝12，所以ω＝π6.又t＝0时，y＝12，t＝3时，y≈15.所以φ＝0.因此，y＝12＋3sinπ6t，故选A.[能力提升综合练]1．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙的位置将移至()4A．甲B．乙C．丙D．丁解析：选C该题目考查了最值与周期间的关系：相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度相差半个周期，故选C.2.如图是函数y＝sinx(0≤x≤π)的图象，A(x，y)是图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B(A，B可重合)．设线段AB的长为f(x)，则函数f(x)的图象是()解析：选A当x∈0，π2时，f(x)＝π－2x；当x∈π2，π时，f(x)＝2x－π，故选A.3．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知当时间t＝0时，点A的坐标是12，32，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是()A．[0,1]B．[1,7]C．[7,12]D．[0,1]和[7,12]解析：选D由已知可得该函数的周期T＝12，∴ω＝2πT＝π6.又∵当t＝0时，A12，32，∴y＝sinπ6t＋π3，t∈[0,12]．可解得函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．4.如图，半圆的直径为2，A为直径MN的延长线上一点，且OA＝2，B为半圆上任意一点，以AB为边作等边三角形ABC.当∠AOB＝x时，S四边形OACB等于()A．sinx5B．sinx－3cosx＋534C．－3cosx＋534D．sinx＋3cosx－534解析：选B如图，S四边形OACB＝S△AOB＋S△ABC.过点B作BD⊥MN于D，则BD＝BOsin(π－x)，即BD＝sinx.∴S△AOB＝12×2sinx＝sinx.∵OD＝BOcos(π－x)＝－cosx，∴AB2＝BD2＋AD2＝sin2x＋(－cosx＋2)2＝5－4cosx.∴S△ABC＝12AB·BC2－12AB2＝534－3cosx.∴S四边形OACB＝S△AOB＋S△ABC＝sinx－3cosx＋534.5．一根长acm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(cm)和时间t(s)的函数关系式是s＝3cosgat＋π3，t∈[)0，＋∞，则小球摆动的周期为________．解析：T＝2πga＝2π·ag.答案：2π·ag6．据市场调查，某种商品一年内每件的出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋BA0，ω0，|φ|π2的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元．根据以上条件可确定f(x)的解析式为________．解析：由条件可知，B＝7，A＝9－7＝2.又T＝2×(9－3)＝12，∴ω＝2π12＝π6.∵3月份达到最高价，∴3×π6＋φ＝π2，∴φ＝0.所以f(x)的解析式为f(x)＝2sinπ6x＋7.答案：f(x)＝2sinπ6x＋7(1≤x≤12，x∈N)7.如图，某市某天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函6数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.(1)求这一天最大的温差；(2)求这段曲线的函数解析式．解：(1)由图象得这一天的最高温度是－2℃，最低温度是－12℃，所以这一天最大的温差是－2－(－12)＝10(℃)．(2)由(1)得A＋b＝－2，－A＋b＝－12，解得A＝5，b＝－7.由图象得函数的周期T＝2×(14－6)＝16，则2πω＝16，解得ω＝π8.所以y＝5sinπ8x＋φ－7.由图象知点(6，－12)在函数的图象上，则－12＝5sinπ8×6＋φ－7，整理得sin3π4＋φ＝－1，所以3π4＋φ＝3π2＋2kπ，k∈Z，即φ＝3π4＋2kπ，k∈Z，则可取φ＝3π4.所以这段曲线的函数解析式是y＝5sinπ8x＋3π4－7(6≤x≤14)．8．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12h，低潮时水的深度为8.4m，高潮时为16m，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h.(1)若从10月10日0：00开始计算时间，试用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系；(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1m)(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3m?解：(1)依题意知T＝2πω＝12，故ω＝π6，h＝8.4＋162＝12.2，A＝16－12.2＝3.8，所以d＝3.8sinπ6t＋φ＋12.2；又因为t＝4时，d＝16，所以sin4π6＋φ＝1，所以φ＝－π6，所以d＝3.8sinπ6t－π6＋12.2.(2)t＝17时，d＝3.8sin17π6－π6＋12.2＝3.8sin2π3＋12.2≈15.5(m)．7(3)令3.8sinπ6t－π6＋12.210.3，有sinπ6t－π6－12，因此2kπ＋7π6π6t－π62kπ＋11π6(k∈Z)，所以2kπ＋4π3π6t2kπ＋2π，k∈Z，所以12k＋8t12k＋12.令k＝0，得t∈(8,12)；令k＝1，得t∈(20,24)．故这一天共有8h水深低于10.3m.8