2018-2019学年高中数学 第一章 坐标系 1.2.2 点的极坐标与直角坐标的互化课件 北师大版

-1-§2极坐标系-2-2.1极坐标系的概念2.2点的极坐标与直角坐标的互化首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习课程目标学习脉络1.能描述极坐标系,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置.2.体会并认识在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.3.熟悉极坐标和直角坐标相互转化公式,会进行两坐标的转化.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习1.极坐标系的概念(1)极坐标系的建立.如图,在平面内取一个定点O,叫作极点,从O点引一条射线Ox,叫作极轴,选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向).这样就确定了一个平面极坐标系,简称为极坐标系.(2)点的极坐标的规定.①如图,对于平面内任意一点M,用ρ表示线段OM的长,θ表示以Ox为始边、OM为终边的角,ρ叫作点M的极径,θ叫作点M的极角,有序实数对(ρ,θ)叫作点M的极坐标,记作M(ρ,θ).当点M在极点时,它的极径ρ=0,极角θ可以取任意值.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习②为了研究问题方便,极径ρ也允许取负值.当ρ0时,点M(ρ,θ)的位置可以按下列规则确定:作射线OP,使∠xOP=θ,在OP的反向延长线上取一点M,使|OM|=|ρ|,这样点M的坐标就是(ρ,θ),如下图:温馨提示建立极坐标系的四要素是:(1)极点,(2)极轴,(3)长度单位,(4)角度单位和它的正方向,四者缺一不可.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习自主思考1建立极坐标系有何意义?提示:我们已经知道,确定平面内一个点的位置时,有时是依靠水平距离与垂直距离(即“长度”与“高度”,这就是直角坐标系的基本思想)这两个量来刻画,有时却是依靠距离与方位角(即“长度”与“角度”,这就是极坐标系的基本思想)这两个量来刻画.在生活中,如在台风预报、地震预报、测量、航空、航海中,甚至更贴近我们生活的如我们听到的声音,不但有高低之分,还有方向之分,我们能够辨别出声源的相对位置,这些都要用距离和方向来确定一点的位置.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习有些复杂的曲线,比如说环绕一点作旋转运动的点的轨迹,用直角坐标表示,形式极其复杂,但用极坐标表示,就变得十分简单且便于处理.在应用上有重要价值的等速螺线,它的直角坐标x与y之间的关系很难确定,可是它的极坐标ρ与θ却有一个简单的一次函数关系,我们将在后一节的内容中学习极坐标形式下的一些简单曲线方程.总之,使用极坐标是人们生产生活的需要.平面内建立直角坐标系是人们公认的最容易接受并且被经常采用的方法,但它并不是确定点的位置的唯一方法.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习自主思考2如何理解点的极坐标的不唯一性?提示:(1)极点的极坐标极点的极径ρ=0,极角θ可以是任何实数,所以极点的极坐标为(0,θ)(θ∈R),也可以说,极点有无数个极坐标.(2)点的极坐标的多样性平面上给定一点,可以写出这个点的无数多个极坐标,根据点的极坐标(ρ,θ)的定义,对于给定的点(ρ,θ)有无数个极坐标,可分为两类,一类是(ρ,θ+2kπ)(k∈Z),另一类为(-ρ,θ+2kπ)(k∈Z).JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习(3)点与坐标的对应关系平面内一点的极坐标可以有无数对.当k∈Z时,(ρ,θ),(ρ,θ+2kπ),(-ρ,θ+(2k+1)π)表示同一个点,而用平面直角坐标表示点时,每一个点的坐标是唯一的.但是,建立了极坐标系后,如果规定ρ0,0≤θ2π或者-πθ≤π,那么除极点外,平面内的点和极坐标就一一对应了.建立了极坐标系后,对于给定的ρ和θ,就可以在平面内确定唯一的点M;反过来,对于给定的平面内的一点M,也可以写出它的极坐标(ρ,θ).JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习2.点的极坐标与直角坐标的互化(1)互化的前提条件.如图,建立一个平面直角坐标系,把平面直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,建立极坐标系,并且两种坐标系中取相同的单位长度.(2)互化公式.如上图,设M是平面内的任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ).如果限定ρ取正值,θ∈[0,2π),那么除原点外,平面内点的直角坐标与极坐标之间就是一一对应的.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习①点M的极坐标(ρ,θ)化为直角坐标(x,y)的公式是𝑥=ρcos𝜃,𝑦=ρsin𝜃.②点M的直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ)的公式是𝜌2=𝑥2+𝑦2,tan𝜃=𝑦𝑥(x≠0).自主思考3由tanθ确定角θ时,应注意哪些问题?提示:通常情况下,由tanθ确定角θ时,应根据点P所在象限取最小正角.在这里要注意,当x≠0时,角θ才能由tanθ=𝑦𝑥按上述方法确定.当x=0时,tanθ没有意义,这时又分三种情况:①当x=0,y=0时,θ可取任何值;②当x=0,y0时,可取θ=π2;③当x=0,y0时,可取θ=3π2.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究一极坐标系中点的表示1.写点的极坐标要注意顺序;极径ρ在前,极角θ在后,不能把顺序搞错.2.点的极坐标是不唯一的,但若限制ρ0,0≤θ2π,则除极点外,点的极坐标是唯一确定的.【典型例题1】在极坐标系中,下列各点中与2,π6不表示同一个点的是()A.2,-116πB.2,136πC.2,116πD.2,-236πZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四思路分析:在极坐标系中,终边相同的角可以表示为α=2kπ+θ(k∈Z),极径相等,极角的终边相同的点为同一个点,所有与(ρ,θ)相同的点可以表示为(ρ,θ+2kπ)(k∈Z),即极径相等,极角相差2π的整数倍,从而作出判断.解析:与极坐标2,π6相同的点可以表示为2,π6+2kπ(k∈Z),只有2,116π不合适.答案:CZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四点评在极坐标系中,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)表示同一个点.特别注意,极点O的坐标为(0,θ)(其中θ可以取任意值).这与直角坐标系中的点与有序实数对一一对应的关系不同,极坐标平面内的点的极坐标可以有无数多种表示.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四【典型例题2】写出图中A,B,C,D,E,F,G各点的极坐标(ρ0,0≤θ2π).ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四思路分析:极径ρ是点到极点O的距离,极角θ是以极轴为始边,终边过极点的在[0,2π)内的角.解:这些点的极坐标分别为A7,π6,B3,34π,C4,76π,D5,74π,E(9,0),F(2,π),G9,32π.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究二极坐标系中点与点的位置关系1.同一个点:如极坐标系中点4,π6,4,π6+2π,4,π6+4π,4,π6+6π,4,π6-2π,由终边相同的角的定义可知上述点的终边相同,并且到极点的距离相等,这样,它们就表示平面上的同一个点,实际上,4,π6+2kπ(k∈Z)都表示这个点.于是,一般地,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)表示平面内的同一个点.特别地,极点O的坐标为(0,θ)(θ∈R),也是平面内的同一个点,这样我们就有平面内的一个点的极坐标有无数多种表示.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四2.位于同一个圆上的点:如极坐标分别为(4,0),4,π6,4,π3,4,π2,它们的极角不相等,也不再是终边相同的角,所有这些点在以极点为圆心,以4为半径的圆上,因而(ρ,θ)(这里ρ为定值,θ∈[0,2π))点的轨迹就是以极点为圆心,以ρ为半径的圆.3.对称性:(ρ,θ)(θ∈[0,2π))关于极轴的对称点为(ρ,2π-θ),关于极点的对称点为(ρ,π+θ),关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点为(ρ,π-θ).4.共线的点:如果极坐标为(ρ,θ),其中θ为常数,ρ0,则表示与极轴成θ角的直线.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四【典型例题3】在极坐标系中,点A的极坐标是3,π6,则(1)点A关于极轴的对称点是;(2)点A关于极点的对称点的极坐标是;(3)点A关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是.(规定ρ0,θ∈[0,2π))ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四解析:如图所示,在对称的过程中极径的长度始终没有变化,主要在于极角的变化.另外,我们要注意:极角是以x轴正向为始边,按照逆时针方向得到的.答案:(1)3,11π6(2)3,7π6(3)3,5π6ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四点评若θ∈R,则在极坐标系中,点(ρ,θ)关于极轴所在直线对称的点的极坐标为(ρ,2kπ-θ)(k∈Z),关于直线θ=π2对称的点的极坐标为(ρ,2kπ+π-θ)(k∈Z),关于极点对称的点的极坐标为(ρ,θ+π+2kπ)(k∈Z).ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究三点的极坐标与直角坐标的互化直角坐标与极坐标互化时,先要注意两个坐标系是否满足要求(极点与原点重合,极轴与x轴正方向重合).点的极坐标(ρ,θ),直角坐标(x,y).极坐标化直角坐标,利用公式𝑥=𝜌cos𝜃,𝑦=𝜌sin𝜃;直角坐标化极坐标,利用公式𝜌2=𝑥2+𝑦2,tan𝜃=𝑦𝑥(x≠0).【典型例题4】(1)已知点的极坐标分别为A3,-π4,B2,-2π3,C32,-π,D4,-π2,求它们的直角坐标;(2)已知点的直角坐标分别为A(3,-3),B0,53,C(-2,23),求它们的极坐标,其中极角θ∈[0,2π).ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四思路分析:直接利用直角坐标和极坐标的互化公式进行转化即可.解:(1)根据x=ρcosθ,y=ρsinθ得A322,-322,B(-1,-3),C-32,0,D(0,-4).(2)根据ρ2=x2+y2,tanθ=𝑦𝑥得A23,11π6,B53,π2,C4,2π3.点评将极坐标化为直角坐标,只需利用公式𝑥=𝜌cos𝜃,𝑦=𝜌sin𝜃.已知点的直角坐标求极坐标时,关键是