2018-2019学年高中数学 第一章 坐标系 1.2.3 直线和圆的极坐标方程 1.2.4 曲线的

-1-2.3直线和圆的极坐标方程2.4曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化*2.5圆锥曲线统一的极坐标方程首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习课程目标学习脉络1.能在极坐标系中,求直线或圆的极坐标方程.2.会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化.3.了解圆锥曲线统一的极坐标方程.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习1.曲线的极坐标方程与极坐标方程的曲线在极坐标系中,曲线可以用含有ρ,θ这两个变量的方程φ(ρ,θ)=0来表示.如果曲线C上的点与一个二元方程φ(ρ,θ)=0建立了如下关系:(1)曲线C上的每个点的极坐标中至少有一组(ρ,θ)满足方程φ(ρ,θ)=0;(2)极坐标满足方程φ(ρ,θ)=0的点都在曲线C上.那么方程φ(ρ,θ)=0叫作曲线C的极坐标方程,曲线C叫作极坐标方程φ(ρ,θ)=0的曲线.温馨提示由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,因此曲线的极坐标方程与直角坐标方程也有不同之处.一条曲线上点的极坐标有多种表示形式,因此要求至少有一组能满足极坐标方程.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习2.直线的极坐标方程直线的极坐标方程的常见形式直线在相应极坐标系中的位置①经过极点,与极轴所成的角为θ0的直线的极坐标方程为θ=θ0(ρ∈R).②在极点右方,垂直于极轴,与极点距离为a的直线的极坐标方程为ρcosθ=a.③在极点左方,垂直于极轴,与极点距离为a的直线的极坐标方程为ρcosθ=-a.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习④在极点上方,平行于极轴,与极点距离为a的直线的极坐标方程为ρsinθ=a.⑤在极点下方,平行于极轴,与极点距离为a的直线的极坐标方程为ρsinθ=-a.⑥过点P(ρ1,θ1),与极轴所成的角为α的直线的极坐标方程为ρsin(α-θ)=ρ1sin(α-θ1).直线的极坐标方程的一般形式为ρ=cacosθ+bsinθ.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习自主思考1经过点M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为α的直线的极坐标方程是什么?提示:如图,设直线l上任意一点为P(ρ,θ),在△POM中,由正弦定理,得𝑂𝑃sin∠𝑂𝑀𝑃=𝑂𝑀sin∠𝑂𝑃𝑀.因为∠OMP=π-α+θ0,∠OPM=α-θ,所以直线l的极坐标方程是ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α).JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习3.圆的极坐标方程圆的极坐标方程的常见形式圆在相应极坐标系中的位置圆心位于极点,半径为r的圆的极坐标方程为ρ=r.圆心位于M(r,0),半径为r的圆的极坐标方程为ρ=2rcosθ.圆心位于Mr,π2,半径为r的圆的极坐标方程为ρ=2rsinθ.若圆心的坐标为M(ρ0,θ0),圆的半径为r,则圆的极坐标方程为ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ02-r2=0.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习自主思考2求曲线的极坐标方程的步骤如何?提示:(1)建立适当的极坐标系,设P(ρ,θ)是曲线上的任意一点;(2)由曲线上的点所满足的条件,列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式f(ρ,θ)=0;(3)将列出的关系式f(ρ,θ)=0进行整理,化简,得出曲线的极坐标方程;(4)证明所得的方程就是曲线的极坐标方程,若方程的推导过程正确,化简过程都是同解变形,这一证明可以省略.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习4.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化根据点的直角坐标与极坐标互化关系式,曲线方程两种形式的互化可以顺利完成.点的直角坐标与极坐标互化关系如下:(1)点M的极坐标(ρ,θ)化为直角坐标(x,y)的公式:𝑥=ρcos𝜃,𝑦=ρsin𝜃;(2)点M的直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ)的公式:𝜌2=𝑥2+𝑦2,tan𝜃=𝑦𝑥(𝑥≠0).JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习自主思考3直角坐标与极坐标互化时应注意什么?提示:(1)两组公式是在三个条件规定下得到的;(2)由直角坐标求极坐标时,理论上不是唯一的,但一般约定只在规定范围内求值;(3)由直角坐标方程化为极坐标方程,最后要化简;(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性,通常总要用ρ去乘方程的两端.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习5.圆锥曲线统一的极坐标方程圆锥曲线统一的极坐标方程是ρ=𝑒𝑝1-𝑒cos𝜃,当0e1时,它表示椭圆;当e=1时,它表示抛物线;当e1时,它表示双曲线.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究一求直线的极坐标方程在极坐标系中,求直线的极坐标方程的一般方法为:设M(ρ,θ)为直线上任意一点,极点为O,连接OM,构造出含有OM的三角形,再找出我们需求的ρ与θ的关系,即为直线的极坐标方程.也可以先求出直角坐标方程,再化为极坐标方程.【典型例题1】设P2,π4,直线l经过点P且与极轴所成的角为3π4,求直线l的极坐标方程.思路分析:取直线上任意一点M(ρ,θ),构造三角形求|OM|.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四解:如图,设M(ρ,θ)为直线l上除点P外的任意一点,连接OM,OP,该直线交Ox于点A,则有|OM|=ρ,|OP|=2,∠xAM=3π4,∠OPM=π2,∠MOP=𝜃-π4,所以有|OM|cos∠MOP=|OP|,即ρcos𝜃-π4=2,显然P点也在这条直线上.所以直线l的极坐标方程为ρcos𝜃-π4=2.点评求直线的极坐标方程,就是要找出直线上的点M(ρ,θ)中ρ与θ的关系.往往是借助于解三角形的方法求ρ,θ间的关系.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究二求圆的极坐标方程在极坐标系中,求圆的极坐标方程时,关键是找出曲线上的点满足的关系,将它用坐标表示并化简,得到ρ和θ的关系,即为所求极坐标方程.【典型例题2】求圆心在A2,3π2,并且过极点的圆的极坐标方程,并把它化为直角坐标方程.思路分析:如图,在圆A上任取异于O,B外的一点M,连接OM.设M(ρ,θ),则∠MOB=𝜃-3π2,即可求圆A的极坐标方程.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四解:如图,设M(ρ,θ)为圆上除O,B外的任意一点,连接OM,MB,则有OB=4,|OM|=ρ,∠MOB=𝜃-3π2,∠BMO=π2,从而△BOM为直角三角形,所以有|OM|=|OB|cos∠MOB,即ρ=4cos𝜃-3π2=-4sinθ,点O(0,0),B4,3π2也适合此方程,故所求圆的极坐标方程为ρ=-4sinθ.化为直角坐标方程为x2+y2+4y=0.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究三直角坐标方程与极坐标方程互化极坐标与直角坐标的互化可以直接用公式𝑥=𝜌cos𝜃,𝑦=𝜌sin𝜃将直角坐标化为极坐标;而由极坐标化为直角坐标时,应注意极坐标方程的形式,可以两边同乘ρ,cosθ,sinθ等.如ρ=2cos𝜃两边同乘cosθ得ρcosθ=2,即x=2;ρ=2cosθ两边同乘ρ得ρ2=2ρcosθ,即x2+y2=2x等.也可以由ρ=𝑥2+𝑦2,cosθ=𝑥𝜌,sinθ=𝑦𝜌直接代入求得.【典型例题3】将下列式子进行直角坐标方程与极坐标方程之间的互化.(1)x2+y2=4;(2)(x-1)2+(y+2)2=4;(3)ρ=3cosθ;(4)ρ=cos𝜃-π4.思路分析:利用公式x=ρcosθ,y=ρsinθ,ρ2=x2+y2进行直角坐标方程与极坐标方程的互化.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四解:(1)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入x2+y2=4得(ρcosθ)2+(ρsinθ)2=4,即ρ2=4.(2)将(x-1)2+(y+2)2=4展开得x2-2x+y2+4y=-1.将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入x2-2x+y2+4y=-1,得(ρcosθ)2-2ρcosθ+(ρsinθ)2+4ρsinθ=-1.化简,得ρ2-2ρcosθ+4ρsinθ+1=0.(3)因为ρ=3cosθ,所以ρ2=3ρcosθ,即x2+y2=3x.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四(4)由ρ=cos𝜃-π4=cosθcosπ4+sinθsinπ4=22cosθ+22sinθ.整理,得ρ2=22ρcosθ+22ρsinθ,即x2+y2=22x+22y.即x2-22x+y2-22y=0.点评极坐标系和直角坐标系都是用一对有序实数来确定平面上点的位置的方法,都是研究平面图形的重要工具.在进行极坐标方程与直角坐标方程互化时,除了正确使用互化公式外,还要注意变形的等价性.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究四易错辨析易错点极坐标表达不准致误【典型例题4】已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρcosθ=3,ρ=4cosθ(ρ≥0),则曲线C1与C2交点的极坐标为.错解:由方程组𝜌cos𝜃=3,𝜌=4cos𝜃得𝜌=23,cos𝜃=32,从而𝜌=23,𝜃=π6或-π6.即两曲线的交点为23,π6或23,-π6.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四错因分析:在极坐标系中,有序实数对的集合{(ρ,θ)|ρ,θ∈R}与平面点集不是一一对应的.给出一个有序实数对(ρ,θ),在平面坐标系中可以唯一确定一个点,但对于极坐标系中的一点,它的极坐标不是唯一的,若点M不是极点,(ρ,θ)是它的一个极坐标,那么M有无穷多个极坐标(ρ,θ+2kπ)与(-ρ,θ+(2k+1)π),k∈Z.正解:23,2kπ+π6或23,2kπ-π6,k∈ZSUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123451.极坐标方程为ρ=2cosθ的圆的半径是()A.1B.2C.12D.3解析:∵ρ=2cosθ,∴ρ2=2ρcosθ,即x2+y2=2x.化简,得(x-1)2+y2=1.∴半径为1.答案:ASUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123452.在极坐标系中,过点P3,π3且垂直于极轴的直线方程为()A.ρcosθ=32B.ρsinθ=32C.ρ=32cosθD.ρ=32sinθ解析:设直线与极轴的交点为A,则|OA|=|