2018-2019学年高中数学 第一章 空间几何体 测评A（含解析）新人教A版必修2

-1-第一章测评A(基础过关卷)(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.用一个平面去截一个几何体,可以使截面是长方形,也可以使截面是圆,则这个几何体可以是()A.棱柱B.棱台C.圆柱D.球答案:C2.如图,是一个物体的三视图,则此物体的直观图是()A.9πB.πC.18πD.6π解析:由三视图知几何体为圆锥与圆柱的组合体如图.故选D.答案:D3.如图,△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图,A'O'=6,B'O'=2,则△OAB的面积是()A.6B.3C.6D.12解析:△OAB是直角三角形,其两条直角边分别是4和6,则其面积是12.-2-答案:D4.一个圆锥的高扩大为原来的2倍,底面半径缩小为原来的,则圆锥的体积变为原来的()A.一半B.2倍C.不变D.解析:设原圆锥的高为h,半径为r,体积为V,则V=πr2h;变化后圆锥的体积为V'=·2h=πr2h=V.答案:A5.圆台上、下底面面积分别为π,4π,侧面积为6π,这个圆台的体积为()A.B.C.2πD.解析:设圆台的上、下底面半径分别为r',r,则πr'2=π,πr2=4π,∴r'=1,r=2.设母线长为l,则π(1+2)l=6π,∴l=2.∴高h=,∴V台=×(1+22+1×2)×.答案:A6.正三棱锥的三视图如图,则其外接球的体积为()A.9πB.C.18πD.6π解析:设外接球的半径为R,则(2-R)2+=R2,解得R=,故V==9π.答案:A7.一个几何体的三视图如图,其中正视图是边长为2的正三角形,俯视图是正方形,那么该几何体的侧视图的面积是()-3-A.2B.C.4D.2解析:由题意可知侧视图与正视图形状完全一样,是正三角形,面积S=×22=.答案:B8.如图,某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是等边三角形、等腰三角形和菱形,则该几何体体积为()A.4B.4C.2D.2解析:由三视图可知,该几何体是一个四棱锥,底面是菱形,菱形的一条对角线长为2,另一条长为2=2.棱锥的高为h==3.所以,该几何体的体积为V=×2×2×3=2.答案:C9.如图所示,有一个圆柱,在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁,它想吃到上底面的点B处的食物.当圆柱的高等于12cm,底面半径为3cm时,蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程是()A.12cmB.cmC.cmD.18cm解析:如图所示,在圆柱的侧面展开图中,BC的长为底面圆周长的一半,即BC=×2π×3=3π,蚂蚁所走路程为AB=(cm).-4-所以蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程是cm.答案:C10.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB=AC=,BB1=BC=6,E,F为侧棱AA1上的两点,且EF=3,则多面体BB1C1CEF的体积为()A.30B.18C.15D.12解析:-VE-ABC=S△ABC×6-S△ABC·A1F-S△ABC·AE=S△ABC·=5S△ABC.∵AC=AB=,BC=6,∴S△ABC=×6×=6.所以=5×6=30.答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.圆柱的高是8cm,表面积是130πcm2,则它的底面圆的半径等于cm.解析:设圆柱的底面圆的半径为rcm,则S圆柱表=2π·r·8+2πr2=130π.解得r=5,即圆柱的底面圆半径为5cm.答案:512.一个长方体的一个侧面正对着观察者,其正视图、侧视图、俯视图的面积分别为4cm2,6cm2,24cm2,则该长方体的体积为.解析:设长方体的长、宽、高分别为acm,bcm,ccm,则有ab=24,ac=6,bc=4.所以(abc)2=24×6×4.所以长方体体积V=abc=24(cm3).答案:24cm3-5-13.作一个圆柱的内接三棱柱,该三棱柱的底面为正三角形,又作这个三棱柱的内切圆柱,那么这两个圆柱的体积之比为.解析:两圆柱的底面分别是正三角形的外接圆与内切圆,其半径比为2∶1,∴两圆的面积比为4∶1.又两圆柱高相等,∴两圆柱的体积比为4∶1.答案:4∶114.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上,且AB=6,BC=2,则棱锥O-ABCD的体积为.解析:依题意,棱锥O-ABCD的四条侧棱长相等且均为球O的半径,如图,连接AC,取AC中点O',连接OO'.易知AC==4,故AO'=2.在Rt△OAO'中,OA=4,从而OO'==2.所以VO-ABCD=×2×6×2=8.答案:815.如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F分别是A'A,C'C的中点,则下列判断正确的是.(填序号)①四边形BFD'E在底面ABCD内的投影是正方形;②四边形BFD'E在面A'D'DA内的投影是菱形;③四边形BFD'E在平面A'D'DA内的投影与在面ABB'A'内的投影是全等的平行四边形.解析:①四边形BFD'E的四个顶点在底面ABCD内的投影分别是点B,C,D,A,故投影是正方形;②设正方体的边长为2,由AE=1,取D'D的中点G,则四边形BFD'E在平面A'D'DA内的投影是四-6-边形AGD'E,因为AE∥D'G,且AE=D'G,所以四边形AGD'E是平行四边形,但AE=1,D'E=,故四边形AGD'E不是菱形;对于③,由②知是两个边长分别相等的平行四边形,从而③正确.答案:①③三、解答题(本大题共4小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(6分)如图,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a,连接A'C',A'D,A'B,BD,BC',C'D得到一个三棱锥.求:(1)三棱锥A'-BC'D的表面积与正方体表面积的比值;(2)三棱锥A'-BC'D的体积.解:(1)∵ABCD-A'B'C'D'是正方体,∴六个面都是正方形.∴A'C'=A'B=A'D=BC'=BD=C'D=a.∴S三棱锥=4××(a)2=2a2.又S正方体=6a2,∴.(2)显然,三棱锥A'-ABD,C'-BCD,D-A'D'C',B-A'B'C'的体积均为a2·a=a3,∴三棱锥A'-BC'D的体积为V=a3-a3×4=a3.17.(6分)已知某几何体的俯视图是矩形(如图),正视图是一个底边长为8,高为4的等腰三角形,侧视图是一个底边长为6,高为4的等腰三角形.(1)求该几何体的体积V;(2)求该几何体的侧面积S.解:-7-由题设可知,几何体是一个高为4的四棱锥,其底面是长、宽分别为8和6的矩形,正侧面及其相对侧面均为底边长为8,高为h1的等腰三角形,左、右侧面均为底边长为6,高为h2的等腰三角形,如图.(1)几何体的体积V=S矩形h=×6×8×4=64.(2)正侧面及相对侧面底边上的高h1==5.左、右侧面的底边上的高h2==4.故几何体的侧面积S=2·=40+24.18.(6分)如图所示(单位:cm),四边形ABCD是直角梯形,求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积.解:由题意,知所成几何体的表面积等于圆台下底面积、圆台的侧面积与半球面面积的和.又S半球面=×4π×22=8π(cm2),S圆台侧=π(2+5)=35π(cm2),S圆台下底=π×52=25π(cm2),所以所成几何体的表面积为8π+35π+25π=68π(cm2).又V圆台=×(22+2×5+52)×4=52π(cm3),V半球=×23=(cm3).所以所成几何体的体积为V圆台-V半球=52π-(cm3).19.(7分)如图所示的是一个边长为5+的正方形,剪去阴影部分得到圆锥的侧面和底面展开图,求该圆锥的体积.-8-解:设圆锥的底面半径为r,母线长为l,高为h,则依题意有·2πl=2πr,∴l=4r.又∵AC=OC+OA=r+r+l=(+5)r,且AC=×(+5),∴(+5)r=(+5)×,∴r=.∴l=4,∴h=.∴V圆锥=πr2h=π()2×π.故该圆锥的体积为π.