2018-2019学年高中数学 第一章 空间几何体 测评B（含解析）新人教A版必修2

-1-第一章测评B(高考体验卷)(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是()A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱解析:由所给三视图可知该几何体是一个三棱柱(如图).答案:B2.以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A.2πB.πC.2D.1解析:根据题意,可得圆柱侧面展开图为矩形,长为2π×1=2π,宽为1,∴S=2π×1=2π.故选A.答案:A3.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为()-2-A.8-B.8-C.8-πD.8-2π解析:由几何体的三视图可知,原几何体为棱长是2的正方体挖去两个底面半径为1,高为2的圆柱,故该几何体的体积是正方体的体积减去半个圆柱,即V=23-π·12·2=8-π.故选C.答案:C4某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.12B.18C.24D.30解析:由三视图可知,该几何体的直观图如图所示,为直三棱柱ABC-A1B1C1截掉了三棱锥D-A1B1C1,所以其体积V=×3×4×5-×3×4×3=24.答案:C5.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是()-3-A.B.C.D.1解析:由俯视图知底面为直角三角形,又由正视图及侧视图知底面两直角边长都是1,且三棱锥的高为2,故V三棱锥=×1×1×2=.答案:B6.已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是()A.108cm3B.100cm3C.92cm3D.84cm3解析:由三视图可知,该几何体是如图所示长方体去掉一个三棱锥,故几何体的体积是6×3×6-×3×42=100(cm3).故选B.答案:B7.一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如右图所示,则该四棱锥侧面积和体积分别是()A.4,8B.4-4-C.4(+1),D.8,8解析:由正(主)视图数据可知正四棱锥的底面是边长为2的正方形,高也是2,如图:由图可知PO=2,OE=1,所以PE=,所以V=×4×2=,S=4×2×=4.答案:B8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.180B.200C.220D.240解析:由三视图知该几何体是底面为等腰梯形,且侧棱垂直于底面的棱柱,如图所示,S上=2×10=20,S下=8×10=80,S前=S后=10×5=50,S左=S右=(2+8)×4=20,所以S表=S上+S下+S前+S后+S左+S右=240,故选D.答案:D9.一几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积为()-5-A.200+9πB.200+18πC.140+9πD.140+18π解析:由三视图可知,该几何体是由一个长方体及长方体上方的一个半圆柱组成.所以体积V=4×10×5+×π·32·2=200+9π.故选A.答案:A10一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于()A.1B.2C.3D.4解析:由三视图可得原石材为如右图所示的直三棱柱A1B1C1-ABC,且AB=8,BC=6,BB1=12.若要得到半径最大的球,则此球与平面A1B1BA,BCC1B1,ACC1A1相切,故此时球的半径与△ABC内切圆半径相等,故半径r==2.故选B.答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)-6-11一个六棱锥的体积为2,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为.解析:根据题意得底面正六边形面积为6,设六棱锥的高为h,则V=Sh,∴×6h=2,解得h=1.设侧面高为h',则h2+()2=h'2,∴h'=2.∴正六棱锥的侧面积为6××2×2=12.答案:1212.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为,则正方体的棱长为.解析:由题意知V球=πR3=,R=.设正方体的棱长为a,则=2R,a=,所以正方体的棱长为.答案:13.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为.解析:由三视图知该四棱锥底面为正方形,其边长为3,四棱锥的高为1,根据体积公式V=×3×3×1=3,故该棱锥的体积为3.答案:314.某几何体的三视图如图所示,则其表．面积为.解析:由三视图可知该几何体为半径为1的球体的一半,所以表面积为×4π×12+π×12=3π.答案:3π15.已知正四棱锥O-ABCD的体积为,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为.-7-解析:如图所示,在正四棱锥O-ABCD中,VO-ABCD=×S正方形ABCD·|OO1|=×()2×|OO1|=,∴|OO1|=,|AO1|=,在Rt△OO1A中,OA=,即R=,∴S球=4πR2=24π.答案:24π三、解答题(本大题共4小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(6分)如图,正三棱锥O-ABC的底面边长为2,高为1,求该三棱锥的体积及表面积.解:由已知条件可知,正三棱锥O-ABC的底面△ABC是边长为2的正三角形,经计算得底面△ABC的面积为.所以该三棱锥的体积为×1=.设O'是正三角形ABC的中心.由正三棱锥的性质可知,OO'⊥平面ABC.延长AO'交BC于点D,连接OD,得AD=,O'D=.又因为OO'=1,所以正三棱锥的斜高OD=.所以侧面积为3××2×=2.所以该三棱锥的表面积为+2=3.因此,所求三棱锥的体积为,表面积为3.-8-17.(6分)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC为正三角形,且侧棱垂直于底面.AB=2,AA1=2,从顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1,与AA1的交点记为M.求:(1)三棱柱ABC-A1B1C1侧面展开图的对角线长;(2)从B经过M到C1的最短路线长及此时的值.解:沿侧棱BB1将三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开,得到一个矩形BB1B1'B'(如图).(1)矩形BB1B'1B'的长为BB'=6,宽为BB1=2.所以三棱柱ABC-A1B1C1侧面展开图的对角线长为=2.(2)由侧面展开图可知:当B,M,C1三点共线时,从B经过M到达C1的路线最短.所以最短路线长为BC1==2.显然Rt△ABM≌Rt△A1C1M,所以A1M=AM,即=1.所以从B经过M到C1的最短路线长为2,此时的值为1.18.(6分)如果一个几何体的正视图与侧视图都是全等的长方形,边长分别是4cm与2cm,如图,俯视图是一个边长为4cm的正方形.(1)求该几何体的全面积;(2)求该几何体的外接球的体积.解:(1)由题意可知,该几何体是长方体,底面是正方形,边长是4cm,高是2cm,因此该几何体的全面积是2×4×4+4×4×2=64(cm2),即该几何体的全面积是64cm2.-9-(2)由长方体与球的性质可得,长方体的体对角线是球的直径,设长方体的体对角线为dcm,球的半径为rcm,则d==6(cm),所以球的半径为r=3(cm).球的体积V=πr3=×27π=36π(cm3),因此,外接球的体积是36πcm3.19.(7分)养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用),已建的仓库的底面直径为12m,高为4m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐.现有两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大4m(高不变);二是高度增加4m(底面直径不变).(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积;(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积;(3)哪个方案更经济些?解:(1)如果按方案一,仓库的底面直径变成16m,则仓库的体积为V1=S·h=×π××4=(m3).如果按方案二,仓库的高变成8m,则仓库的体积为V2=S·h=×π××8=96π(m3).(2)如果按方案一,仓库的底面直径变成16m,半径为8m.圆锥的母线长为l1==4(m),则仓库的表面积为S1=π×8×4=32π(m2).如果按方案二,仓库的高变成8m.圆锥的母线长为l2==10(m),则仓库的表面积为S2=π×6×10=60π(m2).(3)∵V1V2,S2S1,∴方案二比方案一更加经济.-10-