2018-2019学年高中数学 第三章 直线与方程 测评B（含解析）新人教A版必修2

-1-第三章测评B(高考体验卷)(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若△OAB为直角三角形,则必有()A.b=a3B.b=a3+C.(b-a3)=0D.|b-a3|+=0答案:C2.已知直线l1:y=x,若直线l2⊥l1,则直线l2的倾斜角为()A.45°B.90°C.120°D.135°答案:D3已知直线l过定点P(-1,2),且与以A(-2,-3),B(-4,5)为端点的线段(包含端点)有交点,则直线l的斜率k的取值范围是()A.[-1,5]B.(-1,5)C.(-∞,-1]∪[5,+∞)D.(-∞,-1)∪(5,+∞)解析:如图,kPA==5,kPB==-1,-2-∴-1≤k≤5.答案:A4.若点(m,n)在直线4x+3y-10=0上,则m2+n2的最小值是()A.2B.2C.4D.2解析:因为点(m,n)在直线4x+3y-10=0上,所以4m+3n-10=0,利用m2+n2表示为直线上的点到原点距离的平方分析可知,m2+n2的最小值为4.答案:C5.直线x-2y+b=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,那么b的取值范围是()A.[-2,2]B.(-∞,-2]∪[2,+∞)C.[-2,0)∪(0,2]D.(-∞,+∞)解析:令x=0,得y=,令y=0,得x=-b,所以所求三角形面积为|-b|=b2,且b≠0,b2≤1,所以b2≤4,所以b∈[-2,0)∪(0,2].答案:C6若直线l与两直线y=1,x-y-7=0分别交于M,N两点,且MN的中点是P(1,-1),则直线l的斜率是()A.-B.C.-D.解析:当直线l的斜率不存在时,显然不合题意.可设直线l的方程为y=k(x-1)-1,分别与y=1,x-y-7=0联立解得M,N.又因为MN的中点是P(1,-1),所以由中点坐标公式得k=-.答案:A7.点P到点A'(1,0)和直线x=-1的距离相等,且P到直线y=x的距离等于,这样的点P共有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:设P(x,y),由题意知=|x+1|且,所以①或②解得①有两根,②有一根.答案:C8.直线l通过两直线7x+5y-24=0和x-y=0的交点,且点(5,1)到l的距离为,则l的方程是()-3-A.x-3y+4=0B.x+3y-4=0C.3x-y-4=0D.3x+y+4=0解析:由得交点(2,2).当直线l的斜率不存在时,显然不合题意.设l的方程为y-2=k(x-2),即kx-y+2-2k=0,∴,解得k=3.∴l的方程为3x-y-4=0.答案:C9.直线x-y-2=0绕它与y轴的交点逆时针旋转90°所得的直线方程是()A.-x+3y-6=0B.x+3y-6=0C.-x+3y+6=0D.x+3y+6=0解析:直线x-y-2=0的倾斜角为60°,所以旋转后的直线的倾斜角为150°,所以斜率为-,又直线过点(0,-2),∴直线方程为y+2=-x,即x+3y+6=0.答案:D10若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为()A.3B.2C.3D.4解析:AB的中点在直线x+y-6=0上,∴点M到原点的距离的最小值为d==3.答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是.解析:由题意可知,若P为平面直角坐标系内任意一点,则|PA|+|PC|≥|AC|,等号成立的条件是点P在线段AC上;|PB|+|PD|≥|BD|,等号成立的条件是点P在线段BD上,所以到A,B,C,D四点的距离之和最小的点为AC与BD的交点.直线AC方程为2x-y=0,直线BD方程为x+y-6=0,所以解得即所求点的坐标为(2,4).答案:(2,4)12.若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m=.解析:∵直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,∴1×2+(-2)·m=0,即m=1.-4-答案:113已知点A(-3,-2),B(6,1),点P在y轴上,且∠BAP=90°,则点P的坐标是.答案:(0,4)或(0,-5)14.l1,l2是分别经过A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线,当l1,l2间的距离最大时,直线l1的方程是.解析:当两条平行直线与A,B两点连线垂直时,两条平行直线的距离最大.因为A(1,1),B(0,-1),所以kAB==2,所以两条平行直线的斜率为k=-,所以直线l1的方程是y-1=-(x-1),即x+2y-3=0.答案:x+2y-3=015已知实数x,y满足2x+y=8,当2≤x≤3时,则的最大值为;最小值为.解析:如图,设点P(x,y),因为x,y满足2x+y=8,且2≤x≤3,所以点P(x,y)在线段AB上移动,并且A,B两点的坐标分别是A(2,4),B(3,2).因为的几何意义是直线OP的斜率,且kOA=2,kOB=,所以的最大值为2,最小值为.答案:2三、解答题(本大题共4小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(6分)一条光线从原点(0,0)射到直线l:2x-y+5=0上,再经反射后过B(1,3),求反射光线所在直线的方程.解:设(0,0)关于直线2x-y+5=0对称的点为(x0,y0),则=-,①2+5=0.②①②联立解得(0,0)关于直线2x-y+5=0对称的点坐标为(-4,2).反射光线所在直线的斜率为k=,方程为y-3=(x-1),整理得x-5y+14=0.17.(6分)(2013江西新余期末)已知直线l1:ax+by+1=0(a,b不同时为0),l2:(a-2)x+y+a=0.(1)若b=0,且l1⊥l2,求实数a的值;(2)当b=3,且l1∥l2时,求直线l1与l2之间的距离.解:(1)当b=0时,l1:ax+1=0,由l1⊥l2知(a-2)=0,解得a=2.(2)当b=3时,l1:ax+3y+1=0,当l1∥l2时,有解得a=3,此时,l1的方程为3x+3y+1=0,-5-l2的方程为x+y+3=0,即3x+3y+9=0,则它们之间的距离为d=.18.(6分)(如图所示,射线OA,OB分别与x轴正半轴成45°和30°角,过点P(2,0)作直线AB分别交OA,OB于A,B两点,当AB的中点C恰好落在直线y=x上时,求直线AB的方程.解:由题意可得kOA=1,kOB=-,所以直线OA的方程为y=x,直线OB的方程为y=-x.设A(m,m),B(-n,n),所以AB的中点C的坐标为.由点C在直线y=x上,且A,P,B三点共线,得解得m=2.所以A(2,2).又P(2,0),所以kAB=kAP=,所以直线AB的方程为y=(x-2),即(3+)x-2y-6-2=0.19.(7分)(如图,函数f(x)=x+的定义域为(0,+∞).设点P是函数图象上任一点,过点P分别作直线y=x和y轴的垂线,垂足分别为M,N.(1)证明|PM|·|PN|为定值;(2)O为坐标原点,求四边形OMPN面积的最小值.(1)证明:设P(x00),则|PN|=x0,|PM|=,因此|PM|·|PN|=1.(2)解:直线PM的方程为y-x0-=-(x-x0),即y=-x+2x0+,-6-解方程组∴x=y=x0+.连接OP,S四边形OMPN=S△NPO+S△OPM=|PN||ON|+|PM||OM|=x0=.令=t,则t0,且S四边形OMPN=在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增.∴t=1,即x0=1(x00)时,四边形OMPN的面积取最小值1+.