2018-2019学年高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式单元整合课件 新人教A版选修4-5

-1-单元整合JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习柯西不等式与排序不等式柯西不等式代数形式向量形式三角不等式排序不等式乱序和反序和顺序和ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一柯西不等式的应用利用柯西不等式证明其他不等式或求最值,关键是构造两组数,并向着柯西不等式的形式进行转化.【例1】求实数x,y的值,使(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2达到最小值.解:由柯西不等式,得(12+22+12)×[(y-1)2+(3-x-y)2+(2x+y-6)2]≥[1×(y-1)+2×(3-x-y)+1×(2x+y-6)]2=1.即(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2≥16.当且仅当𝑦-11=3-𝑥-𝑦2=2𝑥+𝑦-61,即x=52,y=56时,上式取等号.故所求值为x=52,y=56.专题一专题二专题三ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习【例2】若n是不小于2的正整数,试证:471-12+13−14+…+12𝑛-1−12𝑛22.提示:注意中间的一列数的代数和,其奇数项为正,偶数项为负,可进行恒等变形予以化简.证明:1-12+13−14+…+12𝑛-1−12𝑛=1+12+13+…+12𝑛-212+14+…+12𝑛=1𝑛+1+1𝑛+2+…+12𝑛,所以求证式等价于471𝑛+1+2𝑛+2+…+12𝑛22.专题一专题二专题三ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二专题三由柯西不等式,有1𝑛+1+1𝑛+2+…+12𝑛[(n+1)+(n+2)+…+2n]n2,于是,1𝑛+1+1𝑛+2+…+12𝑛𝑛2(𝑛+1)+(𝑛+2)+…+2𝑛=2𝑛3𝑛+1=23+1𝑛≥23+12=47,又由柯西不等式,有1𝑛+1+1𝑛+2+…+12𝑛(12+12+…+12)1(𝑛+1)2+1(𝑛+2)2+…+1(2𝑛)2≤𝑛1𝑛-12𝑛=22.综上,原不等式成立.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题二排序不等式的应用应用排序不等式可以简捷地证明一类不等式,其证明的关键是找出两组有序数组,通常可以从函数单调性去寻找.【例3】设a,b,c都是正数,求证:𝑏𝑐𝑎+𝑐𝑎𝑏+𝑎𝑏𝑐≥a+b+c.分析:不等式的左边可以分为数组ab,ac,bc和1𝑐,1𝑏,1𝑎,排出顺序后,可利用排序不等式证明.专题一专题二专题三ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二专题三证明:由题意不妨设a≥b≥c0,由不等式的单调性,知ab≥ac≥bc,1𝑐≥1𝑏≥1𝑎.由排序不等式,知ab×1𝑐+ac×1𝑏+bc×1𝑎≥ab×1𝑏+ac×1𝑎+bc×1𝑐,即所证不等式𝑏𝑐𝑎+𝑐𝑎𝑏+𝑎𝑏𝑐≥a+b+c成立.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二专题三专题三利用不等式解决最值问题利用不等式解决最值问题,尤其是含多个变量的问题,是一种常用方法.特别是条件最值问题,通常运用平均值不等式、柯西不等式、排序不等式及幂平均不等式等,但要注意取等号的条件能否满足.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习【例4】设a,b,c为正实数,且a+2b+3c=13,求3𝑎+2𝑏+𝑐的最大值.解:根据柯西不等式,知(a+2b+3c)(3)2+12+132≥3·𝑎+1·2𝑏+13·3𝑐2=(3𝑎+2𝑏+𝑐)2,∴(3𝑎+2𝑏+𝑐)2≤1323,则3𝑎+2𝑏+𝑐≤1333,当且仅当𝑎3=2𝑏1=3𝑐13时取等号.又a+2b+3c=13,∴a=9,b=32,c=13时,3𝑎+2𝑏+𝑐有最大值1333.专题一专题二专题三ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习