2018-2019学年高中数学 第二章 平面向量 第1节 平面向量的实际背景及基本概念课下能力提升（

1课下能力提升(十三)[学业水平达标练]题组1向量的有关概念1．汽车以120km/h的速度向西走了2h，摩托车以45km/h的速度向东北方向走了2h，则下列命题中正确的是()A．汽车的速度大于摩托车的速度B．汽车的位移大于摩托车的位移C．汽车走的路程大于摩托车走的路程D．以上都不对解析：选C速度和位移是向量，由向量不能比较大小可知A，B错；汽车走的路程为240km，摩托车走的路程为90km，故C正确．2.如图，在圆O中，向量OB，OC，AO是()A．有相同起点的向量B．单位向量C．模相等的向量D．相等的向量解析：选C由题图可知三向量方向不同，但长度相等．3．下列命题：①若a是单位向量，b也是单位向量，则a与b的方向相同或相反；②若向量AB是单位向量，则向量BA也是单位向量；③以坐标平面上的定点A为起点，所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的单位圆．其中正确的个数为()A．0B．1C．2D．3解析：选C由单位向量的定义知，凡长度为1的向量均称为单位向量，对方向没有任何要求，故①不正确．因为|AB|＝|BA|，所以当AB是单位向量时，BA也是单位向量，故②正确．因为向量AP是单位向量，故|AP|＝1，所以点P是以A为圆心的单位圆上的一点；反过来，若点P是以A为圆心的单位圆上的任意一点，则因为|AP|＝1，所以向量AP是单位向量，故③正确．题组2向量的表示4．一个人先向东行进了5千米，而后又向西行进了3千米，那么这个人总共()A．向东行进了8千米B．向东行进了2千米C．向东行进了5千米D．向西行进了3千米解析：选B记向东方向为正，则向东行进了5千米为＋5千米，向西行进了3千米为2－3千米，则＋5＋(－3)＝＋2，表示向东行进了2千米．5．如图，在矩形ABCD中，可以用一条有向线段表示的向量是()A．DA和BCB．DC和ABC．DC和BCD．DC和DA解析：选BDC和AB方向相同且大小相等，是相等向量，故可以用一条有向线段表示．6.在如图的方格纸中，画出下列向量．(1)|OA|＝3，点A在点O的正西方向；(2)|OB|＝32，点B在点O北偏西45°方向；(3)求出|AB|的值．解：取每个方格的单位长为1，依题意，结合向量的表示可知，(1)(2)的向量如图所示．(3)由图知，△AOB是等腰直角三角形，所以|AB|＝|OB―→|2－|OA―→|2＝3.题组3相等向量与共线向量7．在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则如图所示的向量中，相等向量有()A．一组B．二组C．三组D．四组解析：选A由向量相等的定义可知，只有一组向量相等，即CE＝EA.8．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A，B，C，D，E，F，O中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，与向量OA共线的向量共有()3A．2个B．3个C．6个D．9个解析：选D与向量OA共线的向量有AO，OD，DO，BC，CB，EF，FE，AD，DA，共9个．9．如图，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形，那么以图中各点为起点或终点的向量中：(1)与AB共线的向量有_____________________________________________；(2)与AB相等的向量有_____________________________________________；(3)与AB模相等的向量有___________________________________________．解析：(1)与已知向量在同一直线上或平行的向量都是它的共线向量，根据题意，与AB共线的向量有BA，BE，EB，AE，EA，DC，CD.(2)与已知向量相等的向量与已知向量方向相同、长度相等，于是与AB相等的向量有BE，DC.(3)向量的模相等，只需长度相等，与方向无关，根据正方形和等腰直角三角形的性质，可知与AB模相等的向量有BA，BE，EB，DC，CD，AD，DA，BC，CB.答案：(1)BA，BE，EB，AE，EA，DC，CD(2)BE，DC(3)BA，BE，EB，DC，CD，AD，DA，BC，CB10．如图是4×3的矩形(每个小方格的边长都是1)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，与向量AB平行且模为2的向量共有几个？与向量AB方向相同且模为32的向量共有几个？解：(1)依题意，每个小方格的两条对角线中，有一条对角线对应的向量及其相反向量都和AB平行且模为2.因为共有12个小方格，所以满足条件的向量共有24个．4(2)易知与向量AB方向相同且模为32的向量共有2个．[能力提升综合练]1．如图所示，在正三角形ABC中，P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，则与向量PQ相等的向量是()A．PR与QRB．AR与RCC．RA与CRD．RA与QR解析：选B向量相等要求模相等，方向相同，因此AR与RC都是和PQ相等的向量．2．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则|BD|＝()A．1B.3C．2D．23解析：选D易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，设AC与BD交于点O，则AO＝12AB＝1.在Rt△ABO中，易得|BO|＝3，则|BD|＝2|BO|＝23.故选D.3．下列说法中正确的是()A．|AB|与线段BA的长度不相等B．对任一向量a，|a|0总是成立的C．|AB|＝|BA|D．若a∥b，且|a|＝1005，|b|＝1013，则|a＋b|＝2018解析：选C|AB|，|BA|分别与线段AB，BA的长度相等，所以A不正确，C正确；|0|＝0，对任一向量a，|a|≥0总成立，所以B不正确；对于D，当a与b方向相反时，|a＋b|＝8，故D不正确．4．给出下列命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|.其中，正确的命题有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选A①忽略了0与0的区别，a＝0；②混淆了两个向量的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等．5．设a0，b0分别是a，b的单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)．①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0.解析：因为a0，b0是单位向量，|a0|＝1，|b0|＝1，5所以|a0|＋|b0|＝2.答案：③6.如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．(1)与向量ED相等的向量有________；(2)若|AB|＝3，则|EC|＝________.解析：(1)根据向量相等的定义以及四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，可知与向量ED相等的向量有AB，DC.(2)因为|AB|＝3，|EC|＝2|AB|，所以|EC|＝6.答案：(1)AB，DC(2)67．有下列说法：①若a≠b，则a一定不与b共线；②若AB＝DC，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；③在▱ABCD中，一定有AD＝BC；④若a＝b，b＝c，则a＝c；⑤共线向量是在一条直线上的向量．其中，正确的说法是________．解析：对于①，两个向量不相等，可能是长度不相等，方向相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确；对于②，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故②不正确；对于③，在▱ABCD中，|AD|＝|BC|，AD与BC平行且方向相同，所以AD＝BC，故③正确；对于④，a＝b，则|a|＝|b|，且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c方向相同，所以a与c方向相同且模相等，故a＝c，故④正确；对于⑤，共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故⑤不正确．答案：③④8．如图所示方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方络纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且|AC|＝5.(1)画出所有的向量AC；(2)求|BC|的最大值与最小值．6解：(1)画出所有的向量AC，如图所示．(2)由(1)所画的图知，①当点C位于点C1或C2时，|BC|取得最小值12＋22＝5；②当点C位于点C5或C6时，|BC|取得最大值42＋52＝41，∴|BC|的最大值为41，最小值为5.7