2018-2019学年高中数学 第二章 平面向量 第3节 平面向量的基本定理及坐标表示（第1课时）平

1课下能力提升(十七)[学业水平达标练]题组1对基底向量概念的理解1．已知e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是()A．e1，e1＋e2B．e1－2e2，e2－2e1C．e1－2e2,4e2－2e1D．e1＋e2，e1－e2解析：选C因为4e2－2e1＝－2(e1－2e2)，从而e1－2e2与4e2－2e1共线．2．在△ABC中，AB＝c，AC＝b，若点D满足BD＝2DC，以b与c作为基底，则AD＝()A.23b＋13cB.53c－23bC.23b－13cD.13b＋23c解析：选A∵BD＝2DC，∴AD－AB＝2(AC－AD)，∴AD－c＝2(b－AD)，∴AD＝13c＋23b.3.如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)．若OP＝a1OP＋b2OP，且点P落在第Ⅲ部分，则实数a，b满足()A．a0，b0B．a0，b0C．a0，b0D．a0，b0解析：选B取第Ⅲ部分内一点画图易得a0，b0.题组2向量的夹角问题4．若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是()A．60°B．120°C．30°D．150°解析：选A平移向量a，b使它们有公共起点O，如图所示，则由对顶角相等可得向量－a与－b的夹角也是60°.25．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝12AB，则AB与BC的夹角是()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选C如图，作向量AD＝BC，则∠BAD是AB与BC的夹角，在△ABC中，因为∠C＝90°，BC＝12AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°.6．如图，平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝23，若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．解：如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则OC＝OD＋OE.在Rt△OCD中，∵|OC|＝23，∠COD＝30°，∠OCD＝90°，∴|OD|＝4，|CD|＝2，故OD＝4OA，OE＝2OB，即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.题组3平面向量基本定理的应用7．设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为()A．0,0B．1,1C．3,0D．3,4解析：选D∵向量e1与e2不共线，∴3x＝4y－7，10－y＝2x，解得x＝3，y＝4.8．已知在△ABC中，AN＝13NC，P是BN上的一点．若AP＝mAB＋211AC，则实3数m的值为()A.911B.511C.311D.211解析：选C设BP＝λBN，则AP＝AB＋BP＝AB＋λBN＝AB＋λ(AN－AB)＝AB＋λ14AC―→－AB―→＝(1－λ)AB＋λ4AC＝mAB＋211AC，∴λ4＝211，m＝1－λ，解得λ＝811，m＝311.9．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为以a，b为基向量的线性组合，即e1＋e2＝________.解析：设e1＋e2＝ma＋nb(m，n∈R)，∵a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，∴e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.∵e1与e2不共线，∴m－n＝1，2m＋n＝1，∴m＝23，n＝－13.∴e1＋e2＝23a－13b.答案：23a－13b10．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．解：(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．由e1，e2不共线，得λ＝1，3λ＝－2，⇒λ＝1，λ＝－23.∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．(2)设c＝ma＋nb(m、n∈R)，则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.∴m＋n＝3，－2m＋3n＝－1，⇒m＝2，n＝1.∴c＝2a＋b.4(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.∴λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3，⇒λ＝3，μ＝1.故所求λ，μ的值分别为3和1.[能力提升综合练]1.如图所示，设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，给出下列向量组：①AD与AB；②DA与BC；③CA与DC；④OD与OB.其中可作为该平面内所有向量的基底的是()A．①②B．①③C．①④D．③④解析：选BAD与AB不共线，DA∥BC，CA与DC不共线，OD∥OB，所以①③可以作为该平面内所有向量的基底．2．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝()A．2B．4C．5D．7解析：选B以如图所示的两互相垂直的单位向量e1，e2为基底，则a＝－e1＋e2，b＝6e1＋2e2，c＝－e1－3e2，因为c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，所以－e1－3e2＝λ(－e1＋e2)＋μ(6e1＋2e2)＝(－λ＋6μ)e1＋(λ＋2μ)e2，所以－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4.故选B.53．如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，7AE＝5AB，AD＝4AF，EF交AC于点K，AK＝λOA，则实数λ的值为()A．－1027B．－13C.1027D.13解析：选A因为AK＝λOA＝－λAO＝－λ2(AB＋AD)，所以AK＝－λ275AE―→＋4AF―→.又E，F，K三点共线，所以－λ275＋4＝1，解得λ＝－1027.故选A.4．如图，在△ABC中，M为边BC上不同于B，C的任意一点，点N满足AN＝2NM.若AN＝xAB＋yAC，则x2＋9y2的最小值为________．解析：根据题意，得AM＝32AN＝32xAB＋32yAC.因为M，B，C三点共线，所以有32x＋32y＝1，即x＋y＝230y23，所以x2＋9y2＝23－y2＋9y2＝10y2－43y＋49＝10y－1152＋250y23，所以当y＝115时，x2＋9y2取得最小值25.答案：255．若a≠0，b≠0，|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为________．解析：如图，作OA＝a，OB＝b，则BA＝a－b.以OA，OB为邻边作平行四边形OACB.∵|a|＝|b|＝|a－b|，∴∠BOA＝60°，四边形OACB为菱形．又OC＝a＋b，且在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA，∴a与a＋b的夹角为30°.答案：30°6．如图所示，平行四边形ABCD中，M为DC的中点，N是BC的中点，设AB＝b，AD＝d，AM＝m，AN＝n.6(1)试以b，d为基底表示MN；(2)试以m，n为基底表示AB.解：(1)MN＝AN－AM＝(AB＋BN)－(AD＋DM)＝b＋12d－d＋12b＝12(b－d)．(2)m＝AD＋DM＝d＋12AB，①n＝AB＋BN＝AB＋12d，所以2n＝2AB＋d.②由①②消去d，得AB＝43n－23m.7．如图，已知△ABC的面积为14，D，E分别为边AB，BC上的点，AD∶DB＝BE∶EC＝2∶1，且AE与CD交于点P，求△APC的面积．解：设AB＝a，BC＝b为一组基底，则AE＝a＋23b，DC＝13a＋b.∵点A，P，E共线且D，P，C共线，∴存在λ和μ，使AP＝λAE＝λa＋23λb，DP＝μDC＝13μa＋μb.又AP＝AD＋DP＝23＋13μa＋μb.7∴λ＝23＋13μ，23λ＝μ，即λ＝67，μ＝47.连接BP(图略)，则S△PAB＝47S△ABC＝14×47＝8，S△PBC＝14×1－67＝2，∴S△APC＝14－8－2＝4.8