2018-2019学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.2.1 直线与平面平行的判

-1-2.2直线、平面平行的判定及其性质-2-2.2.1~2.2.2直线与平面平行的判定平面与平面平行的判定首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习学习目标思维脉络1.理解并掌握直线与平面平行的判定定理,明确定理中“平面外”三个字的重要性.2.能利用判定定理证明线面平行问题.3.理解并掌握平面与平面平行的判定定理,明确定理中“相交”两字的重要性.4.能利用判定定理证明面面平行问题.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习121.直线与平面平行的判定定理文字语言平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行图形语言符号语言a⊄α,b⊂α,且a∥b⇒a∥α作用证明直线与平面平行JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习12名师点拨对定理的理解,注意以下三点:(1)此定理可以简记为:若线线平行,则线面平行.也就是说,要证明直线与平面平行,最终归结为证明两直线平行.(2)定理中的三个条件a∥b,a⊄α,b⊂α缺一不可.(3)要证明平面外的一条直线和这个平面平行,只要在这个平面内找到一条直线和已知直线平行即可.做一做1若a,b是两条相交直线,a∥平面α,则b与平面α.答案:平行或相交JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习122.平面与平面平行的判定定理文字语言一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行图形语言符号语言a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥α⇒α∥β作用证明两个平面平行名师点拨平面与平面平行的判定定理告诉我们,可以通过直线与平面平行来证明平面与平面平行.通常我们将其记为:若线面平行,则面面平行.因此处理面面平行(即空间问题)转化为处理线面平行,进一步转化为处理线线问题(即平面问题)来解决.以后要证明平面与平面平行,只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面平行即可.定理中的“两直线相交”不可缺少.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习12做一做2经过平面外的两点作该平面的平行平面,可以作()A.0个B.1个C.0个或1个D.1个或2个答案:CZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究一直线与平面平行的判定证明直线与平面平行,可以用定义,也可以用判定定理,但说明直线与平面没有公共点不是很容易(当然也可用反证法),所以更多的是用判定定理,用判定定理证明直线与平面平行的步骤如下:说明:第一步“找”是证题的关键,其常用方法有:①利用三角形中位线,梯形中位线的性质;②利用平行四边形的性质;③利用公理4.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四典型例题1如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点N在BD上,点M在B1C上,且CM=DN.求证:MN∥平面AA1B1B.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四证法一:如图(1),作ME∥BC,交BB1于点E,作NF∥AD,交AB于点F,连接EF,则EF⊂平面AA1B1B,且𝑀𝐸𝐵𝐶=𝐵1𝑀𝐵1𝐶,𝑁𝐹𝐴𝐷=𝐵𝑁𝐵𝐷.∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CM=DN,B1C=BD,∴B1M=NB.∴𝑀𝐸𝐵𝐶=𝐵𝑁𝐵𝐷=𝑁𝐹𝐴𝐷.又AD=BC,∴ME=NF.又ME∥BC∥AD∥NF,∴四边形MEFN为平行四边形.图(1)∴MN∥EF.∵MN⊄平面AA1B1B,EF⊂平面AA1B1B,∴MN∥平面AA1B1B.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四证法二:如图(2),连接CN并延长交BA所在直线于点P,连接B1P,则B1P⊂平面AA1B1B.图(2)∵△NDC∽△NBP,∴𝐷𝑁𝑁𝐵=𝐶𝑁𝑁𝑃.又CM=DN,B1C=BD,∴𝐶𝑀𝑀𝐵1=𝐷𝑁𝑁𝐵=𝐶𝑁𝑁𝑃.∴MN∥B1P.∵MN⊄平面AA1B1B,B1P⊂平面AA1B1B,∴MN∥平面AA1B1B.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四􀎥变式训练1􀎥如图,P是▱ABCD所在平面外一点,E,F分别为AB,PD的中点,求证:AF∥平面PEC.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四证明:设PC的中点为G,连接EG,FG.∵F为PD的中点,∴GF∥CD,且GF=12CD.∵AB∥CD,AB=CD,E为AB的中点,∴GF∥AE,GF=AE,∴四边形AEGF为平行四边形,∴EG∥AF.又∵AF⊄平面PEC,EG⊂平面PEC,∴AF∥平面PEC.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究二两个平面平行的判定证明两个平面平行,可以用定义,也可以用判定定理.但用定义证明时,需说明两个平面没有公共点,这一点不容易做到(可用反证法),所以通常用判定定理证明两个平面平行,其步骤如下:说明:证明两条相交直线与另一个平面平行时,需证这两条相交直线分别与另一个平面内的两条直线平行.这样将面面平行最终归结为线线平行.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四典型例题2如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,E,F,N分别是A1B1,B1C1,C1D1,D1A1的中点,求证:(1)E,F,B,D四点共面;(2)平面MAN∥平面EFDB.思路分析:(1)只需证明BD∥EF,即可证明E,F,B,D共面.(2)要证平面MAN∥平面EFDB,只需证MN∥平面EFDB,AN∥平面EFDB.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四证明:(1)连接B1D1.∵E,F分别是B1C1和C1D1的中点,∴EF∥B1D1.而BD∥B1D1,∴BD∥EF.∴E,F,B,D四点共面.(2)∵MN∥B1D1,B1D1∥BD,∴MN∥BD.而MN⊄平面EFDB,∴MN∥平面EFDB,连接MF.∵点M,F分别是A1B1与C1D1的中点,∴MF�AD.∴四边形ADFM是平行四边形.∴AM∥DF.∵AM⊄平面EFDB,∴AM∥平面EFDB.又AM∩MN=M,∴平面MAN∥平面EFDB.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习􀎥变式训练2􀎥本例中,设P是棱AA1的中点,其他条件不变,求证:平面PMN∥平面C1BD.证明:连接AB1.∵P,M分别是AA1,A1B1的中点,∴PM∥AB1.又AB1∥C1D,∴PM∥C1D.又PM⊄平面C1BD,∴PM∥平面C1BD.同理MN∥平面C1BD.又PM∩MN=M,∴平面PMN∥平面C1BD.探究一探究二探究三探究四ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究三线面平行、面面平行判定定理的综合探索型问题是具有开放性和发散性的问题,此类题目的条件或结论不完备,需要自己去探索,结合已有条件,进行观察、分析、比较和概括得出结论.常见的有以下两类:条件探索型和结论探索型.条件探索型问题是针对一个结论,条件未知需探索;结论探索型是先探索结论然后再去证明,在探索过程中常先从特殊情况入手,通过观察、分析、归纳,进行猜测,得出结论,再就一般情况去论证结论.特别提醒在证明线线、线面以及面面平行时,常进行如下转化:线线平行线面平行面面平行.因此,无论是判定线面平行还是判定面面平行都应遵循先找后作的原则,即先在平面内找相互平行的直线或与平面平行的直线,若找不到再根据题目条件作辅助线.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四典型例题3如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别是棱B1C1,BB1,C1D1的中点,是否存在过点E,M且与平面A1FC平行的平面?若存在,请作出并证明;若不存在,请说明理由.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四证明:如图,设N是棱C1C上的一点,且C1N=14C1C,则平面EMN为符合要求的平面.证明如下:设H为棱C1C的中点,连接B1H,D1H.∵C1N=14C1C,∴C1N=12C1H.又E为B1C1的中点,∴EN∥B1H.又CF∥B1H,∴EN∥CF.又EN⊄平面A1FC,CF⊂平面A1FC,∴EN∥平面A1FC.同理MN∥D1H,D1H∥A1F,∴MN∥A1F,∴MN∥平面A1FC.又EN∩MN=N,∴平面EMN∥平面A1FC.方法总结对于开放性问题,要仔细观察题目本身的特点,结合相应的定理,大胆地进行猜想,然后给予证明.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四􀎥变式训练3􀎥如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,CD的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH的边及其内部运动,试探求点M在怎样的位置时,有MN∥平面B1BDD1?ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四解:点M在F,H的连线上时,有MN∥平面B1BDD1.如图,平面BDD1B1是正方体ABCD-A1B1C1D1的对角面,探究过点N且与平面BDD1B1平行的直线,可取B1C1的中点N1,连接N1N,则NN1∥平面BDD1B1,连接NH,则NH∥平面BDD1B1.∵NH∩NN1=N,∴平面NN1FH∥平面BDD1B1.∵MN⊂平面NN1FH,∴MN∥平面B1BDD1.即点M在点F,H的连线上时,有MN∥平面B1BDD1.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究四探究三探究四易错辨析易错点证明面面平行不严密典型例题4如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是AA1,BB1,CC1,DD1的中点,求证:平面EG∥平面AC.错解:∵E,F分别是AA1和BB1的中点,∴EF∥AB,又EF⊄平面AC,AB⊂平面AC,∴EF∥平面AC,同理可证,HG∥平面AC.又EF⊂平面EG,HG⊂平面EG,∴平面EG∥平面AC.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究四探究三错因分析:错解中,EF与HG是平面EG内的两条平行直线,不是相交直线,不符合面面平行的判定定理的条件,因此证明不正确.正解:∵E,F分别是AA1和BB1的中点,∴EF∥AB,又EF⊄平面AC,AB⊂平面AC,∴EF∥平面AC.同理可证EH∥平面AC.又EF⊂