2018-2019学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1 直线与平面垂直的判

-1-2.3直线、平面垂直的判定及其性质-2-2.3.1直线与平面垂直的判定首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习学习目标思维脉络1.理解并掌握直线与平面垂直的定义,明确定义中“任意”两字的重要性.2.掌握直线与平面垂直的判定定理,并能解决有关线面垂直的问题.3.了解直线和平面所成的角的含义,并知道其求法.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习1231.直线与平面垂直定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α有关概念直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面.它们唯一的公共点P叫做垂足图示画法画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习1232.判定定理文字语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直图形语言符号语言l⊥a,l⊥b,a⊂α,b⊂α,a∩b=P⇒l⊥α作用判断直线与平面垂直JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习123名师点拨(1)此定理是证明直线与平面垂直的主要方法.根据定理,要证直线l与平面α垂直,只需在平面α内找两条相交直线都与l垂直.这样就将直线与平面垂直转化为直线与直线垂直.(2)定理中五个条件缺一不可,特别是两直线相交.若两条直线平行,则直线与平面不一定垂直.做一做1若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于()A.平面OABB.平面OACC.平面OBCD.平面ABC解析:由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.答案:CJICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习1233.直线和平面所成的角(1)定义:一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.(2)规定:一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角等于90°;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角等于0°.因此,直线与平面所成的角α的范围是0°≤α≤90°.名师点拨(1)斜线与平面所成的角(空间角)是用斜线和其射影所成的角(平面角)来定义的,因此,其求斜线与平面所成角时,应先作出该角,即作出斜线在平面内的射影.(2)在作斜线在平面内的射影时,可在斜线上任选除斜足以外的一点向平面作垂线.角的大小不会因点的不同而改变.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习123做一做2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB1与平面ABCD所成的角等于;AB1与平面ADD1A1所成的角等于;AB1与平面DCC1D1所成的角等于.解析:∠B1AB为AB1与平面ABCD所成的角即45°;∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角,即45°;AB1与平面DCC1D1平行,即所成的角为0°.答案:45°45°0°ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究一证明直线与平面垂直判定直线与平面垂直,可以用定义,就是证明这条直线与平面内的任一直线垂直,但这种方法一般不用.最常用也最好用的是判定定理,根据定理,只需证明这条直线与平面内的两条相交直线垂直即可,而这条直线与平面内的直线是否相交无关紧要.另外,判定直线与平面垂直还有如下两个结论可用:①两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.②若一条直线与两平行平面中的一个面垂直,则它与另一个平面也垂直.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四典型例题1如图所示,AB⊥BC,直角三角形ABC所在平面外有一点S,且SA=SB=SC,AC中点为D.(1)求证:SD⊥平面ABC;(2)若直角边BA=BC,求证:BD⊥平面SAC.思路分析:(1)先由等腰三角形SAC及D为底边AC的中点,得SD⊥AC.再由△SDA≌△SDB,得SD⊥DB.(2)由BA=BC及D为AC的中点可得BD⊥AC,根据直线与平面垂直的判定定理可证.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四证明:(1)∵SA=SC,D为AC中点,∴SD⊥AC.在Rt△ABC中,AD=DC=BD,又SA=SB,∴△SDA≌△SDB.∴∠SDA=∠SDB,即SD⊥DB.又AC∩BD=D,∴SD⊥平面ABC.(2)∵BA=BC,D为AC中点,∴BD⊥AC.由(1)知BD⊥SD,∵AC与SD都在平面SAC内且相交,∴BD⊥平面SAC.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习􀎥变式训练1􀎥如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AB,BC的中点,O是底面ABCD的中心,求证:EF⊥平面BB1O.证明:∵ABCD为正方形,∴AC⊥BO.又∵BB1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴AC⊥BB1.又∵BO∩BB1=B,∴AC⊥平面BB1O.∵EF是△ABC的中位线,∴EF∥AC,∴EF⊥平面BB1O.探究一探究二探究三探究四ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究二证明两直线垂直定义都具有双重作用:判定和性质.判定是指,如果一条直线和平面内的任意一条直线都垂直,那么直线就与平面垂直,这是判定直线与平面垂直的一种方法;性质是指,如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线就垂直于平面内的任意一条直线,即a⊥α,b⊂α⇒a⊥b.由直线与平面垂直的定义及判定定理,就可以由线线垂直得到线面垂直,再由线面垂直得到线线垂直,即得到线线垂直与线面垂直的相互转化.因此,在立体几何中,要证明两条直线垂直(无论它们是异面还是共面),通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四典型例题2如图,已知矩形ABCD,过A作SA⊥平面AC,连接SB,SC,SD,再过A作AE⊥SB交SB于E,过E作EF⊥SC交SC于F,连接AF.求证:AF⊥SC.思路分析:要证AF⊥SC,可证SC⊥平面AEF,又EF⊥SC,只需证AE⊥SC.只需证AE⊥平面SBC,又AE⊥SB,只需证AE⊥BC,最后只需证BC⊥平面SAB.又BC⊥AB,BC⊥SA,结论得证.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四证明:∵SA⊥平面AC,BC⊂平面AC,∴SA⊥BC.∵四边形ABCD为矩形,∴AB⊥BC.又SA∩AB=A,∴BC⊥平面SAB.又∵AE⊂平面SAB,∴BC⊥AE.∵SB⊥AE,且SB∩BC=B,∴AE⊥平面SBC.又∵SC⊂平面SBC,∴AE⊥SC.∵EF⊥SC,且AE∩EF=E,∴SC⊥平面AEF.又∵AF⊂平面AEF,∴AF⊥SC.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习􀎥变式训练2􀎥如图,已知PA垂直于☉O所在的平面,AB是☉O的直径,C是☉O上任意一点,过点A作AE⊥PC于点E,求证:AE⊥PB.证明:∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC.又∵AB是☉O的直径,∴BC⊥AC.而PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.又∵AE⊂平面PAC,∴BC⊥AE.∵PC⊥AE,且PC∩BC=C,∴AE⊥平面PBC,∴AE⊥PB.探究一探究二探究三探究四ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究三求直线与平面所成的角根据直线与平面所成角的定义,要想求直线与平面所成角的大小,需先作出这个角,所以求斜线与平面所成的角的步骤是:(1)作图:作(或找)出斜线在平面上的射影,将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角).(2)证明:证明找出的平面角是斜线与平面所成的角.(3)计算:通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四典型例题3已知四面体ABCD的棱长都相等,Q是AD的中点,求CQ与平面DBC所成的角的正弦值.解:过点A作AO⊥平面BCD,垂足为O,连接OB,OC,OD.取OD中点P,连接QP,CP.∵AO⊥OB,AO⊥OC,AO⊥OD,且AB=AC=AD,∴OB=OC=OD.∴点O是三角形三边垂直平分线的交点,也是三角形角平分线的交点.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四设四面体的棱长为a,则OD=12𝑎cos30°=33a,AO=𝐴𝐷2-𝑂𝐷2=𝑎2-33𝑎2=63a.∵Q是AD中点,P是OD中点,∴QP∥AO.∵AO⊥平面BCD,∴QP⊥平面BCD.∴∠QCP就是CQ与平面BCD所成的角.在正△ACD中,Q是AD的中点,∴CQ=32a.又QP=12AO=66a,∴sin∠QCP=𝑄𝑃𝐶𝑄=23.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四􀎥变式训练3􀎥如图,在Rt△BMC中,斜边BM=5,它在平面ABC上的射影AB长为4,∠MBC=60°,求MC与平面CAB所成角的正弦值.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四解:由题意知,A是M在平面ABC内的射影,∴MA⊥平面ABC,∴MC在平面CAB内的射影为AC.∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角.又∵在Rt△MBC中,BM=5,∠MBC=60°,∴MC=BMsin∠MBC=5sin60°=5×32=532.在Rt△MAB中,MA=𝑀𝐵2-𝐴𝐵2=52-42=3.在Rt△MAC中,sin∠MCA=𝑀𝐴𝑀𝐶=3532=235.即MC与平面CAB所成角的正弦值为235.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究四探究三探究四易错辨析易错点证明线面垂直不严密典型例题4如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AC=BC,D是AB的中点,连接CD.求证:CD⊥平面ABB1A1.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究四探究三错解:证明:∵AA1⊥平面ABC,CD⊂平面ABC,∴CD⊥AA1.又BB1∥AA1,∴CD⊥BB1,又AA1⊂平面ABB1A1,BB1⊂平面ABB1A1,∴CD⊥平面ABB1A1.错因分析:错解中AA1和BB1是平面ABB1A1内的两条平行直线,不是相交直线,故不满足直线与平面垂直的判定定理的条